Chapitre 13 | Terminale STL — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Écrire chaque expression sous la forme \(e^{k}\) ou \(e^{u(x)}\), avec un seul exposant :
1. \(e^{4}\times e^{-7}\) 2. \(\dfrac{e^{8}}{e^{3}}\) 3. \(\left(e^{-2}\right)^{4}\) 4. \(e^{3x}\times e^{-x}\) 5. \(\dfrac{e^{5x}}{e^{2x}}\) 6. \(\left(e^{x}\right)^{3}\times e^{-2x}\)
1. \(e^{4-7}=e^{-3}\). 2. \(e^{8-3}=e^{5}\). 3. \(e^{-2\times4}=e^{-8}\).
4. \(e^{3x-x}=e^{2x}\). 5. \(e^{5x-2x}=e^{3x}\). 6. \(e^{3x}\times e^{-2x}=e^{3x-2x}=e^{x}\).
1. À la calculatrice, donner une valeur approchée à \(10^{-3}\) de \(e^{3}\), \(e^{-2}\) et \(e^{1{,}5}\).
2. Ranger dans l'ordre croissant, sans calculatrice : \(e^{-1}\), \(e^{0}\), \(e^{2}\), \(e^{-3}\). Justifier.
3. Le nombre \(e^{-10}\) est-il positif, négatif ou nul ?
1. \(e^{3}\approx20{,}086\) ; \(e^{-2}\approx0{,}135\) ; \(e^{1{,}5}\approx4{,}482\).
2. \(x\mapsto e^x\) est croissante ; on range les exposants : \(-3\lt-1\lt0\lt2\), donc \(e^{-3}\lt e^{-1}\lt e^{0}\lt e^{2}\).
3. \(e^{-10}\gt0\) : toute exponentielle est strictement positive (ici \(\approx4{,}5\times10^{-5}\)).
Dériver sur \(\mathbb{R}\), puis donner le sens de variation :
1. \(f(x)=e^{4x}\) 2. \(g(x)=e^{-0{,}5x}\) 3. \(h(x)=3e^{2x}+1\) 4. \(p(x)=e^{x}+e^{-x}\)
1. \(f'(x)=4e^{4x}\gt0\) : \(f\) croissante.
2. \(g'(x)=-0{,}5\,e^{-0{,}5x}\lt0\) : \(g\) décroissante.
3. \(h'(x)=3\times2e^{2x}=6e^{2x}\gt0\) : \(h\) croissante.
4. \(p'(x)=e^{x}-e^{-x}\). \(p'(x)\gt0\iff e^x\gt e^{-x}\iff x\gt-x\iff x\gt0\). Donc \(p\) décroît sur \(]-\infty\,;0]\) puis croît sur \([0\,;+\infty[\) (minimum en \(0\) : \(p(0)=2\)).
Déterminer les limites demandées :
1. \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^{x}\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^{x}\).
2. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^{-x}\) et \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^{-x}\).
3. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\big(2+e^{-x}\big)\). Interpréter graphiquement.
4. \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\big(5-e^{x}\big)\).
1. \(\displaystyle\lim_{-\infty}e^{x}=0^+\) ; \(\displaystyle\lim_{+\infty}e^{x}=+\infty\).
2. \(\displaystyle\lim_{+\infty}e^{-x}=0^+\) ; \(\displaystyle\lim_{-\infty}e^{-x}=+\infty\).
3. \(e^{-x}\to0^+\), donc \(2+e^{-x}\to2^+\) : la droite \(y=2\) est asymptote horizontale en \(+\infty\).
4. \(e^{x}\to0^+\), donc \(5-e^{x}\to5^-\).
Déterminer les limites en \(+\infty\) :
1. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^{x}}{x^{2}}\) 2. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^{3}\,e^{-x}\) 3. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^{x}}{x}\) 4. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\big(2x-e^{x}\big)\)
1. Forme \(\dfrac{e^x}{x^n}\) avec \(n=2\) : limite \(+\infty\).
2. Forme \(x^n e^{-x}\) avec \(n=3\) : limite \(0\).
3. \(\dfrac{e^x}{x}=\dfrac{e^x}{x^1}\) (\(n=1\)) : limite \(+\infty\).
4. \(2x-e^{x}=-e^{x}\left(1-\dfrac{2x}{e^{x}}\right)\). Or \(\dfrac{2x}{e^{x}}=2\times\dfrac{x}{e^x}=2\times x\,e^{-x}\to0\), donc la parenthèse tend vers \(1\) et \(-e^{x}\to-\infty\) : la limite vaut \(-\infty\). (L'exponentielle l'emporte sur \(2x\).)
Soit \(f(x)=(x-2)\,e^{x}\) définie sur \(\mathbb{R}\).
1. Calculer \(f'(x)\) et le factoriser par \(e^{x}\).
2. En déduire le sens de variation de \(f\) et son minimum.
3. Déterminer \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\).
1. Produit \(u=x-2\), \(v=e^x\), \(u'=1\), \(v'=e^x\) : \(f'(x)=1\times e^{x}+(x-2)e^{x}=e^{x}\big(1+x-2\big)=e^{x}(x-1)\).
