Chapitre 13 – Fonction exponentielle de base e

Chapitre 13 | Terminale STL — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

⏱ Durée de lecture estimée : ~22 min

Illustration : Deux élèves comparent quatre plateaux contenant un, deux, quatre et huit cubes et observent une courbe exponentielle croissante. — Relier une croissance multiplicative régulière à l’allure d’une fonction exponentielle.

Objectifs du chapitre

Connaître le nombre \(e\) (nombre d'Euler) et la fonction exponentielle \(x\mapsto e^x\)
Connaître et utiliser les propriétés algébriques : \(e^{a+b}=e^a e^b\), \(e^{-a}=\dfrac{1}{e^a}\), \(e^{a-b}=\dfrac{e^a}{e^b}\), \((e^a)^n=e^{na}\)
Connaître la dérivée de \(x\mapsto e^x\) (égale à elle-même) et de \(x\mapsto e^{kx}\) (égale à \(k\,e^{kx}\))
Tracer et reconnaître la courbe représentative de l'exponentielle
Connaître les limites en \(-\infty\) (\(\to 0^+\)) et en \(+\infty\) (\(\to +\infty\))
Connaître la croissance comparée : \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x^n}=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^n e^{-x}=0\)
Étudier les variations et déterminer les limites de fonctions somme, produit ou quotient de fonctions \(x\mapsto e^{kx}\) et de fonctions polynômes

La fonction exponentielle est l'une des fonctions les plus importantes des sciences. Elle décrit tous les phénomènes de croissance ou de décroissance à taux proportionnel : la désintégration radioactive, la cinétique chimique d'ordre 1, la charge d'un condensateur, le retour d'un système physique vers son régime permanent. Ce chapitre définit le nombre \(e\), construit la fonction \(x\mapsto e^x\), établit ses propriétés algébriques, sa dérivée, ses limites et la croissance comparée, puis les met en œuvre pour étudier des fonctions du type \(x\mapsto e^{kx}\). Prérequis : dérivation, sens de variation, limites de fonctions de référence.

I. Le nombre \(e\) et la fonction exponentielle

Considérons les fonctions puissances \(x\mapsto a^x\) pour différentes bases \(a\gt0\) (par exemple \(2^x\), \(3^x\)…). Toutes passent par le point \((0\,;1)\) car \(a^0=1\). En ce point, leur tangente a une pente qui dépend de la base \(a\) : petite pour \(a=2\), plus grande pour \(a=3\).

Définition — Le nombre \(e\) (nombre d'Euler)

Il existe une unique base \(a\) pour laquelle la fonction \(x\mapsto a^x\) admet en \(0\) une tangente de pente exactement égale à \(1\). Cette base est le nombre \(e\), appelé nombre d'Euler :

\[e\approx 2{,}718\,281\dots\]

Le nombre \(e\) est irrationnel (sa valeur est admise). La fonction correspondante \(x\mapsto e^x\) est la fonction exponentielle, notée aussi \(\exp\).

Sur la figure, la fonction \(x\mapsto e^x\) (bleu) est la seule dont la tangente en \((0\,;1)\) (pointillés) a pour pente exactement \(1\) : elle « longe » la droite \(y=1+x\). Compare avec \(2^x\) (tangente trop plate) et \(3^x\) (tangente trop raide).

Les trois courbes passent par \((0\,;1)\). Seule celle de \(e^x\) a une tangente de pente \(1\) en ce point : c'est ce qui définit le nombre \(e\).

Définition — Fonction exponentielle

La fonction exponentielle est la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par

\[\exp : x\mapsto e^x.\]

Elle est strictement positive sur \(\mathbb{R}\) : pour tout réel \(x\), \(e^x\gt 0\). De plus \(e^0=1\) et \(e^1=e\).

Attention

On a toujours \(e^x\gt 0\), quel que soit le signe de \(x\) : une exponentielle n'est jamais nulle ni négative. Par exemple \(e^{-5}\approx 0{,}0067\gt 0\).

Exercice d'application 1. À la calculatrice, donner une valeur approchée à \(10^{-3}\) de \(e^2\), \(e^{-1}\) et \(e^{0{,}5}\). Ces nombres sont-ils positifs ?

\(e^2\approx 7{,}389\) ; \(e^{-1}\approx 0{,}368\) ; \(e^{0{,}5}\approx 1{,}649\). Tous sont strictement positifs, comme toute exponentielle.

