Chapitre 16 – Composition de fonctions
Chapitre 16 | Terminale STL — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
⏱ Durée de lecture estimée : ~22 min
Objectifs du chapitre
- Comprendre la composée de deux fonctions et sa notation \(v\circ u\) : \((v\circ u)(x)=v\big(u(x)\big)\).
- Identifier la composée de deux fonctions dans une expression simple (fonction interne \(u\), fonction externe \(v\)).
- Connaître et appliquer la dérivée d'une composée : \((v\circ u)'=u'\times(v'\circ u)\).
- Dériver les composées usuelles : \(u^n\), \(\cos u\), \(\sin u\), \(\mathrm{e}^u\), \(\ln u\).
- Calculer des primitives de \(f(ax+b)\), \(u'\,u^n\), \(\dfrac{u'}{u}\), \(u'\,\mathrm{e}^u\), \(u'\cos u\), \(u'\sin u\).
Beaucoup de fonctions rencontrées en physique-chimie sont des emboîtements de fonctions plus simples : \(\mathrm{e}^{-kt}\) (décroissance), \(\cos(\omega t+\varphi)\) (signal), \(\sqrt{1-v^2/c^2}\)… Les composer, c'est appliquer une fonction au résultat d'une autre. Ce chapitre donne une seule formule pour dériver toutes ces fonctions, puis la « lit à l'envers » pour calculer des primitives. Prérequis : dérivées usuelles et opérations, fonctions \(\exp\), \(\ln\), \(\cos\), \(\sin\), notion de primitive.
I. Composée de deux fonctions
Soit \(u\) une fonction définie sur un intervalle \(I\), et \(v\) une fonction définie sur un intervalle \(J\) contenant toutes les valeurs \(u(x)\) pour \(x\in I\). La composée de \(u\) suivie de \(v\), notée \(v\circ u\) (« \(v\) rond \(u\) »), est la fonction définie sur \(I\) par
\[\boxed{\,(v\circ u)(x)=v\big(u(x)\big).\,}\]On applique d'abord la fonction interne \(u\) (« la première dans le calcul »), puis la fonction externe \(v\) sur le résultat.
La composée fonctionne comme une chaîne : \(x\) entre dans \(u\), la sortie \(u(x)\) entre dans \(v\), et \(v(u(x))\) sort. Déplace le point sur l'axe pour voir circuler la valeur.
En général \(v\circ u\neq u\circ v\). Dans \(v\circ u\), c'est \(u\) qui agit en premier. Exemple : avec \(u(x)=x+1\) et \(v(x)=x^2\), \((v\circ u)(x)=(x+1)^2\) mais \((u\circ v)(x)=x^2+1\) : deux fonctions différentes.
- Repérer le calcul le plus « intérieur » : c'est la fonction interne \(u\).
- Ce qu'on fait ensuite sur ce résultat est la fonction externe \(v\).
- Vérifier en recomposant : \(v(u(x))\) doit redonner l'expression de départ.
Exemple résolu. Soit \(f(x)=\cos(3x-1)\). Le calcul intérieur est \(u(x)=3x-1\) ; on lui applique ensuite le cosinus, donc \(v(X)=\cos X\). Ainsi \(f=v\circ u\) avec \(f(x)=v(u(x))=\cos(3x-1)\). ✓
(a) \(u(x)=2x+5\), \(v(X)=X^4\) : \(f=v\circ u\).
(b) \(u(x)=-x^2\), \(v(X)=\mathrm{e}^{X}\) : \(g=v\circ u\).
(c) \(u(x)=x^2+1\), \(v(X)=\ln X\) : \(h=v\circ u\).
II. Dérivée d'une composée
Soit \(u\) dérivable sur \(I\) et \(v\) dérivable sur un intervalle contenant les valeurs de \(u\). Alors \(v\circ u\) est dérivable sur \(I\) et
\[\boxed{\,(v\circ u)'=u'\times(v'\circ u),\quad\text{c'est-à-dire}\quad (v\circ u)'(x)=u'(x)\times v'\big(u(x)\big).\,}\]On dérive l'externe \(v'\) évaluée en \(u(x)\), puis on multiplie par la dérivée de l'interne \(u'\).
