Chapitre 12 – Intégration

Chapitre 12 | Terminale STL — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

⏱ Durée de lecture estimée : ~22 min

Illustration : Deux élèves observent cinq rectangles inscrits sous une courbe croissante pour approcher l’aire sous la courbe. — Approcher une aire sous une courbe par une somme de rectangles.

Objectifs du chapitre

Définir l'intégrale \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm dx\) d'une fonction positive comme aire sous la courbe, en unités d'aire
Approcher une intégrale par la méthode des rectangles et relier \(\sum f(x_i)\Delta x_i\) à \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm dx\)
Étendre la définition aux fonctions négatives, puis de signe quelconque, et au cas \(a\gt b\)
Connaître et utiliser les propriétés : linéarité, positivité, croissance, relation de Chasles
Calculer la valeur moyenne \(\mu=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm dx\)
Comprendre l'intégrale fonction de sa borne supérieure \(F(x)=\displaystyle\int_a^x f(t)\,\mathrm dt\) et le fait que \(F'=f\)
Calculer une intégrale par \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm dx=F(b)-F(a)\), où \(F\) est une primitive de \(f\)
Calculer une aire sous une courbe ou entre deux courbes ; estimer une aire par Monte-Carlo

L'intégration répond à une question géométrique simple — quelle est l'aire sous une courbe ? — mais elle est au cœur de la physique : l'aire sous une courbe représente très souvent une grandeur physique (le travail d'une force, l'énergie fournie, la distance parcourue, la charge électrique…). Ce chapitre relie l'aire au calcul de primitives vu précédemment, ce qui transforme un calcul d'aire en un simple calcul \(F(b)-F(a)\). Prérequis : dérivées et primitives, lecture graphique, sommes.

I. Intégrale d'une fonction positive : l'aire sous la courbe

Définition — Intégrale d'une fonction positive

Soit \(f\) une fonction positive et continue sur un intervalle \([a\,;b]\) (avec \(a\lt b\)), de courbe \(\mathcal C_f\) dans un repère orthogonal. L'intégrale de \(a\) à \(b\) de \(f\) est l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe \(\mathcal C_f\), l'axe des abscisses et les droites verticales d'équations \(x=a\) et \(x=b\). On la note :

\[\int_a^b f(x)\,\mathrm dx .\]

Vocabulaire et statut des lettres

Dans \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm dx\) : \(a\) et \(b\) sont les bornes d'intégration (des paramètres) ; \(f\) est la fonction à intégrer ; \(\mathrm dx\) indique la variable d'intégration. La lettre \(x\) est une variable muette : elle n'existe pas en dehors de l'intégrale. On a exactement

\[\int_a^b f(x)\,\mathrm dx=\int_a^b f(t)\,\mathrm dt=\int_a^b f(u)\,\mathrm du .\]

L'unité d'aire (u.a.) est l'aire du rectangle bâti sur les vecteurs unités du repère : si \(1\) unité vaut \(1\) cm sur chaque axe, alors \(1\) u.a. \(=1\ \text{cm}^2\).

Déplace les bornes \(a\) et \(b\) : l'aire grisée sous la courbe est la valeur de \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm dx\), affichée sous la figure.

L'intégrale d'une fonction positive est l'aire (en u.a.) du domaine sous la courbe, entre les verticales \(x=a\) et \(x=b\).

Exercice d'application 1. Soit \(f(x)=3\) (fonction constante) sur \([1\,;5]\). Par lecture géométrique, que vaut \(\displaystyle\int_1^5 3\,\mathrm dx\) ?

Le domaine est un rectangle de largeur \(5-1=4\) et de hauteur \(3\). Son aire vaut \(4\times 3=12\), donc \(\displaystyle\int_1^5 3\,\mathrm dx=12\) u.a.

