Devoir Surveillé – Chapitre 12 – Intégration

Chapitre 12 | Terminale STL — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Nom : Prénom : Classe : Date : Note : / 20

🕑 Durée : 1 heure

🧮 Calculatrice : autorisée

✍ Barème : 20 points

📄 Documents : non autorisés

Rappels : \(\displaystyle\int_a^b f=\big[F\big]_a^b=F(b)-F(a)\) ; primitive de \(x^n\) : \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) ; \(\displaystyle\int_b^a f=-\int_a^b f\) ; Chasles ; linéarité ; \(\mu=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f\) ; aire entre deux courbes \(\displaystyle\int_a^b(f-g)\) si \(f\ge g\) ; \(F(x)=\displaystyle\int_a^x f(t)\,\mathrm dt\Rightarrow F'=f\).

Exercice 1 — Calculs d'intégrales et propriétés (8 points)

1. Calculer \(\displaystyle\int_0^2 x^2\,\mathrm dx\) à l'aide d'une primitive. (2 pts)

2. Calculer \(\displaystyle\int_1^3 (2x+1)\,\mathrm dx\). (2 pts)

3. On donne \(\displaystyle\int_0^1 f=5\) et \(\displaystyle\int_1^4 f=3\). En déduire \(\displaystyle\int_0^4 f\) et \(\displaystyle\int_4^1 f\). (2 pts)

4. On donne aussi \(\displaystyle\int_0^1 g=2\). Calculer \(\displaystyle\int_0^1 (3f-2g)\). (2 pts)

1. Primitive \(\dfrac{x^3}{3}\) : \(\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^2=\dfrac83-0=\dfrac83\approx 2{,}67\). (2)

2. Primitive \(x^2+x\) : \(\big[x^2+x\big]_1^3=(9+3)-(1+1)=12-2=10\). (2)

3. Chasles : \(\displaystyle\int_0^4 f=\int_0^1 f+\int_1^4 f=5+3=8\). Bornes inversées : \(\displaystyle\int_4^1 f=-\int_1^4 f=-3\). (1+1)

4. Linéarité : \(\displaystyle\int_0^1 (3f-2g)=3\int_0^1 f-2\int_0^1 g=3\times 5-2\times 2=15-4=11\). (2)

Exercice 2 — Valeur moyenne et sens physique (6 points)

Un condensateur reçoit un courant d'intensité \(i(t)=0{,}5\,t\) (A, \(t\) en s) pendant \([0\,;4]\).

1. Calculer \(\displaystyle\int_0^4 i(t)\,\mathrm dt\). Rappel : l'aire sous la courbe de \(i(t)\) est la charge transportée \(Q\) (en coulombs). Donner \(Q\). (3 pts)

2. Calculer l'intensité moyenne \(\mu\) sur \([0\,;4]\). (2 pts)

3. Vérifier la cohérence : \(Q=\mu\times (4-0)\) ? (1 pt)

1. Primitive de \(0{,}5\,t\) : \(0{,}25\,t^2\). \(\displaystyle\int_0^4 0{,}5t\,\mathrm dt=\big[0{,}25t^2\big]_0^4=0{,}25\times 16=4\). Donc \(Q=4\) C. (3)

2. \(\mu=\dfrac{1}{4-0}\displaystyle\int_0^4 i(t)\,\mathrm dt=\dfrac14\times 4=1\) A. (2)

3. \(\mu\times 4=1\times 4=4=Q\). ✓ Cohérent. (1)

Exercice 3 — Aire entre deux courbes (6 points)

On considère \(f(x)=x+2\) et \(g(x)=x^2\) sur \([0\,;2]\). On admet que \(f(x)\ge g(x)\) sur cet intervalle.

1. Vérifier que \(f(2)=g(2)\), et calculer \(f(x)-g(x)\). (2 pts)

2. Donner une primitive de \(f(x)-g(x)\). (2 pts)

3. Calculer l'aire \(\mathcal A=\displaystyle\int_0^2\big(f(x)-g(x)\big)\,\mathrm dx\), en unités d'aire. (2 pts)

1. \(f(2)=4\), \(g(2)=4\) : égaux. ✓ Et \(f(x)-g(x)=(x+2)-x^2=-x^2+x+2\). (1+1)

2. Primitive : \(-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}+2x\). (2)

3. \(\mathcal A=\left[-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}+2x\right]_0^2=\left(-\dfrac83+2+4\right)-0=-\dfrac83+6=\dfrac{-8+18}{3}=\dfrac{10}{3}\approx 3{,}33\ \text{u.a.}\) (2)