II. Propriétés algébriques

Propriétés — Règles de calcul sur l'exponentielle

Pour tous réels \(a\) et \(b\), et tout entier \(n\) :

\[e^{a+b}=e^a\,e^b\qquad e^{-a}=\dfrac{1}{e^a}\qquad e^{a-b}=\dfrac{e^a}{e^b}\qquad \left(e^{a}\right)^n=e^{na}\]

L'exponentielle transforme les sommes en produits : c'est la propriété fondamentale \(e^{a+b}=e^a e^b\), dont découlent toutes les autres.

Méthode — Simplifier une expression avec des exponentielles

On regroupe les exposants à l'aide des règles ci-dessus, comme avec les puissances.

Exemples résolus.

\(e^3\times e^5 = e^{3+5}=e^{8}\).
\(\dfrac{e^7}{e^2}=e^{7-2}=e^{5}\).
\(\left(e^{2}\right)^{3}=e^{2\times3}=e^{6}\).
\(e^{-4}=\dfrac{1}{e^{4}}\).
\(e^{x}\times e^{-x}=e^{x-x}=e^{0}=1\).

Exercice d'application 2. Simplifier et écrire sous la forme \(e^{k}\) (ou \(e^{u(x)}\)) :
a) \(e^{2}\times e^{-6}\) b) \(\dfrac{e^{5}}{e^{9}}\) c) \(\left(e^{-3}\right)^{2}\) d) \(\dfrac{e^{3x}\times e^{x}}{e^{2x}}\)

a) \(e^{2-6}=e^{-4}\). b) \(e^{5-9}=e^{-4}\). c) \(e^{-3\times2}=e^{-6}\). d) \(\dfrac{e^{3x+x}}{e^{2x}}=\dfrac{e^{4x}}{e^{2x}}=e^{4x-2x}=e^{2x}\).

III. Dérivée de l'exponentielle

Propriété — Dérivée de \(x\mapsto e^x\)

La fonction exponentielle est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et elle est égale à sa propre dérivée :

\[\big(e^x\big)'=e^x.\]

C'est la propriété la plus remarquable de l'exponentielle : sa vitesse de variation en chaque point est égale à sa valeur en ce point.

Propriété — Dérivée de \(x\mapsto e^{kx}\)

Soit \(k\) un réel fixé. La fonction \(x\mapsto e^{kx}\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et

\[\big(e^{kx}\big)'=k\,e^{kx}.\]

On multiplie par le coefficient \(k\) de l'exposant. Par exemple \(\big(e^{3x}\big)'=3e^{3x}\) et \(\big(e^{-2x}\big)'=-2e^{-2x}\).

Conséquence — Sens de variation de \(x\mapsto e^{kx}\)

Comme \(e^{kx}\gt0\), le signe de la dérivée \(k\,e^{kx}\) est celui de \(k\) :

si \(k\gt0\), la fonction \(x\mapsto e^{kx}\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) ;
si \(k\lt0\), elle est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\) ;
si \(k=0\), elle est constante égale à \(1\).

En particulier \(x\mapsto e^x\) (cas \(k=1\)) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

Exercice d'application 3. Dériver chacune des fonctions sur \(\mathbb{R}\), puis donner son sens de variation :
a) \(f(x)=e^{5x}\) b) \(g(x)=e^{-0{,}3x}\) c) \(h(x)=4e^{2x}\)

a) \(f'(x)=5e^{5x}\gt0\) : \(f\) est croissante.

b) \(g'(x)=-0{,}3\,e^{-0{,}3x}\lt0\) : \(g\) est décroissante.

c) \(h'(x)=4\times2e^{2x}=8e^{2x}\gt0\) : \(h\) est croissante.

IV. Courbe représentative

Propriété — Allure de la courbe de \(x\mapsto e^x\)

La courbe est entièrement au-dessus de l'axe des abscisses (car \(e^x\gt0\)).
Elle passe par \((0\,;1)\) et par \((1\,;e)\), avec \(e\approx2{,}72\).
Elle est strictement croissante, et de plus en plus « raide » : la croissance est dite exponentielle.
La tangente en \((0\,;1)\) a pour équation \(y=1+x\).

Fais varier le coefficient \(k\) avec le curseur ci-dessous et observe la courbe de \(x\mapsto e^{kx}\) : croissante pour \(k\gt0\), décroissante pour \(k\lt0\), d'autant plus « pentue » que \(|k|\) est grand.

