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Fiche – Composition de fonctions
Chapitre 16 | Terminale STL — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
L'essentiel :
- La composée \(v\circ u\) applique \(u\) puis \(v\) : \((v\circ u)(x)=v(u(x))\). L'ordre compte.
- Une seule formule de dérivation : \((v\circ u)'=u'\times(v'\circ u)\). Elle unifie toutes les dérivées composées usuelles.
- Lue à l'envers, elle donne les primitives : reconnaître la forme \(u'\times(\text{fonction de }u)\).
Définitions clés
Composée \(v\circ u\)
\((v\circ u)(x)=v\big(u(x)\big)\) : \(u\) est la fonction interne (agit en premier), \(v\) la fonction externe.
Dérivée d'une composée
\((v\circ u)'=u'\times(v'\circ u)\), soit \((v\circ u)'(x)=u'(x)\,v'\big(u(x)\big)\).
Primitive de \(u'\,f(u)\)
Si \(F\) est une primitive de \(f\), une primitive de \(u'\,f(u)\) est \(F(u)=F\circ u\).
À connaître par cœur
Dérivées composées usuelles (\(u\) dérivable)
\[(u^n)' = n\,u'\,u^{n-1}\qquad (\mathrm{e}^{u})' = u'\,\mathrm{e}^{u}\qquad (\ln u)' = \dfrac{u'}{u}\]
\[(\cos u)' = -u'\sin u\qquad (\sin u)' = u'\cos u\]
Primitives composées usuelles (\(C\) constante, à \(+C\) près)
\[f(ax+b)\ \longrightarrow\ \dfrac1a\,F(ax+b)\qquad u'\,u^{n}\ \longrightarrow\ \dfrac{u^{n+1}}{n+1}\ (n\neq-1)\]
\[\dfrac{u'}{u}\ \longrightarrow\ \ln|u|\qquad u'\,\mathrm{e}^{u}\ \longrightarrow\ \mathrm{e}^{u}\]
\[u'\cos u\ \longrightarrow\ \sin u\qquad u'\sin u\ \longrightarrow\ -\cos u\]
Tableau récapitulatif dérivée ↔ primitive
| Forme \(u'\times\dots\) | Dérivée de … | Primitive → … |
|---|
| \(n\,u'u^{n-1}\) | \(u^n\) | \(u'u^n\to\tfrac{u^{n+1}}{n+1}\) |
| \(\dfrac{u'}{u}\) | \(\ln u\) | \(\dfrac{u'}{u}\to\ln|u|\) |
| \(u'\,\mathrm{e}^u\) | \(\mathrm{e}^u\) | \(u'\mathrm{e}^u\to\mathrm{e}^u\) |
| \(-u'\sin u\) | \(\cos u\) | \(u'\sin u\to-\cos u\) |
| \(u'\cos u\) | \(\sin u\) | \(u'\cos u\to\sin u\) |
Méthodes
Méthode — Dériver une composée
- Identifier \(u\) (interne) et \(v\) (externe).
- Calculer \(u'\) et \(v'\).
- Appliquer \(f'=u'\times v'(u)\), puis réduire.
Méthode — Reconnaître une primitive
- Repérer \(u\) « à l'intérieur » (puissance, cos, exp, ln, dénominateur).
- Vérifier que \(u'\) (ou un multiple constant) est en facteur.
- Appliquer la ligne du formulaire ; ajuster le facteur constant.
Erreurs fréquentes
Attention
❌ \((\mathrm{e}^u)'=\mathrm{e}^u\) (oubli du facteur \(u'\)).
✅ \((\mathrm{e}^u)'=u'\,\mathrm{e}^u\).
❌ Primitive de \(\dfrac{u'}{u}\) écrite comme une puissance.
✅ \(\dfrac{u'}{u}\to\ln|u|\) (cas \(n=-1\)).
❌ Oublier le \(\tfrac1a\) dans la primitive de \(f(ax+b)\).
✅ Primitive \(\dfrac1a\,F(ax+b)\).
Exemple express
Exemple — aller-retour dérivée/primitive
Avec \(f(x)=\mathrm{e}^{-x^2}\) : \(u=-x^2\), \(u'=-2x\).
- Dérivée : \(f'(x)=-2x\,\mathrm{e}^{-x^2}\).
- Primitive de \(-2x\,\mathrm{e}^{-x^2}\) : \(\mathrm{e}^{-x^2}\) (forme \(u'\mathrm{e}^u\)).
- Primitive de \(x\,\mathrm{e}^{-x^2}\) : \(-\dfrac12\,\mathrm{e}^{-x^2}\) (facteur ajusté).