II. Approximation par la méthode des rectangles

Méthode des rectangles

Pour approcher \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm dx\), on découpe \([a\,;b]\) en \(n\) sous-intervalles de même largeur \(\Delta x=\dfrac{b-a}{n}\), aux abscisses \(x_i=a+i\,\Delta x\). Sur chacun, on remplace l'aire réelle par celle d'un rectangle de hauteur \(f(x_i)\). La somme de ces rectangles vaut :

\[S_n=\sum_{i=0}^{n-1} f(x_i)\,\Delta x .\]

Quand \(n\) devient grand (\(\Delta x\) très petit), \(S_n\) se rapproche de l'aire exacte :

\[\sum_{i} f(x_i)\,\Delta x_i\ \xrightarrow[\ n\to +\infty\ ]{}\ \int_a^b f(x)\,\mathrm dx .\]

Déplace le curseur pour augmenter le nombre \(n\) de rectangles : la somme des aires des rectangles (en bleu) converge vers l'aire sous la courbe.

Nombre de rectangles \(n\) : 4

Méthode des rectangles pour \(f(x)=x^2\) sur \([0\,;2]\) : lorsque \(n\) croît, \(S_n=\sum f(x_i)\Delta x\) tend vers la valeur exacte \(\displaystyle\int_0^2 x^2\,\mathrm dx=\dfrac{8}{3}\approx 2{,}667\).

Extrait de code Python — somme des rectangles

def integrale_rectangles(f, a, b, n):
    dx = (b - a) / n          # largeur d'un rectangle
    somme = 0.0
    for i in range(n):        # rectangles à gauche : x_i = a + i*dx
        x = a + i * dx
        somme += f(x) * dx    # aire d'un rectangle
    return somme

f = lambda x: x**2
print(integrale_rectangles(f, 0, 2, 1000))   # ≈ 2.665...  (exact : 8/3 ≈ 2.6667)

Exercice d'application 2. On approche \(\displaystyle\int_0^2 x^2\,\mathrm dx\) par la méthode des rectangles avec \(n=2\) (rectangles à gauche). Calculer \(S_2\), puis comparer à la valeur exacte \(\dfrac83\).

Largeur \(\Delta x=\dfrac{2-0}{2}=1\). Abscisses à gauche : \(x_0=0\) et \(x_1=1\). Hauteurs : \(f(0)=0\), \(f(1)=1\).

\(S_2=f(0)\times 1+f(1)\times 1=0+1=1\). C'est une valeur approchée par défaut (\(f\) croissante), assez éloignée de \(\dfrac83\approx 2{,}67\) : il faut beaucoup plus de rectangles pour être précis.

III. Fonctions négatives, signe quelconque, cas \(a\gt b\)

Définition — Fonction négative

Si \(f\) est négative sur \([a\,;b]\) (\(a\lt b\)), le domaine sous la courbe est situé sous l'axe des abscisses. On pose alors :

\[\int_a^b f(x)\,\mathrm dx=-\,\big(\text{aire du domaine entre }\mathcal C_f\text{ et l'axe}\big)\ \le 0 .\]

Autrement dit, l'intégrale d'une fonction négative est l'opposée de l'aire (comptée positivement).

Définition — Fonction de signe quelconque

Si \(f\) change de signe sur \([a\,;b]\), l'intégrale additionne les aires au-dessus de l'axe (comptées \(+\)) et retranche les aires en dessous (comptées \(-\)). C'est une aire algébrique.

Aire algébrique : la partie verte (au-dessus de l'axe) compte positivement, la partie rouge (sous l'axe) compte négativement.

Définition — Bornes inversées (\(a\gt b\))

Lorsque les bornes sont dans l'ordre inverse, on change le signe :

\[\int_b^a f(x)\,\mathrm dx=-\int_a^b f(x)\,\mathrm dx ,\qquad\text{et en particulier}\qquad \int_a^a f(x)\,\mathrm dx=0 .\]

Exercice d'application 3. On admet que \(\displaystyle\int_0^3 f(x)\,\mathrm dx=5\). Que valent \(\displaystyle\int_3^0 f(x)\,\mathrm dx\) et \(\displaystyle\int_2^2 f(x)\,\mathrm dx\) ?

\(\displaystyle\int_3^0 f(x)\,\mathrm dx=-\int_0^3 f(x)\,\mathrm dx=-5\) (bornes inversées). Et \(\displaystyle\int_2^2 f(x)\,\mathrm dx=0\) (bornes égales : aire nulle).