\(x\mapsto e^{kx}\) : toutes les courbes passent par \((0\,;1)\) et restent positives. Le signe de \(k\) donne le sens de variation, \(|k|\) donne la « raideur ».

Animation — croissance vs décroissance exponentielle

\(k=\) 1,0

Courbe de \(t\mapsto e^{kt}\). Pour \(k\gt0\) : croissance (ex. population, réaction emballée). Pour \(k\lt0\) : décroissance (ex. radioactivité, décharge).

Exercice d'application 4. Sans calculatrice, ranger dans l'ordre croissant : \(e^0\), \(e^1\), \(e^{-2}\), \(e^{0{,}5}\). Justifier à l'aide du sens de variation de l'exponentielle.

La fonction \(x\mapsto e^x\) est croissante : ranger les \(e^x\) revient à ranger les exposants. Or \(-2\lt0\lt0{,}5\lt1\), donc

\(e^{-2}\lt e^{0}\lt e^{0{,}5}\lt e^{1}\), c'est-à-dire \(e^{-2}\lt 1\lt e^{0{,}5}\lt e\).

V. Limites en \(-\infty\) et \(+\infty\)

Propriété — Limites de \(x\mapsto e^x\) \[\lim_{x\to-\infty}e^x=0^+\qquad\qquad \lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty\]

En \(-\infty\), \(e^x\) tend vers \(0\) par valeurs positives : la droite \(y=0\) (axe des abscisses) est asymptote horizontale à la courbe. En \(+\infty\), \(e^x\) tend vers \(+\infty\).

Propriété — Limites de \(x\mapsto e^{kx}\)

Le comportement dépend du signe de \(k\) (\(k\neq0\)) :

	\(x\to-\infty\)	\(x\to+\infty\)
\(k\gt0\)	\(0^+\)	\(+\infty\)
\(k\lt0\)	\(+\infty\)	\(0^+\)

Exemples. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^{-x}=0^+\) (décroissance vers \(0\), essentielle pour la radioactivité) ; \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^{2x}=+\infty\).

Exercice d'application 5. Déterminer les limites en \(-\infty\) et en \(+\infty\) de \(f(x)=3+e^{-x}\), puis interpréter graphiquement la limite en \(+\infty\).

En \(-\infty\) : \(e^{-x}\to+\infty\), donc \(f(x)=3+e^{-x}\to+\infty\).

En \(+\infty\) : \(e^{-x}\to0^+\), donc \(f(x)\to3^+\). La droite \(y=3\) est asymptote horizontale en \(+\infty\) (la courbe s'en approche par au-dessus). C'est exactement l'allure d'un système physique qui rejoint son régime permanent, la valeur \(3\) jouant le rôle de la valeur finale.

VI. Croissance comparée en \(+\infty\)

En \(+\infty\), l'exponentielle et une puissance \(x^n\) tendent toutes deux vers \(+\infty\) : le quotient \(\dfrac{e^x}{x^n}\) est une forme indéterminée « \(\dfrac{+\infty}{+\infty}\) ». Le résultat suivant, admis, la lève : l'exponentielle l'emporte sur toute puissance.

Théorème — Croissance comparée (\(n\) entier naturel non nul) \[\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x^n}=+\infty\qquad\qquad \lim_{x\to+\infty}x^n\,e^{-x}=0\]

Autrement dit : en \(+\infty\), \(e^x\) croît plus vite que n'importe quelle puissance de \(x\) ; et \(x^n e^{-x}\), produit d'une puissance croissante par une exponentielle décroissante, tend vers \(0\) (« l'exponentielle gagne »).

Retenir la règle

« L'exponentielle l'emporte sur la puissance ». Dès qu'apparaît un produit \(x^n e^{-x}\) ou un quotient \(\dfrac{e^x}{x^n}\) en \(+\infty\), on ne fait pas « \(+\infty\times0\) » ni « \(\dfrac{\infty}{\infty}\) » : on applique directement la croissance comparée.

Méthode — Utiliser la croissance comparée

Exemple résolu. Limite en \(+\infty\) de \(g(x)=x^2 e^{-x}\).

C'est de la forme \(x^n e^{-x}\) avec \(n=2\). D'après le théorème, \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^2 e^{-x}=0\). La courbe redescend vers l'axe des abscisses malgré le facteur \(x^2\) qui, lui, tend vers \(+\infty\).

