Exercices – Chapitre 12 – Intégration

Chapitre 12 | Terminale STL — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Rappels utiles : \(\displaystyle\int_a^b f=\big[F\big]_a^b=F(b)-F(a)\) ; primitive de \(x^n\) : \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) ; \(\displaystyle\int_b^a f=-\int_a^b f\) ; Chasles \(\displaystyle\int_a^b=\int_a^c+\int_c^b\) ; linéarité ; valeur moyenne \(\mu=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f\) ; méthode des rectangles \(\sum f(x_i)\Delta x\).

Exercice 1 — Aire par lecture géométrique

Sans primitive, en reconnaissant des figures simples, calculer :

1. \(\displaystyle\int_0^4 2\,\mathrm dx\) 2. \(\displaystyle\int_0^3 x\,\mathrm dx\) 3. \(\displaystyle\int_1^4 (x+1)\,\mathrm dx\)

1. Rectangle de largeur \(4\), hauteur \(2\) : aire \(=4\times 2=8\). Donc \(\displaystyle\int_0^4 2\,\mathrm dx=8\).

2. Triangle de base \(3\) et de hauteur \(f(3)=3\) : aire \(=\dfrac{3\times 3}{2}=\dfrac92=4{,}5\). Donc \(\displaystyle\int_0^3 x\,\mathrm dx=4{,}5\).

3. Trapèze de « largeur » \(3\), bases \(f(1)=2\) et \(f(4)=5\) : aire \(=\dfrac{(2+5)}{2}\times 3=\dfrac{21}{2}=10{,}5\). Donc \(\displaystyle\int_1^4 (x+1)\,\mathrm dx=10{,}5\).

Exercice 2 — Méthode des rectangles

On veut approcher \(\displaystyle\int_0^1 x^2\,\mathrm dx\) (valeur exacte \(\dfrac13\)).

1. Avec \(n=4\) rectangles à gauche, donner \(\Delta x\) et les abscisses \(x_0,x_1,x_2,x_3\).

2. Calculer \(S_4=\sum_{i=0}^{3} f(x_i)\Delta x\).

3. L'approximation est-elle par défaut ou par excès ? Justifier.

1. \(\Delta x=\dfrac{1-0}{4}=0{,}25\). Abscisses : \(x_0=0\), \(x_1=0{,}25\), \(x_2=0{,}5\), \(x_3=0{,}75\).

2. \(f(x_i)=x_i^2\) : \(0,\ 0{,}0625,\ 0{,}25,\ 0{,}5625\). Somme \(=0{,}875\), donc \(S_4=0{,}875\times 0{,}25=0{,}21875\).

3. \(f\) est croissante sur \([0\,;1]\) ; avec des rectangles à gauche, chaque rectangle est sous la courbe : approximation par défaut (\(0{,}219\lt \tfrac13\approx 0{,}333\)).

Exercice 3 — Calcul par une primitive

Calculer les intégrales suivantes en utilisant une primitive :

1. \(\displaystyle\int_1^3 x^2\,\mathrm dx\) 2. \(\displaystyle\int_0^2 (3x+1)\,\mathrm dx\) 3. \(\displaystyle\int_1^2 \left(x^3-2x\right)\,\mathrm dx\)

1. Primitive \(\dfrac{x^3}{3}\) : \(\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_1^3=\dfrac{27}{3}-\dfrac13=9-\dfrac13=\dfrac{26}{3}\approx 8{,}67\).

2. Primitive \(\dfrac{3x^2}{2}+x\) : \(\left[\dfrac{3x^2}{2}+x\right]_0^2=\left(6+2\right)-0=8\).

3. Primitive \(\dfrac{x^4}{4}-x^2\) : \(\left[\dfrac{x^4}{4}-x^2\right]_1^2=\left(4-4\right)-\left(\dfrac14-1\right)=0-\left(-\dfrac34\right)=\dfrac34\).

Exercice 4 — Propriétés : linéarité, Chasles, bornes inversées

On donne \(\displaystyle\int_0^2 f=6\), \(\displaystyle\int_2^5 f=-2\) et \(\displaystyle\int_0^2 g=4\). Calculer :

1. \(\displaystyle\int_0^5 f\) 2. \(\displaystyle\int_5^2 f\) 3. \(\displaystyle\int_0^2 (2f+3g)\)

1. Chasles : \(\displaystyle\int_0^5 f=\int_0^2 f+\int_2^5 f=6+(-2)=4\).

2. Bornes inversées : \(\displaystyle\int_5^2 f=-\int_2^5 f=-(-2)=2\).

3. Linéarité : \(\displaystyle\int_0^2 (2f+3g)=2\int_0^2 f+3\int_0^2 g=2\times 6+3\times 4=12+12=24\).

Exercice 5 — Valeur moyenne

1. Calculer \(\displaystyle\int_0^4 x^2\,\mathrm dx\), puis la valeur moyenne de \(f(x)=x^2\) sur \([0\,;4]\).

2. La tension d'un signal est \(u(t)=6t\) (V, \(t\) en s) sur \([0\,;2]\). Calculer \(\displaystyle\int_0^2 u(t)\,\mathrm dt\) puis la tension moyenne \(\mu\).

