Chapitre 16 | Terminale STL — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
1. Pour \(f(x)=(3x^2-1)^4\), donner la fonction interne \(u\) et la fonction externe \(v\) telles que \(f=v\circ u\). (1 pt)
2. Dériver les fonctions suivantes en précisant \(u\) et \(u'\) : (4 pts)
a) \(f(x)=(3x^2-1)^4\) b) \(g(x)=\mathrm{e}^{-5x}\) c) \(h(x)=\cos(4x+1)\) d) \(k(x)=\ln(x^2+2)\)
3. Les fonctions \(v\circ u\) et \(u\circ v\) sont-elles toujours égales ? Justifier avec \(u(x)=x+2\) et \(v(X)=X^2\). (1 pt)
1. \(u(x)=3x^2-1\), \(v(X)=X^4\). (1 pt)
2. (1 pt chacune)
a) \(u=3x^2-1\), \(u'=6x\), \(n=4\) : \(f'(x)=6x\times4(3x^2-1)^3=24x(3x^2-1)^3\).
b) \(u=-5x\), \(u'=-5\) : \(g'(x)=-5\,\mathrm{e}^{-5x}\).
c) \(u=4x+1\), \(u'=4\) : \(h'(x)=-4\sin(4x+1)\).
d) \(u=x^2+2\), \(u'=2x\) : \(k'(x)=\dfrac{2x}{x^2+2}\).
3. Non : \((v\circ u)(x)=(x+2)^2\) alors que \((u\circ v)(x)=x^2+2\). Ce sont deux fonctions différentes, donc l'ordre de composition compte. (1 pt)
Déterminer une primitive de chaque fonction, en indiquant la forme reconnue (\(f(ax+b)\), \(u'u^n\), \(\dfrac{u'}{u}\), \(u'\mathrm{e}^u\), \(u'\cos u\) ou \(u'\sin u\)).
1. \(x\mapsto \mathrm{e}^{2x-3}\) (1 pt)
2. \(x\mapsto 3x^2\,(x^3+4)^{5}\) (1,5 pt)
3. \(x\mapsto \dfrac{3x^2}{x^3+4}\) sur \(]{-}\!\sqrt[3]{4}\,;+\infty[\) (1,5 pt)
4. \(x\mapsto x\,\mathrm{e}^{x^2}\) (1,5 pt)
5. \(x\mapsto 2\cos(2x)\) (1,5 pt)
1. Forme \(f(ax+b)\), \(f=\exp\), \(a=2\) : primitive \(\dfrac12\,\mathrm{e}^{2x-3}\).
2. \(u=x^3+4\), \(u'=3x^2\), forme \(u'u^5\) : primitive \(\dfrac{(x^3+4)^{6}}{6}\).
3. \(u=x^3+4\), \(u'=3x^2\), forme \(\dfrac{u'}{u}\) : primitive \(\ln(x^3+4)\) (car \(u\gt0\) sur l'intervalle).
4. \(u=x^2\), \(u'=2x\) ; \(x\,\mathrm{e}^{x^2}=\tfrac12(2x\,\mathrm{e}^{x^2})\), forme \(\tfrac12\,u'\mathrm{e}^u\) : primitive \(\dfrac12\,\mathrm{e}^{x^2}\).
5. \(u=2x\), \(u'=2\), forme \(u'\cos u\) : primitive \(\sin(2x)\).
La température d'un objet qui refroidit est modélisée, en degrés Celsius et pour \(t\ge0\) (en minutes), par
\[\theta(t)=20+60\,\mathrm{e}^{-0{,}1\,t}.\]1. Justifier que \(\theta\) fait intervenir une fonction composée et calculer \(\theta'(t)\). (2 pts)
2. Étudier le signe de \(\theta'(t)\) et en déduire le sens de variation de \(\theta\). Interpréter physiquement. (2 pts)
3. Vers quelle température l'objet tend-il quand \(t\) devient très grand ? (1 pt)
4. Déterminer une primitive \(\Theta\) de \(\theta\) sur \([0;+\infty[\). (2 pts)
1. Le terme \(\mathrm{e}^{-0{,}1t}\) est une composée : \(u(t)=-0{,}1t\), \(u'=-0{,}1\), forme \(\mathrm{e}^u\). Donc
\[\theta'(t)=60\times(-0{,}1)\,\mathrm{e}^{-0{,}1t}=-6\,\mathrm{e}^{-0{,}1t}.\](1 pt reconnaissance composée + 1 pt calcul)
2. \(\mathrm{e}^{-0{,}1t}\gt0\), donc \(\theta'(t)=-6\,\mathrm{e}^{-0{,}1t}\lt0\) pour tout \(t\ge0\) : \(\theta\) est strictement décroissante. Physiquement, l'objet refroidit continûment. (2 pts)
3. Quand \(t\to+\infty\), \(\mathrm{e}^{-0{,}1t}\to0\), donc \(\theta(t)\to20\,°\mathrm{C}\) : l'objet tend vers la température ambiante \(20\,°\mathrm{C}\). (1 pt)
4. Une primitive de la constante \(20\) est \(20t\). Pour \(60\,\mathrm{e}^{-0{,}1t}\), forme \(f(ax+b)\) avec \(a=-0{,}1\) : primitive \(60\times\dfrac{1}{-0{,}1}\,\mathrm{e}^{-0{,}1t}=-600\,\mathrm{e}^{-0{,}1t}\). Donc
\[\Theta(t)=20t-600\,\mathrm{e}^{-0{,}1t}\ (+\,C).\](1 pt pour le terme constant, 1 pt pour le terme exponentiel avec le facteur \(\tfrac1a\))