Chapitre 5 | Première générale (spécialité) | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 14:30
Ce chapitre exploite la dérivation pour étudier les variations d'une fonction, déterminer ses extremums, résoudre des problèmes d'optimisation et comparer des courbes. On suppose connu le calcul des dérivées, le signe d'un trinôme et d'une expression du premier degré, ainsi que la lecture des tableaux de variations.
Soit \(f\) définie sur un ensemble \(D\) symétrique par rapport à \(0\) (c'est-à-dire : si \(x \in D\) alors \(-x \in D\)).
Dans un repère :
\(x \mapsto x^2\) est paire ; \(x \mapsto x^3\) et \(x \mapsto \dfrac{1}{x}\) sont impaires.
Avant de conclure à la parité, il faut vérifier que le domaine est symétrique par rapport à \(0\). Une fonction définie sur \([0\,;+\infty[\), par exemple, ne peut être ni paire ni impaire.
\(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\) (domaine symétrique). \(f(-x) = 2(-x)^4 - 3(-x)^2 + 1 = 2x^4 - 3x^2 + 1 = f(x)\). La fonction est paire (seuls des exposants pairs et une constante).
Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\).
(Résultat admis en première.)
Ainsi, étudier le signe de la dérivée permet de connaître le sens de variation de la fonction : c'est le cœur de la méthode d'étude d'une fonction.
\(f\) est constante sur l'intervalle \(I\) si et seulement si \(f' = 0\) sur \(I\).
Le signe de \(f'\) commande les variations de \(f\) : \(f'\gt 0\) → \(f\) croît, \(f'\lt 0\) → \(f\) décroît. En \(c\), \(f'\) change de signe : \(f\) y admet un extremum.
\(f'\) est un trinôme de racines \(-3\) et \(1\), de coefficient dominant \(1 \gt 0\) : \(f'(x) \gt 0\) à l'extérieur de \([-3\,;1]\), \(f'(x) \lt 0\) à l'intérieur.
Donc \(f\) est croissante sur \(]-\infty\,;-3]\), décroissante sur \([-3\,;1]\), croissante sur \([1\,;+\infty[\).
La fonction \(f\) admet un maximum local en \(c \in I\) s'il existe un intervalle autour de \(c\) sur lequel \(f(x) \le f(c)\) ; on définit de même un minimum local. Un extremum est un maximum ou un minimum.
Soit \(f\) dérivable sur un intervalle ouvert \(I\). Si \(f\) admet un extremum local en un point \(c\) intérieur à \(I\), alors \(f'(c) = 0\).
Concrètement, les extremums se trouvent parmi les valeurs où la dérivée s'annule en changeant de signe :
La courbe de \(f(x) = x^3 - 3x\) illustre les deux situations : un maximum local en \(x = -1\) (tangente horizontale, \(f' \gt 0\) avant et \(f' \lt 0\) après) et un minimum local en \(x = 1\).
Aux extremums locaux (points rouges), la tangente est horizontale (segments verts) : la dérivée s'y annule en changeant de signe.
\(f'(c) = 0\) est nécessaire mais non suffisant : par exemple \(f(x) = x^3\) vérifie \(f'(0) = 0\) mais n'a pas d'extremum en \(0\) (la dérivée ne change pas de signe). Il faut un changement de signe de \(f'\).
En un extremum où \(f'(c) = 0\), la tangente à la courbe est horizontale : son équation est \(y = f(c)\).
\(f'(x) = -3x^2 + 3 = -3(x-1)(x+1)\). Comme \(a = -3 \lt 0\), \(f'\) est négative à l'extérieur de \([-1\,;1]\), positive à l'intérieur.
\(f'\) passe de \(-\) à \(+\) en \(x=-1\) : minimum local \(f(-1) = 0\). \(f'\) passe de \(+\) à \(-\) en \(x=1\) : maximum local \(f(1) = 4\).
Exemple résolu. \(f(x) = x^3 - 3x\) sur \(\mathbb{R}\). \(f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)\). Racines \(-1\) et \(1\) ; comme \(a = 3 \gt 0\), \(f'(x) \gt 0\) à l'extérieur de \([-1\,;1]\), \(\lt 0\) à l'intérieur. Maximum local \(f(-1) = 2\), minimum local \(f(1) = -2\).
Tableau de variations de \(f(x)=x^3-3x\) : la ligne des signes de \(f'\) (\(+\ 0\ -\ 0\ +\)) donne directement les flèches et les extremums \(2\) et \(-2\).
Pour \(f(x) = ax^2 + bx + c\), on a \(f'(x) = 2ax + b\), qui s'annule en \(x = -\dfrac{b}{2a} = \alpha\).
