Applications de la dérivation (variations et courbes) | Première générale (spécialité) | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 10:15
Pour chaque fonction, dire si elle est paire, impaire, ou ni l'une ni l'autre (après avoir vérifié le domaine).
1. \(f(x) = x^4 - 5x^2\)
2. \(g(x) = x^3 - x\)
3. \(h(x) = x^2 + x\)
1. Domaine \(\mathbb{R}\). \(f(-x) = x^4 - 5x^2 = f(x)\) : paire.
2. Domaine \(\mathbb{R}\). \(g(-x) = -x^3 + x = -(x^3 - x) = -g(x)\) : impaire.
3. Domaine \(\mathbb{R}\). \(h(-x) = x^2 - x\), qui n'est ni \(h(x)\) ni \(-h(x)\) : ni l'une ni l'autre.
La dérivée d'une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) est \(f'(x) = (x+2)(x-3)\).
1. Résoudre \(f'(x) = 0\).
2. Étudier le signe de \(f'(x)\) sur \(\mathbb{R}\).
3. En déduire le sens de variation de \(f\).
1. \(f'(x) = 0 \iff x = -2\) ou \(x = 3\).
2. \(f'\) est un trinôme de coefficient dominant \(1 \gt 0\) : \(f'(x) \gt 0\) sur \(]-\infty\,;-2[\cup]3\,;+\infty[\) et \(f'(x) \lt 0\) sur \(]-2\,;3[\).
3. \(f\) est croissante sur \(]-\infty\,;-2]\), décroissante sur \([-2\,;3]\), croissante sur \([3\,;+\infty[\). Maximum local en \(-2\), minimum local en \(3\).
Soit \(f(x) = x^2 - 6x + 5\) sur \(\mathbb{R}\).
1. Calculer \(f'(x)\) et déterminer l'abscisse du sommet.
2. Dresser le tableau de variations et donner l'extremum.
3. Quelle est l'équation de la tangente au sommet ?
1. \(f'(x) = 2x - 6\), qui s'annule en \(x = 3 = -\dfrac{-6}{2}\).
2. \(a = 1 \gt 0\) : \(f'\) passe de \(-\) à \(+\) en \(3\). \(f\) décroissante sur \(]-\infty\,;3]\), croissante sur \([3\,;+\infty[\). Minimum \(f(3) = 9 - 18 + 5 = -4\).
3. En un extremum, la tangente est horizontale : \(y = -4\).
Soit \(f(x) = x^3 - 12x + 5\) sur \(\mathbb{R}\).
1. Calculer \(f'(x)\) et le factoriser.
2. Étudier le signe de \(f'\) et dresser le tableau de variations.
3. Préciser la nature et la valeur de chaque extremum local.
1. \(f'(x) = 3x^2 - 12 = 3(x^2 - 4) = 3(x-2)(x+2)\).
2. \(a = 3 \gt 0\) : \(f'(x) \gt 0\) à l'extérieur de \([-2\,;2]\), \(\lt 0\) à l'intérieur. \(f\) est croissante sur \(]-\infty\,;-2]\), décroissante sur \([-2\,;2]\), croissante sur \([2\,;+\infty[\).
3. En \(x=-2\), \(f'\) passe de \(+\) à \(-\) : maximum local \(f(-2) = -8 + 24 + 5 = 21\). En \(x=2\), \(f'\) passe de \(-\) à \(+\) : minimum local \(f(2) = 8 - 24 + 5 = -11\).
Soit \(f(x) = x^2 + 1\) et \(g(x) = 3x - 1\) définies sur \(\mathbb{R}\).
1. Étudier le signe de \(d(x) = f(x) - g(x)\).
2. En déduire la position relative de \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\).
1. \(d(x) = x^2 + 1 - (3x - 1) = x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)\). C'est un trinôme de racines \(1\) et \(2\), coefficient dominant \(1 \gt 0\) : \(d(x) \gt 0\) sur \(]-\infty\,;1[\cup]2\,;+\infty[\), \(d(x) \lt 0\) sur \(]1\,;2[\).
2. \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de \(\mathcal{C}_g\) sur \(]-\infty\,;1[\cup]2\,;+\infty[\), au-dessous sur \(]1\,;2[\), et les courbes se coupent en \(x = 1\) et \(x = 2\).
1. Montrer que pour tout réel \(x\), \(x^2 - 4x + 4 \ge 0\).
2. En déduire que pour tout réel \(x\), \(x^2 + 4 \ge 4x\).
3. Pour quelle valeur de \(x\) a-t-on l'égalité ?
1. \(x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2\), qui est un carré, donc \(\ge 0\) pour tout \(x\).
2. Posons \(d(x) = (x^2 + 4) - 4x = x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2 \ge 0\). Donc \(x^2 + 4 \ge 4x\).
3. L'égalité a lieu quand \((x-2)^2 = 0\), soit en \(x = 2\).
On donne le tableau de variations d'une fonction \(f\) dérivable sur \([-3\,;4]\) :
1. Sur quels intervalles \(f\) est-elle croissante ? décroissante ?
2. Quel est le signe de \(f'(x)\) sur chacun de ces intervalles ?
3. Donner le minimum de \(f\) sur \([-3\,;4]\) et la valeur où il est atteint.
1. \(f\) est décroissante sur \([-3\,;1]\) et croissante sur \([1\,;4]\).
2. \(f'(x) \lt 0\) sur \(]-3\,;1[\) et \(f'(x) \gt 0\) sur \(]1\,;4[\) (avec \(f'(1)=0\)).
3. Le minimum est \(f(1) = -3\), atteint en \(x = 1\).
Une boîte sans couvercle est fabriquée à partir d'une feuille carrée de côté \(12\) cm : on découpe un carré de côté \(x\) à chaque coin, puis on relève les bords.
1. Exprimer le volume \(V(x)\) de la boîte en fonction de \(x\), et préciser l'intervalle des valeurs admissibles.
2. Montrer que \(V'(x) = 12x^2 - 96x + 144\), puis le factoriser.
3. Étudier le signe de \(V'\) sur l'intervalle admissible et déterminer la valeur de \(x\) qui rend le volume maximal.
4. Calculer ce volume maximal.
1. Après découpe, la base est un carré de côté \(12 - 2x\) et la hauteur vaut \(x\). Donc \(V(x) = x(12 - 2x)^2\), avec \(0 \lt x \lt 6\) (pour que \(12 - 2x \gt 0\)).
2. \(V(x) = x(144 - 48x + 4x^2) = 4x^3 - 48x^2 + 144x\). Donc \(V'(x) = 12x^2 - 96x + 144 = 12(x^2 - 8x + 12) = 12(x-2)(x-6)\).
3. Sur \(]0\,;6[\), le facteur \((x-6) \lt 0\). Le signe de \(V'\) est celui de \(12(x-2)(x-6)\) : pour \(x \lt 2\), \((x-2)\lt 0\) et \((x-6)\lt 0\) → \(V' \gt 0\) ; pour \(x \gt 2\), \((x-2)\gt 0\) et \((x-6)\lt 0\) → \(V' \lt 0\). \(V'\) passe de \(+\) à \(-\) en \(x = 2\) : maximum en \(x = 2\).
4. \(V(2) = 2 \times (12 - 4)^2 = 2 \times 64 = 128\ \text{cm}^3\). Le volume maximal est \(128\ \text{cm}^3\).