IV. Propriétés de l'intégrale

Propriété — Linéarité

Pour toutes fonctions \(f\), \(g\) continues sur \([a\,;b]\) et tout réel \(k\) :

\[\int_a^b \big(f(x)+g(x)\big)\,\mathrm dx=\int_a^b f(x)\,\mathrm dx+\int_a^b g(x)\,\mathrm dx ,\qquad \int_a^b k\,f(x)\,\mathrm dx=k\int_a^b f(x)\,\mathrm dx .\]

Propriété — Positivité

Si \(a\lt b\) et \(f\ge 0\) sur \([a\,;b]\), alors \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm dx\ge 0\).

Propriété — Croissance (comparaison)

Si \(a\lt b\) et \(f\le g\) sur \([a\,;b]\), alors \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm dx\le \int_a^b g(x)\,\mathrm dx\). (Une courbe plus haute délimite une aire plus grande.)

Propriété — Relation de Chasles

Pour tout réel \(c\) (et pour tous \(a,b,c\) où \(f\) est continue) :

\[\int_a^b f(x)\,\mathrm dx=\int_a^c f(x)\,\mathrm dx+\int_c^b f(x)\,\mathrm dx .\]

Géométriquement, on découpe l'aire en deux morceaux consécutifs.

Relation de Chasles : l'aire de \(a\) à \(b\) est la somme de l'aire de \(a\) à \(c\) (bleu) et de l'aire de \(c\) à \(b\) (vert).

Méthode — Utiliser la linéarité et Chasles

Exemple résolu. On donne \(\displaystyle\int_0^1 f=3\), \(\displaystyle\int_1^4 f=2\) et \(\displaystyle\int_0^1 g=5\). Alors :

\(\displaystyle\int_0^4 f(x)\,\mathrm dx=\int_0^1 f+\int_1^4 f=3+2=5\) (Chasles) ;
\(\displaystyle\int_0^1 \big(2f(x)+g(x)\big)\,\mathrm dx=2\int_0^1 f+\int_0^1 g=2\times 3+5=11\) (linéarité).

Exercice d'application 4. On donne \(\displaystyle\int_1^2 f(x)\,\mathrm dx=4\) et \(\displaystyle\int_2^5 f(x)\,\mathrm dx=-1\). Calculer \(\displaystyle\int_1^5 f(x)\,\mathrm dx\), puis \(\displaystyle\int_1^2 3f(x)\,\mathrm dx\).

Par Chasles : \(\displaystyle\int_1^5 f=\int_1^2 f+\int_2^5 f=4+(-1)=3\).

Par linéarité : \(\displaystyle\int_1^2 3f(x)\,\mathrm dx=3\int_1^2 f=3\times 4=12\).

V. Valeur moyenne d'une fonction

Définition — Valeur moyenne

La valeur moyenne de \(f\) sur \([a\,;b]\) (avec \(a\lt b\)) est le réel :

\[\mu=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,\mathrm dx .\]

C'est la hauteur du rectangle de base \([a\,;b]\) ayant la même aire que le domaine sous la courbe : \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm dx=\mu\,(b-a)\).

La valeur moyenne \(\mu\) est la hauteur du rectangle (bleu clair) de même aire que le domaine sous la courbe.

Méthode — Calculer une valeur moyenne

Exemple résolu. Valeur moyenne de \(f(x)=x^2\) sur \([0\,;3]\). On admet (voir partie VII) que \(\displaystyle\int_0^3 x^2\,\mathrm dx=\dfrac{3^3}{3}=9\). Donc

\[\mu=\frac{1}{3-0}\int_0^3 x^2\,\mathrm dx=\frac{1}{3}\times 9=3 .\]

Exercice d'application 5. Une intensité varie et l'on sait que \(\displaystyle\int_0^2 i(t)\,\mathrm dt=10\) (unités SI). Quelle est l'intensité moyenne sur \([0\,;2]\) ?

\(\mu=\dfrac{1}{2-0}\displaystyle\int_0^2 i(t)\,\mathrm dt=\dfrac{1}{2}\times 10=5\). L'intensité moyenne vaut \(5\) A.

VI. Intégrale fonction de sa borne supérieure

Définition — Fonction \(F(x)=\displaystyle\int_a^x f(t)\,\mathrm dt\)

Soit \(f\) continue sur un intervalle \(I\) et \(a\in I\). Pour tout \(x\in I\), on définit :

\[F(x)=\int_a^x f(t)\,\mathrm dt .\]

Ici \(a\) est un paramètre (fixé), \(x\) est la variable de la fonction \(F\), et \(t\) est la variable muette d'intégration. On note bien \(f(t)\,\mathrm dt\) et non \(f(x)\,\mathrm dx\) : la borne \(x\) et la variable d'intégration doivent porter des noms différents.

