Fiche – Fonction exponentielle de base e

Chapitre 13 | Terminale STL — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

L'essentiel :

Nombre \(e\) : \(e\approx2{,}718\) (nombre d'Euler) ; \(x\mapsto e^x\) a en \(0\) une tangente de pente \(1\).
\(e^x\gt0\) pour tout \(x\) ; \(e^0=1\), \(e^1=e\).
Dérivée : \(\big(e^x\big)'=e^x\) ; \(\big(e^{kx}\big)'=k\,e^{kx}\).
Limites : \(\displaystyle\lim_{-\infty}e^x=0^+\), \(\displaystyle\lim_{+\infty}e^x=+\infty\).
Croissance comparée : l'exponentielle l'emporte : \(\displaystyle\lim_{+\infty}\tfrac{e^x}{x^n}=+\infty\), \(\displaystyle\lim_{+\infty}x^n e^{-x}=0\).

Définitions clés

Définition

Nombre \(e\) (nombre d'Euler) : unique base \(a\gt0\) pour laquelle \(x\mapsto a^x\) admet en \(0\) une tangente de pente \(1\). \(e\approx2{,}718\), irrationnel (admis).

Définition

Fonction exponentielle : \(\exp:x\mapsto e^x\), définie sur \(\mathbb{R}\), strictement positive et strictement croissante.

À connaître par cœur

Propriétés algébriques \[e^{a+b}=e^a\,e^b\qquad e^{-a}=\dfrac1{e^a}\qquad e^{a-b}=\dfrac{e^a}{e^b}\qquad \left(e^a\right)^n=e^{na}\]

Dérivées \[\big(e^x\big)'=e^x\qquad\qquad \big(e^{kx}\big)'=k\,e^{kx}\]

Sens de variation de \(x\mapsto e^{kx}\) = signe de \(k\) (croissante si \(k\gt0\), décroissante si \(k\lt0\)).

Limites \[\lim_{x\to-\infty}e^x=0^+\qquad \lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty\] \[\lim_{x\to+\infty}e^{-x}=0^+\qquad \lim_{x\to-\infty}e^{-x}=+\infty\]

Croissance comparée en \(+\infty\) (\(n\) entier \(\geq1\)) \[\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x^n}=+\infty\qquad\qquad \lim_{x\to+\infty}x^n\,e^{-x}=0\]

Courbe de \(x\mapsto e^x\)

Entièrement au-dessus de l'axe des abscisses (car \(e^x\gt0\)).
Passe par \((0\,;1)\) et \((1\,;e)\) ; tangente \(y=1+x\) en \((0\,;1)\).
Strictement croissante ; asymptote horizontale \(y=0\) en \(-\infty\).

Méthode — Étudier une fonction \(x\mapsto e^{kx}\)

Méthode

Domaine : le plus souvent \(\mathbb{R}\).
Dériver ; pour un produit \(u\,e^{kx}\), utiliser \((uv)'=u'v+uv'\).
Factoriser la dérivée par \(e^{kx}\gt0\) : le signe ne dépend que du reste.
Dresser le tableau de variation.
Limites aux bornes : limites de l'exponentielle + croissance comparée si besoin.

Méthode — Lever une forme indéterminée avec \(x^n e^{-x}\) ou \(\tfrac{e^x}{x^n}\)

Ne jamais écrire « \(+\infty\times0\) » ni « \(\tfrac{\infty}{\infty}\) » : appliquer directement la croissance comparée. « L'exponentielle l'emporte sur la puissance. »

Applications en physique-chimie

Modèles exponentiels

Désintégration radioactive : \(N(t)=N_0\,e^{-\lambda t}\) (décroît vers \(0\)).
Cinétique d'ordre 1 : \(C(t)=C_0\,e^{-kt}\) (même forme).
Régime permanent : \(V(t)=V_\infty\big(1-e^{-t/\tau}\big)\to V_\infty\) (limite de l'exponentielle).

Erreurs fréquentes

Attention

❌ Croire que \(e^x\) peut être nul ou négatif.

✅ \(e^x\gt0\) toujours.

❌ \(\big(e^{kx}\big)'=e^{kx}\) (facteur \(k\) oublié).

✅ \(\big(e^{kx}\big)'=k\,e^{kx}\).

❌ \(e^a\times e^b=e^{a\times b}\).

✅ \(e^a\times e^b=e^{a+b}\) (exposants ajoutés).

❌ « \(e^x\to0\) en \(+\infty\) ».

✅ \(e^x\to+\infty\) en \(+\infty\) ; c'est \(e^{-x}\) qui \(\to0\).

Exemple rapide

Exemple — une dérivée, une limite, une application

Soit \(f(x)=x\,e^{-x}\).

\(f'(x)=e^{-x}(1-x)\) : max en \(x=1\), \(f(1)=\dfrac1e\approx0{,}37\).
\(\displaystyle\lim_{+\infty}x\,e^{-x}=0\) (croissance comparée).
Radioactivité : \(N(t)=N_0 e^{-\lambda t}\to0\) ; le régime permanent \(V_\infty(1-e^{-t/\tau})\to V_\infty\).