Exercices – Chapitre 16 : Composition de fonctions

Chapitre 16 | Terminale STL — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Rappels utiles : \((v\circ u)(x)=v(u(x))\) ; \((v\circ u)'=u'\times(v'\circ u)\) ; \((u^n)'=n\,u'u^{n-1}\), \((\cos u)'=-u'\sin u\), \((\sin u)'=u'\cos u\), \((\mathrm{e}^u)'=u'\mathrm{e}^u\), \((\ln u)'=\dfrac{u'}{u}\). Primitives : \(f(ax+b)\to\tfrac1a F(ax+b)\), \(u'u^n\to\tfrac{u^{n+1}}{n+1}\ (n\neq-1)\), \(\dfrac{u'}{u}\to\ln|u|\), \(u'\mathrm{e}^u\to\mathrm{e}^u\), \(u'\cos u\to\sin u\), \(u'\sin u\to-\cos u\).

Exercice 1 — Identifier une composée

Pour chaque fonction, donner la fonction interne \(u\) et la fonction externe \(v\) telles que \(f=v\circ u\).

1. \(f(x)=(4x-1)^3\) 2. \(f(x)=\sqrt{x^2+5}\) 3. \(f(x)=\mathrm{e}^{3x}\) 4. \(f(x)=\ln(1+\cos x)\)

1. \(u(x)=4x-1\), \(v(X)=X^3\).

2. \(u(x)=x^2+5\), \(v(X)=\sqrt{X}\).

3. \(u(x)=3x\), \(v(X)=\mathrm{e}^{X}\).

4. \(u(x)=1+\cos x\), \(v(X)=\ln X\).

Exercice 2 — Dériver des puissances composées

Dériver chaque fonction.

1. \(f(x)=(2x+3)^5\) 2. \(g(x)=(x^2-4x)^3\) 3. \(h(x)=\dfrac{1}{(3x-1)^2}\)

1. \(u=2x+3\), \(u'=2\), \(n=5\) : \(f'(x)=2\times5(2x+3)^4=10(2x+3)^4\).

2. \(u=x^2-4x\), \(u'=2x-4\), \(n=3\) : \(g'(x)=(2x-4)\times3(x^2-4x)^2=3(2x-4)(x^2-4x)^2\).

3. \(h(x)=(3x-1)^{-2}\), \(u=3x-1\), \(u'=3\), \(n=-2\) : \(h'(x)=3\times(-2)(3x-1)^{-3}=\dfrac{-6}{(3x-1)^3}\).

Exercice 3 — Exponentielle, logarithme, cosinus, sinus composés

Dériver, en précisant \(u\) et \(u'\).

1. \(f(x)=\mathrm{e}^{-2x+1}\) 2. \(g(x)=\ln(x^2+3)\) 3. \(h(x)=\cos(5x)\) 4. \(k(x)=\sin(x^2)\)

1. \(u=-2x+1\), \(u'=-2\) : \(f'(x)=-2\,\mathrm{e}^{-2x+1}\).

2. \(u=x^2+3\), \(u'=2x\) : \(g'(x)=\dfrac{2x}{x^2+3}\).

3. \(u=5x\), \(u'=5\) : \(h'(x)=-5\sin(5x)\).

4. \(u=x^2\), \(u'=2x\) : \(k'(x)=2x\cos(x^2)\).

Exercice 4 — Primitives : reconnaître la forme

Déterminer une primitive de chaque fonction (préciser \(u\)).

1. \(x\mapsto \mathrm{e}^{4x}\) 2. \(x\mapsto 2x\,(x^2+1)^{4}\) 3. \(x\mapsto \dfrac{2x}{x^2+7}\) sur \(\mathbb{R}\) 4. \(x\mapsto 3\sin(3x)\)

1. Forme \(f(ax+b)\), \(a=4\) : primitive \(\dfrac14\,\mathrm{e}^{4x}\).

2. \(u=x^2+1\), \(u'=2x\), forme \(u'u^4\) : primitive \(\dfrac{(x^2+1)^{5}}{5}\).

3. \(u=x^2+7\), \(u'=2x\), forme \(\dfrac{u'}{u}\) : primitive \(\ln(x^2+7)\) (\(u\gt0\)).

4. \(u=3x\), \(u'=3\), forme \(u'\sin u\) : primitive \(-\cos(3x)\).

Exercice 5 — Ajuster le facteur constant

Déterminer une primitive. Un facteur constant manque : introduis-le.