Théorème fondamental — \(F'=f\)

La fonction \(F:x\mapsto\displaystyle\int_a^x f(t)\,\mathrm dt\) est dérivable sur \(I\), et sa dérivée est \(f\) :

\[F'(x)=f(x)\quad\text{pour tout }x\in I .\]

Ainsi \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\) (c'est celle qui s'annule en \(a\), puisque \(F(a)=\displaystyle\int_a^a f=0\)).

Le statut des lettres — à ne pas confondre

Dans \(F(x)=\displaystyle\int_a^x f(t)\,\mathrm dt\) : \(a\) est un paramètre (constante), \(x\) est la variable (la borne qui bouge), \(t\) est muette (elle disparaît après le calcul). Écrire « \(\int_a^x f(x)\,\mathrm dx\) » est incorrect car \(x\) jouerait deux rôles à la fois.

Exercice d'application 6. Soit \(F(x)=\displaystyle\int_1^x t^2\,\mathrm dt\). Sans calculer \(F\) explicitement, donner \(F'(x)\) et la valeur de \(F(1)\).

Par le théorème fondamental, \(F'(x)=f(x)=x^2\). De plus \(F(1)=\displaystyle\int_1^1 t^2\,\mathrm dt=0\) (bornes égales).

VII. Calcul par une primitive : \(\displaystyle\int_a^b f=F(b)-F(a)\)

Théorème — Calcul d'une intégrale

Si \(F\) est une primitive quelconque de \(f\) sur \([a\,;b]\), alors :

\[\int_a^b f(x)\,\mathrm dx=\Big[\,F(x)\,\Big]_a^b=F(b)-F(a) .\]

Le résultat ne dépend pas de la primitive choisie : deux primitives diffèrent d'une constante, qui s'élimine dans \(F(b)-F(a)\).

Méthode — Calculer une intégrale avec une primitive

Chercher une primitive \(F\) de \(f\) (rappel : une primitive de \(x^n\) est \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\)).
Écrire \(\Big[F(x)\Big]_a^b\) puis calculer \(F(b)-F(a)\).

Exemple résolu. \(\displaystyle\int_0^2 x^2\,\mathrm dx\). Une primitive de \(x^2\) est \(F(x)=\dfrac{x^3}{3}\). Donc

\[\int_0^2 x^2\,\mathrm dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2=\frac{2^3}{3}-\frac{0^3}{3}=\frac{8}{3}\approx 2{,}667 .\]

On retrouve la valeur vers laquelle convergeait la méthode des rectangles (partie II).

Application — aire entre deux courbes

Si \(f\ge g\) sur \([a\,;b]\), l'aire entre les deux courbes \(\mathcal C_f\) et \(\mathcal C_g\) vaut :

\[\mathcal A=\int_a^b \big(f(x)-g(x)\big)\,\mathrm dx .\]

Exemple. Aire entre \(f(x)=x+2\) et \(g(x)=x^2\) sur \([0\,;1]\), où \(f\ge g\) :

\[\mathcal A=\int_0^1\big((x+2)-x^2\big)\,\mathrm dx=\left[\frac{x^2}{2}+2x-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac12+2-\frac13=\frac{13}{6}\ \text{u.a.}\]

Exercice d'application 7. Calculer \(\displaystyle\int_1^3 (2x)\,\mathrm dx\) à l'aide d'une primitive, puis vérifier par une aire géométrique.

Une primitive de \(2x\) est \(x^2\). Donc \(\displaystyle\int_1^3 2x\,\mathrm dx=\big[x^2\big]_1^3=9-1=8\).