1. \(\displaystyle\int_0^4 x^2\,\mathrm dx=\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^4=\dfrac{64}{3}\). Valeur moyenne \(\mu=\dfrac{1}{4-0}\times\dfrac{64}{3}=\dfrac{64}{12}=\dfrac{16}{3}\approx 5{,}33\).

2. \(\displaystyle\int_0^2 6t\,\mathrm dt=\big[3t^2\big]_0^2=12\) (unité V·s). Tension moyenne \(\mu=\dfrac{1}{2}\times 12=6\) V.

Exercice 6 — Fonction définie par une intégrale

Soit \(F(x)=\displaystyle\int_2^x (3t^2)\,\mathrm dt\).

1. Sans calculer \(F\), donner \(F'(x)\) et \(F(2)\).

2. Calculer explicitement \(F(x)\), puis vérifier \(F'(x)\) et \(F(2)\).

3. En déduire \(\displaystyle\int_2^4 3t^2\,\mathrm dt\).

1. Théorème fondamental : \(F'(x)=3x^2\). Bornes égales : \(F(2)=\displaystyle\int_2^2=0\).

2. Une primitive de \(3t^2\) est \(t^3\) : \(F(x)=\big[t^3\big]_2^x=x^3-8\). Alors \(F'(x)=3x^2\) ✓ et \(F(2)=8-8=0\) ✓.

3. \(\displaystyle\int_2^4 3t^2\,\mathrm dt=F(4)=4^3-8=64-8=56\).

Exercice 7 — Problème type Bac : aire entre deux courbes et sens physique

On considère \(f(x)=4-x^2\) et \(g(x)=x^2-2\) sur \([-\,\sqrt3\,;\sqrt3]\), où \(f\ge g\). On travaille en repère orthonormé, unité \(1\) cm.

1. Vérifier que \(f(x)-g(x)=6-2x^2\), et que \(f(x)=g(x)\) pour \(x=\pm\sqrt3\).

2. Calculer l'aire \(\mathcal A=\displaystyle\int_{-\sqrt3}^{\sqrt3}\big(f(x)-g(x)\big)\,\mathrm dx\) entre les deux courbes.

3. Contexte physique. Une force horizontale a pour intensité \(F(x)=6-2x^2\) (N) le long d'un déplacement \(x\) (m), pour \(x\) de \(0\) à \(\sqrt3\). Le travail vaut \(W=\displaystyle\int_0^{\sqrt3} F(x)\,\mathrm dx\) (l'aire sous la courbe de \(F\)). Calculer \(W\).

1. \(f(x)-g(x)=(4-x^2)-(x^2-2)=6-2x^2\). Il s'annule quand \(6-2x^2=0\), soit \(x^2=3\), \(x=\pm\sqrt3\). ✓ (et \(6-2x^2\ge 0\) sur \([-\sqrt3\,;\sqrt3]\), donc bien \(f\ge g\)).

2. Primitive de \(6-2x^2\) : \(6x-\dfrac{2x^3}{3}\). Par symétrie (fonction paire), \(\mathcal A=2\displaystyle\int_0^{\sqrt3}(6-2x^2)\,\mathrm dx\).

\(\displaystyle\int_0^{\sqrt3}(6-2x^2)\,\mathrm dx=\left[6x-\dfrac{2x^3}{3}\right]_0^{\sqrt3}=6\sqrt3-\dfrac{2(\sqrt3)^3}{3}=6\sqrt3-\dfrac{2\times 3\sqrt3}{3}=6\sqrt3-2\sqrt3=4\sqrt3\).

Donc \(\mathcal A=2\times 4\sqrt3=8\sqrt3\approx 13{,}86\ \text{cm}^2\).

3. \(W=\displaystyle\int_0^{\sqrt3}(6-2x^2)\,\mathrm dx=4\sqrt3\approx 6{,}93\) J (calcul déjà fait ci-dessus). L'aire sous la courbe de la force est bien un travail, en joules.