Un accroissement \(\Delta x\) de la variable produit un accroissement \(\Delta u\approx u'(x)\,\Delta x\) de \(u\), qui produit lui-même un accroissement \(\Delta v\approx v'(u)\,\Delta u\) de \(v\). En chaînant :
\[\dfrac{\Delta v}{\Delta x}=\dfrac{\Delta v}{\Delta u}\times\dfrac{\Delta u}{\Delta x}\;\xrightarrow[\Delta x\to0]{}\; v'(u)\times u'.\]Les « vitesses de variation » se multiplient le long de la chaîne. C'est aussi lisible avec la notation \(\dfrac{dv}{dx}=\dfrac{dv}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}\).
Figure : la composée \(g(x)=(v\circ u)(x)\) avec \(u(x)=x^2\) et \(v(X)=\sin X\), soit \(g(x)=\sin(x^2)\), et sa tangente au point mobile. La pente affichée est \(g'(x_0)=2x_0\cos(x_0^2)\).
Composée \(g(x)=\sin(x^2)\) (bleu) et sa tangente (rouge) au point mobile \(A\). La formule \((v\circ u)'=u'\times(v'\circ u)\) donne \(g'(x)=2x\cos(x^2)\).
- Écrire \(f=v\circ u\) : identifier \(u\) (interne) et \(v\) (externe).
- Calculer \(u'\) et \(v'\).
- Appliquer \(f'=u'\times(v'\circ u)=u'(x)\,v'(u(x))\), puis réduire.
Exemple résolu. \(f(x)=(2x+5)^4\). Interne \(u(x)=2x+5\) (\(u'=2\)), externe \(v(X)=X^4\) (\(v'(X)=4X^3\)). Donc \(f'(x)=u'\cdot v'(u)=2\times4(2x+5)^3=8(2x+5)^3\).
\(u(x)=x^2-3x\) (\(u'=2x-3\)), \(v(X)=X^5\) (\(v'(X)=5X^4\)). Donc \(f'(x)=(2x-3)\times5(x^2-3x)^4=5(2x-3)(x^2-3x)^4\).
III. Dérivées composées usuelles
En appliquant \((v\circ u)'=u'\times(v'\circ u)\) aux fonctions externes de référence, on obtient les formules à connaître. Ici \(u\) est une fonction dérivable quelconque.
| Fonction | Dérivée | Externe \(v\) |
|---|---|---|
| \(u^n\ (n\in\mathbb{Z})\) | \(n\,u'\,u^{n-1}\) | \(v(X)=X^n\) |
| \(\cos u\) | \(-u'\sin u\) | \(v(X)=\cos X\) |
| \(\sin u\) | \(u'\cos u\) | \(v(X)=\sin X\) |
| \(\mathrm{e}^{u}\) | \(u'\,\mathrm{e}^{u}\) | \(v(X)=\mathrm{e}^{X}\) |
| \(\ln u\ (u\gt0)\) | \(\dfrac{u'}{u}\) | \(v(X)=\ln X\) |
Cas particulier affine. Pour \(u(x)=ax+b\) (donc \(u'=a\)), on retrouve \((f(ax+b))'=a\,f'(ax+b)\), vu au chapitre Dérivées.
Avec l'externe \(v(X)=X^n\), on a \(v'(X)=n\,X^{n-1}\). La formule composée donne :
\[(u^n)'=u'\times v'(u)=u'\times n\,u^{n-1}=n\,u'\,u^{n-1}.\qquad\blacksquare\]De même, avec \(v(X)=\mathrm{e}^{X}\) (\(v'=\mathrm{e}^{X}\)) : \((\mathrm{e}^{u})'=u'\,\mathrm{e}^{u}\) ; avec \(v(X)=\ln X\) (\(v'=\tfrac1X\)) : \((\ln u)'=\dfrac{u'}{u}\).
- \(f(x)=\mathrm{e}^{-3x}\) : \(u=-3x\), \(u'=-3\), donc \(f'(x)=-3\,\mathrm{e}^{-3x}\).
- \(g(x)=\cos(x^2)\) : \(u=x^2\), \(u'=2x\), donc \(g'(x)=-2x\sin(x^2)\).
- \(h(x)=\ln(x^2+1)\) : \(u=x^2+1\), \(u'=2x\), donc \(h'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}\).
- \(k(x)=\dfrac{1}{x^2+1}=(x^2+1)^{-1}\) : \(n=-1\), \(u'=2x\), donc \(k'(x)=-1\cdot2x\,(x^2+1)^{-2}=\dfrac{-2x}{(x^2+1)^2}\).