2. \(e^x\gt0\), donc \(f'(x)\) a le signe de \(x-1\) : \(f\) décroît sur \(]-\infty\,;1]\), croît sur \([1\,;+\infty[\). Minimum en \(x=1\) : \(f(1)=(1-2)e^{1}=-e\approx-2{,}72\).
3. En \(+\infty\) : \(x-2\to+\infty\) et \(e^x\to+\infty\), donc \(f(x)\to+\infty\). En \(-\infty\) : posons \(f(x)=x e^x-2e^x\). Or \(x e^x\to0\) (croissance comparée, car \(x e^x=-|x|e^{-|x|}\to0\)) et \(2e^x\to0\), donc \(f(x)\to0^-\) (la courbe s'approche de l'axe des abscisses par en dessous, car \(x-2\lt0\)).
Le nombre de noyaux d'iode 131 dans un échantillon suit \(N(t)=N_0\,e^{-\lambda t}\), avec \(N_0=6{,}0\times10^{12}\) noyaux et \(\lambda=0{,}086\ \text{jour}^{-1}\) (\(t\) en jours).
1. Donner le sens de variation de \(N\). Justifier par la dérivée.
2. Calculer \(N(8)\) (arrondir à deux chiffres significatifs).
3. Déterminer \(\displaystyle\lim_{t\to+\infty}N(t)\) et interpréter.
1. \(N'(t)=N_0\times(-\lambda)e^{-\lambda t}=-\lambda N_0\,e^{-\lambda t}\lt0\) (car \(\lambda\gt0\), \(N_0\gt0\), \(e^{-\lambda t}\gt0\)). \(N\) est décroissante.
2. \(N(8)=6{,}0\times10^{12}\times e^{-0{,}086\times8}=6{,}0\times10^{12}\times e^{-0{,}688}\). Or \(e^{-0{,}688}\approx0{,}503\), donc \(N(8)\approx3{,}0\times10^{12}\) noyaux (environ la moitié).
3. \(-\lambda\lt0\) donc \(e^{-\lambda t}\to0^+\) et \(N(t)\to0\). À long terme, l'échantillon est quasi entièrement désintégré.
Partie A — Cinétique d'ordre 1. La concentration d'un réactif \(\text{A}\) au cours d'une réaction d'ordre 1 est \(C(t)=C_0\,e^{-kt}\), avec \(C_0=0{,}50\ \text{mol·L}^{-1}\) et \(k=0{,}20\ \text{min}^{-1}\) (\(t\) en min).
1. Calculer \(C(0)\), \(C(5)\) et \(C(10)\) (arrondir à \(10^{-3}\)).
2. Étudier le sens de variation de \(C\) et déterminer \(\displaystyle\lim_{t\to+\infty}C(t)\).
Partie B — Charge d'un condensateur. La tension aux bornes d'un condensateur en charge est \(u(t)=5\big(1-e^{-t/\tau}\big)\), en volts, avec \(\tau=2{,}0\) s (\(t\) en s).
3. Calculer \(u(0)\) et \(u(2)\) (à \(10^{-2}\)).
4. Déterminer \(\displaystyle\lim_{t\to+\infty}u(t)\). Comment appelle-t-on cette valeur limite en physique ?
5. Montrer que \(u'(t)=\dfrac{5}{\tau}\,e^{-t/\tau}\) et en déduire le sens de variation de \(u\).
1. \(C(0)=0{,}50\times e^{0}=0{,}500\ \text{mol·L}^{-1}\). \(C(5)=0{,}50\,e^{-0{,}20\times5}=0{,}50\,e^{-1}\approx0{,}50\times0{,}368=0{,}184\ \text{mol·L}^{-1}\). \(C(10)=0{,}50\,e^{-2}\approx0{,}50\times0{,}135=0{,}068\ \text{mol·L}^{-1}\).
2. \(C'(t)=-k\,C_0\,e^{-kt}\lt0\) : \(C\) est décroissante. \(e^{-kt}\to0\) donc \(\displaystyle\lim_{+\infty}C(t)=0\) : le réactif est totalement consommé.
3. \(u(0)=5(1-e^{0})=5(1-1)=0\) V. \(u(2)=5\big(1-e^{-2/2}\big)=5(1-e^{-1})\approx5(1-0{,}368)=5\times0{,}632=3{,}16\) V.
4. \(e^{-t/\tau}\to0^+\), donc \(u(t)\to5(1-0)=5\) V. Cette valeur limite est la tension du régime permanent (valeur finale atteinte à long terme).
5. \(u(t)=5-5e^{-t/\tau}\). La dérivée de \(e^{-t/\tau}=e^{(-1/\tau)t}\) est \(-\dfrac1\tau e^{-t/\tau}\), donc \(u'(t)=-5\times\left(-\dfrac1\tau\right)e^{-t/\tau}=\dfrac{5}{\tau}\,e^{-t/\tau}\gt0\). \(u\) est croissante : la tension monte puis se stabilise à \(5\) V.