Chapitre 13 | Terminale STL — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
1. Écrire sous la forme \(e^{k}\) : a) \(e^{6}\times e^{-2}\) b) \(\dfrac{e^{9}}{e^{4}}\) c) \(\left(e^{-3}\right)^{2}\). (3 pts)
2. Dériver sur \(\mathbb{R}\) : a) \(f(x)=e^{3x}\) b) \(g(x)=4e^{-x}\). (2 pts)
3. Déterminer \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^{x}\), \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^{x}\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^{-x}\). (2 pts)
1. a) \(e^{6-2}=e^{4}\) ; b) \(e^{9-4}=e^{5}\) ; c) \(e^{-3\times2}=e^{-6}\). (1×3)
2. a) \(f'(x)=3e^{3x}\) ; b) \(g'(x)=4\times(-1)e^{-x}=-4e^{-x}\). (1+1)
3. \(\displaystyle\lim_{-\infty}e^{x}=0^+\) ; \(\displaystyle\lim_{+\infty}e^{x}=+\infty\) ; \(\displaystyle\lim_{+\infty}e^{-x}=0^+\). (0,5+0,75+0,75)
Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=(2-x)\,e^{x}\).
1. Montrer que \(f'(x)=(1-x)\,e^{x}\). (2 pts)
2. Étudier le signe de \(f'(x)\) et dresser le tableau de variation de \(f\). (2,5 pts)
| \(x\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) | |
|---|---|---|---|
| Signe de \(f'(x)\) | |||
| Variations de \(f\) |
3. Calculer la valeur exacte du maximum de \(f\). (1 pt)
4. Déterminer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\). (1,5 pt)
1. Produit \(u=2-x\), \(v=e^x\), \(u'=-1\), \(v'=e^x\) : \(f'(x)=-1\times e^{x}+(2-x)e^{x}=e^{x}\big(-1+2-x\big)=(1-x)e^{x}\). (2)
2. \(e^{x}\gt0\), donc \(f'(x)\) a le signe de \(1-x\) : positif pour \(x\lt1\), négatif pour \(x\gt1\). \(f\) croît sur \(]-\infty\,;1]\) puis décroît sur \([1\,;+\infty[\). (2,5)
3. Maximum en \(x=1\) : \(f(1)=(2-1)e^{1}=e\approx2{,}72\). (1)
4. \(f(x)=2e^{x}-x e^{x}\). En \(+\infty\), \(2e^x\to+\infty\) domine (\(-xe^x\to-\infty\) mais on écrit \(f(x)=e^x(2-x)\), avec \(e^x\to+\infty\) et \(2-x\to-\infty\), produit \(\to-\infty\)). Donc \(\displaystyle\lim_{+\infty}f(x)=-\infty\). (1,5)
L'activité d'une source radioactive (en becquerels) est modélisée par \[A(t)=A_0\,e^{-\lambda t},\qquad A_0=2{,}0\times10^{5}\ \text{Bq},\quad \lambda=0{,}050\ \text{h}^{-1},\ t\ \text{en heures}.\]
1. Calculer l'activité initiale \(A(0)\). (1 pt)
2. Calculer \(A(10)\) (arrondir à deux chiffres significatifs). (1,5 pt)
3. Montrer que \(A'(t)=-\lambda A_0\,e^{-\lambda t}\), puis en déduire le sens de variation de \(A\). (2 pts)
4. Déterminer \(\displaystyle\lim_{t\to+\infty}A(t)\) et interpréter physiquement. (1,5 pt)
1. \(A(0)=A_0\,e^{0}=2{,}0\times10^{5}\ \text{Bq}\). (1)
2. \(A(10)=2{,}0\times10^{5}\times e^{-0{,}050\times10}=2{,}0\times10^{5}\times e^{-0{,}5}\). Or \(e^{-0{,}5}\approx0{,}607\), donc \(A(10)\approx1{,}2\times10^{5}\ \text{Bq}\). (1,5)
3. \(A'(t)=A_0\times(-\lambda)e^{-\lambda t}=-\lambda A_0\,e^{-\lambda t}\). Comme \(\lambda\gt0\), \(A_0\gt0\), \(e^{-\lambda t}\gt0\), on a \(A'(t)\lt0\) : \(A\) est décroissante. (2)
4. \(-\lambda\lt0\), donc \(e^{-\lambda t}\to0^+\) et \(\displaystyle\lim_{+\infty}A(t)=0\). L'activité tend vers \(0\) : la source devient de moins en moins radioactive au fil du temps. (1,5)