(a) \(u=x^2\), \(u'=2x\) : \(f'(x)=2x\,\mathrm{e}^{x^2}\).
(b) \(u=2x+1\), \(u'=2\) : \(g'(x)=2\cos(2x+1)\).
(c) \(u=3x-2\), \(u'=3\) : \(h'(x)=\dfrac{3}{3x-2}\).
La formule du quotient se retrouve avec la composition : \(\dfrac1v=v^{-1}\) donne \(\left(\dfrac1v\right)'=-1\cdot v'\,v^{-2}=-\dfrac{v'}{v^2}\). Puis, comme \(\dfrac uv=u\times\dfrac1v\), la dérivée du produit fournit \(\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\). La composition unifie ainsi les résultats vus en Première.
IV. Primitives de fonctions composées
Chaque formule de dérivation composée se « lit à l'envers » pour donner une primitive. C'est le principe central de cette partie : reconnaître dans l'expression la forme \(u'\times(\text{quelque chose en }u)\).
Si \(F\) est une primitive de \(f\), alors une primitive de \(u'\,f(u)\) est \(F(u)\), c'est-à-dire \(F\circ u\) :
\[\boxed{\;\text{une primitive de }\;x\mapsto u'(x)\,f\big(u(x)\big)\;\text{ est }\;x\mapsto F\big(u(x)\big).\;}\]En effet, par la dérivée composée, \(\big(F(u)\big)'=u'\,F'(u)=u'\,f(u)\).
Dans le tableau, \(C\) est une constante réelle et \(u\) une fonction dérivable adaptée.
| Fonction à primitiver | Une primitive | Condition |
|---|---|---|
| \(f(ax+b)\) | \(\dfrac{1}{a}\,F(ax+b)\) | \(F\) primitive de \(f\), \(a\neq0\) |
| \(u'\,u^{n}\ (n\neq-1)\) | \(\dfrac{u^{n+1}}{n+1}\) | \(n\in\mathbb{Z},\ n\neq-1\) |
| \(\dfrac{u'}{u}\) | \(\ln|u|\) | \(u\neq0\) |
| \(u'\,\mathrm{e}^{u}\) | \(\mathrm{e}^{u}\) | |
| \(u'\cos u\) | \(\sin u\) | |
| \(u'\sin u\) | \(-\cos u\) |
Le cas \(\dfrac{u'}{u}\) est celui de \(u'\,u^{n}\) avec \(n=-1\), exclu de la première ligne (division par \(n+1=0\)) : sa primitive fait apparaître le logarithme \(\ln|u|\).
- \(f(ax+b)\) : primitive de \(x\mapsto\cos(2x+1)\). Ici \(f=\cos\), \(F=\sin\), \(a=2\) : primitive \(\dfrac12\sin(2x+1)\).
- \(u'\,u^n\) : \(x\mapsto 2x\,(x^2+1)^{3}\). On a \(u=x^2+1\), \(u'=2x\), \(n=3\) : primitive \(\dfrac{(x^2+1)^{4}}{4}\).
- \(\dfrac{u'}{u}\) : \(x\mapsto\dfrac{2x}{x^2+1}\). \(u=x^2+1\), \(u'=2x\) : primitive \(\ln(x^2+1)\) (ici \(u\gt0\), la valeur absolue est inutile).
- \(u'\,\mathrm{e}^u\) : \(x\mapsto -2x\,\mathrm{e}^{-x^2}\). \(u=-x^2\), \(u'=-2x\) : primitive \(\mathrm{e}^{-x^2}\).
- \(u'\cos u\) : \(x\mapsto 3\cos(3x)\). \(u=3x\), \(u'=3\) : primitive \(\sin(3x)\).
- Repérer une fonction \(u\) « à l'intérieur » (dans une puissance, un cos, un exp, un ln, un dénominateur).
- Vérifier que \(u'\) (ou un multiple constant de \(u'\)) apparaît en facteur.
- Appliquer la ligne correspondante du formulaire ; ajuster le facteur constant si besoin.
Exemple résolu. Primitive de \(x\mapsto x\,\mathrm{e}^{x^2}\). Ici \(u=x^2\), \(u'=2x\). Il manque le facteur \(2\) : on écrit \(x\,\mathrm{e}^{x^2}=\dfrac12\big(2x\,\mathrm{e}^{x^2}\big)\), primitive \(\dfrac12\,\mathrm{e}^{x^2}\).
