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L'essentiel :
- Signe de \(f'\) → variations de \(f\) : \(f'\gt 0\) → croissante, \(f'\lt 0\) → décroissante, \(f'=0\) → constante.
- Extremum : \(f'\) s'annule en changeant de signe (tangente horizontale). \(f'(c)=0\) est nécessaire mais non suffisant.
- Optimisation : exprimer la grandeur, préciser l'intervalle, dériver, chercher l'extremum.
- Position relative / inégalité : étudier le signe de \(d(x)=f(x)-g(x)\).
- Parité : paire → symétrie \((Oy)\) ; impaire → symétrie par rapport à l'origine.
Définitions clés
Définition
Fonction paire : \(f(-x)=f(x)\) (domaine symétrique par rapport à \(0\)) → courbe symétrique par rapport à l'axe \((Oy)\). Fonction impaire : \(f(-x)=-f(x)\) → courbe symétrique par rapport à l'origine.
Définition
Extremum local : \(f\) admet un maximum local en \(c\) si \(f(x)\le f(c)\) autour de \(c\) ; un minimum local si \(f(x)\ge f(c)\).
Définition
Position relative : \(d(x)=f(x)-g(x)\). Si \(d\gt 0\), \(\mathcal{C}_f\) au-dessus de \(\mathcal{C}_g\) ; si \(d\lt 0\), au-dessous ; si \(d=0\), les courbes se coupent.
À connaître par cœur
Signe de la dérivée et variations
\[f'(x) \gt 0 \text{ sur } I \Rightarrow f \text{ strictement croissante sur } I\]
\[f'(x) \lt 0 \text{ sur } I \Rightarrow f \text{ strictement décroissante sur } I\]
\[f'(x) = 0 \text{ sur } I \Rightarrow f \text{ constante sur } I\]
Extremum d'une fonction dérivable
\[f \text{ a un extremum local en } c \ (c \text{ intérieur}) \Rightarrow f'(c) = 0\]
\[f' \text{ passe de } + \text{ à } - : \text{maximum} \qquad f' \text{ passe de } - \text{ à } + : \text{minimum}\]
Trinôme du second degré
\[f(x)=ax^2+bx+c \ ;\quad f'(x)=2ax+b \ ;\quad \alpha=-\dfrac{b}{2a}\]
\[a \gt 0 : \text{minimum en } \alpha \qquad a \lt 0 : \text{maximum en } \alpha\]
Méthode de Newton
\[x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}\]
Parité — mémo
- Vérifier d'abord que le domaine est symétrique par rapport à \(0\).
- \(x\mapsto x^2\) : paire ; \(x\mapsto x^3\), \(x\mapsto \tfrac1x\) : impaires.
- Polynôme à exposants tous pairs (+ constante) → paire ; tous impairs → impaire.
Étapes d'une étude de fonction
- Domaine + calcul de \(f'(x)\).
- Résoudre \(f'(x)=0\), étudier le signe de \(f'\).
- Tableau : ligne des signes de \(f'\), flèches de variation, extremums.
Méthode — Optimisation et inégalités
Méthode — Problème d'optimisation
- Choisir une variable ; exprimer la quantité à optimiser et l'intervalle admissible.
- Dériver et étudier le signe de la dérivée.
- L'optimum est l'extremum trouvé (vérifier qu'il est dans l'intervalle).
Méthode — Établir une inégalité
- Poser \(d(x)=f(x)-g(x)\).
- Étudier les variations de \(d\) et déterminer son minimum.
- Si le minimum est \(\ge 0\), alors \(f \ge g\). Souvent, \(d\) est un carré \((x-a)^2\ge 0\).
Erreurs fréquentes
Attention
❌ Croire que \(f'(c)=0\) suffit pour un extremum.
✅ Il faut un changement de signe de \(f'\) (cf. \(x^3\) en \(0\)).
❌ Confondre le signe de \(f\) et le signe de \(f'\).
✅ C'est le signe de \(f'\) qui donne les variations de \(f\).
❌ Oublier l'intervalle admissible en optimisation.
✅ Une longueur est positive ; l'optimum doit y appartenir.
❌ Conclure à la parité sans vérifier le domaine.
✅ Le domaine doit être symétrique par rapport à \(0\).
Exemple rapide
Exemple — \(f(x)=x^3-3x\)
\(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\).
- \(f'\gt 0\) à l'extérieur de \([-1\,;1]\), \(f'\lt 0\) à l'intérieur.
- Maximum local \(f(-1)=2\) ; minimum local \(f(1)=-2\).
- Tangentes horizontales aux extremums : \(y=2\) et \(y=-2\).