Vérification : le domaine sous \(y=2x\) entre \(x=1\) et \(x=3\) est un trapèze de hauteur (horizontale) \(2\), de bases \(f(1)=2\) et \(f(3)=6\) : aire \(=\dfrac{(2+6)}{2}\times 2=8\). ✓

VIII. Estimer une aire par la méthode de Monte-Carlo

Principe de Monte-Carlo

Pour estimer l'aire sous \(\mathcal C_f\) (avec \(0\le f\le h\)) sur \([a\,;b]\), on tire au hasard un grand nombre \(N\) de points dans le rectangle \([a\,;b]\times[0\,;h]\), d'aire \((b-a)\times h\). On compte la proportion \(p\) de points tombant sous la courbe (\(y\le f(x)\)). L'aire est estimée par :

\[\int_a^b f(x)\,\mathrm dx\ \approx\ p\times (b-a)\times h ,\qquad p=\frac{\text{nb points sous la courbe}}{N} .\]

Plus \(N\) est grand, plus l'estimation est précise.

Extrait de code Python — Monte-Carlo

import random

def monte_carlo(f, a, b, h, N):
    dessous = 0
    for _ in range(N):
        x = random.uniform(a, b)
        y = random.uniform(0, h)
        if y <= f(x):          # point sous la courbe
            dessous += 1
    return (dessous / N) * (b - a) * h

f = lambda x: x**2
print(monte_carlo(f, 0, 2, 4, 100000))   # ≈ 2.66  (exact : 8/3)

Lien avec la physique — l'aire est une grandeur physique

Dans une représentation graphique, l'aire sous une courbe a très souvent un sens physique :

Sous la courbe d'une vitesse \(v(t)\) : l'aire \(\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,\mathrm dt\) est la distance parcourue.
Sous la courbe d'une force \(F(x)\) le long d'un déplacement : l'aire \(\displaystyle\int_{x_1}^{x_2} F(x)\,\mathrm dx\) est le travail (une énergie, en joules).
Sous la courbe d'une puissance \(P(t)\) : l'aire \(\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} P(t)\,\mathrm dt\) est l'énergie fournie.
Sous la courbe d'une intensité \(i(t)\) : l'aire est la charge électrique transportée.

Erreurs fréquentes / points de vigilance

Les pièges du chapitre

❌ Croire qu'une intégrale est toujours positive.

✅ Pour une fonction négative ou de signe quelconque, l'intégrale est une aire algébrique : elle peut être négative.

❌ Oublier de changer de signe quand \(a\gt b\).

✅ \(\displaystyle\int_b^a f=-\int_a^b f\).

❌ Confondre l'intégrale (un nombre) et la valeur moyenne (aussi un nombre, mais divisé par \(b-a\)).

✅ \(\mu=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f\), et non \(\displaystyle\int_a^b f\) tout court.

❌ Écrire \(F(x)=\displaystyle\int_a^x f(x)\,\mathrm dx\) (même lettre pour la borne et la variable muette).

✅ On écrit \(F(x)=\displaystyle\int_a^x f(t)\,\mathrm dt\) : \(t\) est muette, \(x\) est la borne.

❌ Se tromper de sens : \(F(a)-F(b)\).

✅ \(\displaystyle\int_a^b f=F(b)-F(a)\) : borne du haut moins borne du bas.

L'essentiel à retenir

À retenir :

Intégrale d'une fonction positive : \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm dx\) = aire sous la courbe (en u.a.), \(a\lt b\).
Méthode des rectangles : \(\sum_i f(x_i)\Delta x_i\to\displaystyle\int_a^b f\) quand \(n\to+\infty\) ; \(\Delta x=\tfrac{b-a}{n}\).
Signe : aire algébrique (négative si \(f\lt 0\)) ; \(\displaystyle\int_b^a f=-\int_a^b f\), \(\displaystyle\int_a^a f=0\).
Propriétés : linéarité, positivité, croissance, Chasles \(\displaystyle\int_a^b=\int_a^c+\int_c^b\).
Valeur moyenne : \(\mu=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm dx\).
Borne supérieure : \(F(x)=\displaystyle\int_a^x f(t)\,\mathrm dt\) est dérivable et \(F'=f\) (\(a\) paramètre, \(x\) variable, \(t\) muette).
Calcul : \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm dx=\big[F(x)\big]_a^b=F(b)-F(a)\) avec \(F\) primitive de \(f\).
Aires : sous une courbe, ou entre deux courbes \(\displaystyle\int_a^b (f-g)\) si \(f\ge g\) ; estimation par Monte-Carlo. L'aire est souvent une grandeur physique (travail, énergie, distance).