Exercice d'application 6. Déterminer les limites en \(+\infty\) :
a) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x^3}\) b) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}5x\,e^{-x}\) c) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\big(x^2\,e^{-x}\big)\)

a) \(\dfrac{e^x}{x^3}\) est de la forme \(\dfrac{e^x}{x^n}\) avec \(n=3\) : la limite vaut \(+\infty\).

b) \(5x\,e^{-x}=5\times\big(x\,e^{-x}\big)\), et \(x\,e^{-x}\to0\) (cas \(n=1\)), donc la limite vaut \(5\times0=0\).

c) \(x^2 e^{-x}\to0\) (cas \(n=2\)) : la limite vaut \(0\).

VII. Étude de fonctions du type \(x\mapsto e^{kx}\)

On combine ce qui précède pour étudier des fonctions somme, produit ou quotient d'exponentielles \(e^{kx}\) et de polynômes : dérivée (donc variations) et limites aux bornes.

Méthode — Étudier une fonction \(x\mapsto e^{kx}\) et polynôme

Ensemble de définition : le plus souvent \(\mathbb{R}\) (l'exponentielle est définie partout).
Dérivée : dériver terme à terme ; se rappeler \(\big(e^{kx}\big)'=k\,e^{kx}\) et, pour un produit \(u\,e^{kx}\), la formule \((uv)'=u'v+uv'\).
Signe de la dérivée : factoriser en mettant \(e^{kx}\gt0\) en facteur ; le signe ne dépend alors que du reste.
Variations : dresser le tableau.
Limites aux bornes : utiliser les limites de l'exponentielle et, si besoin, la croissance comparée.

Exemple résolu. Soit \(f(x)=x\,e^{-x}\) sur \(\mathbb{R}\).

Dérivée (produit \(u=x\), \(v=e^{-x}\), \(u'=1\), \(v'=-e^{-x}\)) : \[f'(x)=1\times e^{-x}+x\times(-e^{-x})=e^{-x}(1-x).\] Comme \(e^{-x}\gt0\), le signe de \(f'(x)\) est celui de \(1-x\) : \(f'(x)\gt0\) pour \(x\lt1\), \(f'(x)\lt0\) pour \(x\gt1\). Donc \(f\) croît sur \(]-\infty\,;1]\) puis décroît sur \([1\,;+\infty[\), avec un maximum en \(x=1\) : \(f(1)=1\times e^{-1}=\dfrac1e\approx0{,}37\).

Limites : en \(+\infty\), \(f(x)=x\,e^{-x}\to0\) (croissance comparée). En \(-\infty\), \(x\to-\infty\) et \(e^{-x}\to+\infty\), donc \(f(x)\to-\infty\).

\(f(x)=x\,e^{-x}\) : maximum \(\dfrac1e\) en \(x=1\), puis retour vers \(0\) (l'exponentielle l'emporte).

Exercice d'application 7. Soit \(f(x)=e^{2x}-e^{x}\) sur \(\mathbb{R}\).
a) Calculer \(f'(x)\) et le factoriser par \(e^x\).
b) En déduire les variations de \(f\).

a) \(f'(x)=2e^{2x}-e^{x}\). Or \(e^{2x}=e^x\times e^x\), donc \(f'(x)=e^x\big(2e^{x}-1\big)\).

b) \(e^x\gt0\), donc le signe de \(f'\) est celui de \(2e^x-1\). \(2e^x-1\gt0\iff e^x\gt\dfrac12\). Comme \(e^x\) est croissante, cela équivaut à \(x\gt\ln(0{,}5)\approx-0{,}69\). Donc \(f\) décroît sur \(\big]-\infty\,;\ln(0{,}5)\big]\) puis croît sur \(\big[\ln(0{,}5)\,;+\infty\big[\).

VIII. Applications en physique-chimie

Désintégration radioactive

Le nombre \(N(t)\) de noyaux radioactifs restants à l'instant \(t\) suit une décroissance exponentielle :

\[N(t)=N_0\,e^{-\lambda t}\qquad(\lambda\gt0).\]

\(N_0\) est le nombre initial, \(\lambda\) la constante radioactive. Comme \(-\lambda\lt0\), \(N\) est décroissante et \(\displaystyle\lim_{t\to+\infty}N(t)=0\) : à long terme, il ne reste (presque) plus de noyaux.