1. \(x\mapsto x\,\mathrm{e}^{x^2}\) 2. \(x\mapsto \dfrac{x}{x^2+2}\) sur \(\mathbb{R}\) 3. \(x\mapsto x\,(x^2-5)^{3}\) 4. \(x\mapsto \cos(2x)\)

1. \(u=x^2\), \(u'=2x\) : \(x\,\mathrm{e}^{x^2}=\tfrac12(2x\,\mathrm{e}^{x^2})\), primitive \(\dfrac12\,\mathrm{e}^{x^2}\).

2. \(u=x^2+2\), \(u'=2x\) : \(\dfrac{x}{x^2+2}=\tfrac12\cdot\dfrac{2x}{x^2+2}\), primitive \(\dfrac12\ln(x^2+2)\).

3. \(u=x^2-5\), \(u'=2x\) : \(x(x^2-5)^3=\tfrac12\,(2x)(x^2-5)^3\), primitive \(\dfrac12\cdot\dfrac{(x^2-5)^4}{4}=\dfrac{(x^2-5)^4}{8}\).

4. Forme \(f(ax+b)\), \(a=2\), \(f=\cos\), \(F=\sin\) : primitive \(\dfrac12\sin(2x)\).

Exercice 6 — Étude d'une fonction composée

Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\mathrm{e}^{-x^2}\).

1. Calculer \(f'(x)\) en identifiant \(u\).

2. Étudier le signe de \(f'(x)\) et en déduire le sens de variation de \(f\).

3. Quel est le maximum de \(f\) et en quel point est-il atteint ?

1. \(u=-x^2\), \(u'=-2x\), forme \(\mathrm{e}^u\) : \(f'(x)=-2x\,\mathrm{e}^{-x^2}\).

2. \(\mathrm{e}^{-x^2}\gt0\), donc \(f'(x)\) a le signe de \(-2x\) : \(f'(x)\gt0\) pour \(x\lt0\), \(f'(x)\lt0\) pour \(x\gt0\). Donc \(f\) croît sur \(]{-}\infty;0]\) et décroît sur \([0;+\infty[\).

3. Maximum en \(x=0\), avec \(f(0)=\mathrm{e}^0=1\). (Courbe « en cloche », gaussienne.)

Exercice 7 — Problème type Bac : décroissance et énergie

En physique, l'intensité lumineuse traversant un milieu absorbant à la profondeur \(x\ (\ge0)\) suit la loi \(I(x)=I_0\,\mathrm{e}^{-\mu x}\), avec \(I_0=800\) (unité arbitraire) et \(\mu=0{,}25\ \text{cm}^{-1}\).

1. Justifier que \(I\) est une fonction composée et calculer \(I'(x)\).

2. Interpréter le signe de \(I'(x)\).

3. On admet que la « dose » absorbée entre \(0\) et une profondeur \(a\) est \(D(a)=\displaystyle\int_0^a \mu I_0\,\mathrm{e}^{-\mu x}\,dx\). Déterminer une primitive de \(x\mapsto \mu I_0\,\mathrm{e}^{-\mu x}\), puis calculer \(D(a)\) en fonction de \(a\).

4. Calculer \(D(4)\) (valeur arrondie à l'unité). \(\big(\mathrm{e}^{-1}\approx0{,}368\big)\)

1. \(I=v\circ u\) avec \(u(x)=-\mu x\) et \(v(X)=I_0\mathrm{e}^{X}\). \(u'=-\mu\), donc \(I'(x)=-\mu\,I_0\,\mathrm{e}^{-\mu x}\), soit \(I'(x)=-0{,}25\times800\,\mathrm{e}^{-0{,}25x}=-200\,\mathrm{e}^{-0{,}25x}\).

2. \(I'(x)\lt0\) : l'intensité décroît avec la profondeur (absorption).

3. \(x\mapsto\mu I_0\,\mathrm{e}^{-\mu x}\) est de la forme \(-u'\,\mathrm{e}^{u}\) avec \(u=-\mu x\), \(u'=-\mu\). Une primitive de \(u'\mathrm{e}^u=-\mu\mathrm{e}^{-\mu x}\) est \(\mathrm{e}^{-\mu x}\) ; donc une primitive de \(\mu I_0\mathrm{e}^{-\mu x}=-I_0(u'\mathrm{e}^u)\) est \(-I_0\,\mathrm{e}^{-\mu x}\). Ainsi

\[D(a)=\Big[-I_0\,\mathrm{e}^{-\mu x}\Big]_0^a=-I_0\mathrm{e}^{-\mu a}-(-I_0)=I_0\big(1-\mathrm{e}^{-\mu a}\big).\]

4. \(D(4)=800\big(1-\mathrm{e}^{-0{,}25\times4}\big)=800(1-\mathrm{e}^{-1})\approx800(1-0{,}368)=800\times0{,}632\approx506\).