On retrouve ainsi, par la dérivation, le sommet \(S(\alpha\,;\beta)\) vu avec la forme canonique. Lien avec la variance (probabilités) : la fonction \(x \mapsto E\big((X - x)^2\big)\) est un trinôme dont le minimum est atteint en \(x = E(X)\) et vaut la variance \(V(X)\).
\(f'(x) = 2x - 4\), qui s'annule en \(x = 2\) (\(-\) avant, \(+\) après). Comme \(a = 1 \gt 0\), \(f\) est décroissante sur \(]-\infty\,;2]\), croissante sur \([2\,;+\infty[\). Elle admet un minimum \(f(2) = -1\).
Pour comparer les courbes de \(f\) et \(g\) sur \(I\), on étudie le signe de la différence \(d(x) = f(x) - g(x)\) :
Ce même principe permet d'établir une inégalité \(f(x) \ge g(x)\) : il suffit de montrer que \(d = f - g\) reste positive, souvent en étudiant les variations de \(d\).
Exemple : les courbes de \(f(x) = x^2\) (indigo) et \(g(x) = x\) (vert) se coupent en \(x = 0\) et \(x = 1\). Entre ces abscisses, \(\mathcal{C}_f\) est en dessous de \(\mathcal{C}_g\) ; à l'extérieur, elle est au-dessus.
Points d'intersection en rouge (\(x = 0\) et \(x = 1\)) ; entre eux, la parabole passe sous la droite.
Exemple résolu. Montrer que pour tout \(x \ge 0\), \(x^2 \ge 2x - 1\). Posons \(d(x) = x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2 \ge 0\). La différence est un carré, donc toujours positive : l'inégalité est vraie (avec égalité en \(x = 1\)).
\(d(x) = x^2 - x = x(x-1)\). C'est un trinôme de racines \(0\) et \(1\), de coefficient dominant positif : \(d(x) \gt 0\) sur \(]-\infty\,;0[\cup]1\,;+\infty[\) (donc \(\mathcal{C}_f\) au-dessus), \(d(x) \lt 0\) sur \(]0\,;1[\) (donc \(\mathcal{C}_f\) au-dessous). Les courbes se coupent en \(x = 0\) et \(x = 1\).
\(d(x) = x^2 + 1 - 2x = (x-1)^2 \ge 0\) pour tout \(x\). Donc \(x^2 + 1 \ge 2x\), avec égalité en \(x = 1\).
Exemple résolu. On dispose de \(40\) m de clôture pour fermer un enclos rectangulaire. Quelle est l'aire maximale ? Soit \(x\) la largeur (\(0 \lt x \lt 20\)) ; la longueur est \(20 - x\) et l'aire \(A(x) = x(20 - x) = -x^2 + 20x\). Alors \(A'(x) = -2x + 20\), qui s'annule en \(x = 10\) en passant de \(+\) à \(-\) : maximum en \(x = 10\). L'aire maximale vaut \(A(10) = 100\ \text{m}^2\) (enclos carré \(10 \times 10\)).
L'aire \(A(x)=-x^2+20x\) est un trinôme (\(a\lt 0\)) : maximum \(100\ \text{m}^2\) atteint en \(x=10\), tangente horizontale au sommet.
Ne jamais oublier l'intervalle admissible : une longueur est positive, une largeur inférieure au demi-périmètre, etc. L'optimum doit appartenir à cet intervalle.
La méthode de Newton recherche une valeur approchée d'une racine de \(f\) (dans des cas favorables). On construit une suite qui converge vers la solution de \(f(x) = 0\) :
\[x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}.\]def newton(f, df, x0, n):
"""n itérations de la méthode de Newton à partir de x0."""
x = x0
for _ in range(n):
x = x - f(x) / df(x)
return x
# Approximation de sqrt(2) : racine de f(x) = x^2 - 2
f = lambda x: x**2 - 2
df = lambda x: 2*x
print(newton(f, df, 1.5, 5)) # -> 1.41421356...Géométriquement, chaque itération remplace \(x_n\) par l'abscisse du point où la tangente en \(x_n\) coupe l'axe des abscisses.
❌ Croire que \(f'(c) = 0\) suffit pour avoir un extremum.
✅ Il faut un changement de signe de \(f'\) (cf. \(x^3\) en \(0\)).
❌ Confondre le signe de \(f\) et le signe de \(f'\).
✅ C'est le signe de \(f'\) qui donne les variations de \(f\).
❌ Oublier l'intervalle admissible dans un problème d'optimisation.
✅ Une longueur est positive ; l'optimum doit appartenir à l'intervalle.
❌ Conclure à la parité sans vérifier le domaine.
✅ Le domaine doit d'abord être symétrique par rapport à \(0\).
❌ Lire une variation dans le mauvais sens.
✅ \(f'\) positive → \(f\) croissante.