(a) \(u=x^2\), \(u'=2x\), forme \(u'\cos u\) : primitive \(\sin(x^2)\).
(b) \(u=x^3+1\), \(u'=3x^2\), forme \(\dfrac{u'}{u}\) : primitive \(\ln(x^3+1)\).
\(\mathrm{e}^{5x-2}\) est de la forme \(f(ax+b)\) avec \(f=\exp\), \(a=5\) : primitive \(\dfrac15\,\mathrm{e}^{5x-2}\).
\((3x+1)^4\) : forme \(f(ax+b)\) avec \(f(X)=X^4\), \(F(X)=\tfrac{X^5}{5}\), \(a=3\) : primitive \(\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{(3x+1)^5}{5}=\dfrac{(3x+1)^5}{15}\).
V. Application physique : signal amorti
Un signal amorti \(s(t)=A\,\mathrm{e}^{-\lambda t}\cos(\omega t)\) combine plusieurs composées. Sa dérivée (courant, vitesse…) et ses primitives (charge, énergie…) se calculent avec les formules de ce chapitre. Fais varier \(\lambda\) ci-dessous pour voir l'enveloppe \(\pm A\,\mathrm{e}^{-\lambda t}\) resserrer les oscillations.
Signal \(s(t)=A\,\mathrm{e}^{-\lambda t}\cos(\omega t)\). L'enveloppe \(\pm A\,\mathrm{e}^{-\lambda t}\) (pointillés) est une composée \(\mathrm{e}^{u}\) avec \(u=-\lambda t\). Dériver \(s\) mêle les règles \((\mathrm{e}^u)'\) et \((\cos u)'\).
L'enveloppe \(E(t)=A\,\mathrm{e}^{-\lambda t}\) est une composée : \(u=-\lambda t\), \(u'=-\lambda\), donc \(E'(t)=-\lambda A\,\mathrm{e}^{-\lambda t}\). Une primitive de \(E\) est \(-\dfrac{A}{\lambda}\,\mathrm{e}^{-\lambda t}\) (forme \(f(ax+b)\) avec \(a=-\lambda\)).
Erreurs fréquentes / points de vigilance
❌ Oublier le facteur \(u'\) en dérivant une composée : écrire \((\mathrm{e}^{u})'=\mathrm{e}^{u}\).
✅ \((\mathrm{e}^{u})'=u'\,\mathrm{e}^{u}\) : la dérivée de l'interne descend en facteur.
❌ Confondre \(v\circ u\) et \(u\circ v\) (l'ordre).
✅ Dans \(v\circ u\), \(u\) agit en premier : \((v\circ u)(x)=v(u(x))\).
❌ Se tromper de signe : primitive de \(u'\cos u\) écrite \(-\sin u\).
✅ Primitive de \(u'\cos u\) : \(\sin u\) ; primitive de \(u'\sin u\) : \(-\cos u\).
❌ Appliquer \(\dfrac{u^{n+1}}{n+1}\) au cas \(n=-1\).
✅ Pour \(\dfrac{u'}{u}\) (soit \(n=-1\)), la primitive est \(\ln|u|\), pas une puissance.
❌ Oublier le facteur \(\tfrac1a\) dans la primitive de \(f(ax+b)\).
✅ Une primitive de \(f(ax+b)\) est \(\dfrac1a\,F(ax+b)\).
L'essentiel à retenir
- Composée : \((v\circ u)(x)=v(u(x))\) — \(u\) interne agit en premier, \(v\) externe ensuite.
- Dérivée composée : \((v\circ u)'=u'\times(v'\circ u)\) — une formule qui unifie tout.
- Composées usuelles : \((u^n)'=n\,u'\,u^{n-1}\) ; \((\cos u)'=-u'\sin u\) ; \((\sin u)'=u'\cos u\) ; \((\mathrm{e}^u)'=u'\,\mathrm{e}^u\) ; \((\ln u)'=\dfrac{u'}{u}\).
- Primitives (lecture inverse) : \(u'\,f(u)\to F(u)\) ; \(f(ax+b)\to\dfrac1a F(ax+b)\) ; \(u'u^n\to\dfrac{u^{n+1}}{n+1}\) ; \(\dfrac{u'}{u}\to\ln|u|\) ; \(u'\mathrm{e}^u\to\mathrm{e}^u\) ; \(u'\cos u\to\sin u\) ; \(u'\sin u\to-\cos u\).