Cinétique chimique d'ordre 1

Pour une réaction d'ordre 1, la concentration \([\text{A}]\) du réactif décroît exponentiellement :

\[[\text{A}](t)=[\text{A}]_0\,e^{-kt}\qquad(k\gt0),\]

de même forme que la radioactivité (\([\text{A}]\to0\) en \(+\infty\)).

Retour au régime permanent

La tension aux bornes d'un condensateur en charge, ou la température d'un corps qui se réchauffe, tend vers une valeur finale \(V_\infty\) selon

\[V(t)=V_\infty\big(1-e^{-t/\tau}\big).\]

Comme \(e^{-t/\tau}\to0\) en \(+\infty\), \(V(t)\to V_\infty\) : c'est le régime permanent, obtenu comme limite de l'exponentielle. La grandeur \(\tau\gt0\) est la constante de temps.

Exercice d'application 8. Un échantillon radioactif contient \(N_0=8{,}0\times10^{10}\) noyaux à \(t=0\), et \(N(t)=N_0\,e^{-\lambda t}\) avec \(\lambda=0{,}12\ \text{h}^{-1}\) (\(t\) en heures).
a) Calculer \(N(5)\), nombre de noyaux après \(5\) h (arrondir).
b) Que vaut \(\displaystyle\lim_{t\to+\infty}N(t)\) ? Interpréter.

a) \(N(5)=8{,}0\times10^{10}\times e^{-0{,}12\times5}=8{,}0\times10^{10}\times e^{-0{,}6}\). Or \(e^{-0{,}6}\approx0{,}549\), donc \(N(5)\approx4{,}4\times10^{10}\) noyaux.

b) \(-\lambda\lt0\) donc \(e^{-\lambda t}\to0\) et \(N(t)\to0\). À très long terme, l'échantillon est pratiquement entièrement désintégré.

Erreurs fréquentes / points de vigilance

Les pièges du chapitre

❌ Croire que \(e^x\) peut être nul ou négatif.

✅ On a toujours \(e^x\gt0\), pour tout réel \(x\). Une exponentielle ne s'annule jamais.

❌ Écrire \(\big(e^{kx}\big)'=e^{kx}\) (oublier le facteur \(k\)).

✅ \(\big(e^{kx}\big)'=k\,e^{kx}\). Ex. \(\big(e^{-2x}\big)'=-2e^{-2x}\).

❌ Écrire \(e^{a}\times e^{b}=e^{a\times b}\).

✅ \(e^{a}\times e^{b}=e^{a+b}\) (les exposants s'ajoutent).

❌ Conclure « \(+\infty\times0=0\) » ou « \(0\) » sans justification pour \(x^n e^{-x}\).

✅ C'est une forme indéterminée levée par la croissance comparée : \(x^n e^{-x}\to0\).

❌ Confondre les limites : \(e^x\to0\) en \(+\infty\).

✅ \(e^x\to+\infty\) en \(+\infty\), et \(e^x\to0^+\) en \(-\infty\).

L'essentiel à retenir

À retenir :

Nombre \(e\) : \(e\approx2{,}718\) (nombre d'Euler), base pour laquelle \(x\mapsto a^x\) a une tangente de pente \(1\) en \(0\).
\(e^x\gt0\) pour tout \(x\) ; \(e^0=1\), \(e^1=e\).
Règles : \(e^{a+b}=e^a e^b\), \(e^{-a}=\tfrac1{e^a}\), \(e^{a-b}=\tfrac{e^a}{e^b}\), \((e^a)^n=e^{na}\).
Dérivées : \(\big(e^x\big)'=e^x\) ; \(\big(e^{kx}\big)'=k\,e^{kx}\). Sens de variation de \(e^{kx}\) = signe de \(k\).
Limites : \(\displaystyle\lim_{-\infty}e^x=0^+\), \(\displaystyle\lim_{+\infty}e^x=+\infty\).
Croissance comparée : \(\displaystyle\lim_{+\infty}\dfrac{e^x}{x^n}=+\infty\), \(\displaystyle\lim_{+\infty}x^n e^{-x}=0\) (« l'exponentielle l'emporte »).
Applications : \(N_0 e^{-\lambda t}\) (radioactivité, cinétique d'ordre 1) ; \(V_\infty(1-e^{-t/\tau})\) (régime permanent).