Fiche – Intégration

Chapitre 12 | Terminale STL — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

L'essentiel :

Intégrale (fonction positive) : \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm dx\) = aire sous la courbe (en u.a.), \(a\lt b\).
Calcul : \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm dx=\big[F(x)\big]_a^b=F(b)-F(a)\), \(F\) primitive de \(f\).
Valeur moyenne : \(\mu=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm dx\).
Borne supérieure : \(F(x)=\displaystyle\int_a^x f(t)\,\mathrm dt\Rightarrow F'=f\).
Physique : l'aire sous une courbe est souvent une grandeur (travail, énergie, distance, charge).

Définitions clés

Définition

Intégrale d'une fonction positive : \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm dx\) (\(a\lt b\)) est l'aire, en u.a., du domaine entre \(\mathcal C_f\), l'axe des abscisses et les droites \(x=a\), \(x=b\).

Définition

Signe quelconque : aire algébrique — les parties au-dessus de l'axe comptent \(+\), celles en dessous comptent \(-\). Si \(a\gt b\) : \(\displaystyle\int_b^a f=-\int_a^b f\) ; et \(\displaystyle\int_a^a f=0\).

Définition

Valeur moyenne de \(f\) sur \([a\,;b]\) : \(\mu=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm dx\) (hauteur du rectangle de même aire).

Statut des lettres

Dans \(F(x)=\displaystyle\int_a^x f(t)\,\mathrm dt\) : \(a\) = paramètre, \(x\) = variable (borne), \(t\) = variable muette. Ne jamais répéter la même lettre pour la borne et l'intégrande.

À connaître par cœur

Calcul par une primitive \[\int_a^b f(x)\,\mathrm dx=\big[F(x)\big]_a^b=F(b)-F(a)\]

Méthode des rectangles \[\sum_{i=0}^{n-1} f(x_i)\,\Delta x\ \xrightarrow[n\to+\infty]{}\ \int_a^b f(x)\,\mathrm dx,\qquad \Delta x=\frac{b-a}{n}\]

Propriétés \[\int_a^b (kf+g)=k\!\int_a^b f+\!\int_a^b g\quad(\text{linéarité})\] \[\int_a^b f=\int_a^c f+\int_c^b f\quad(\text{Chasles})\] \[f\ge 0\Rightarrow\int_a^b f\ge 0\ ;\qquad f\le g\Rightarrow\int_a^b f\le\int_a^b g\]

Fonction définie par une intégrale \[F(x)=\int_a^x f(t)\,\mathrm dt\ \Rightarrow\ F'(x)=f(x)\quad\text{et}\quad F(a)=0\]

Aire entre deux courbes (si \(f\ge g\)) \[\mathcal A=\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)\,\mathrm dx\]

Primitives usuelles (rappel)

\(f(x)\)	\(k\)	\(x\)	\(x^2\)	\(x^n\)
\(F(x)\)	\(kx\)	\(\dfrac{x^2}{2}\)	\(\dfrac{x^3}{3}\)	\(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\)

Méthodes

Méthode — Calculer \(\displaystyle\int_a^b f\)

Trouver une primitive \(F\) de \(f\).
Écrire \(\big[F(x)\big]_a^b\) et calculer \(F(b)-F(a)\) (haut moins bas).

Méthode — Aire entre deux courbes

Déterminer sur \([a\,;b]\) quelle courbe est au-dessus (\(f\ge g\)).
Calculer \(\displaystyle\int_a^b (f-g)\,\mathrm dx\).

Méthode — Monte-Carlo

Tirer \(N\) points au hasard dans \([a\,;b]\times[0\,;h]\), compter la proportion \(p\) sous la courbe : \(\displaystyle\int_a^b f\approx p\times (b-a)\times h\).

Erreurs fréquentes

Attention

❌ Croire qu'une intégrale est toujours \(\ge 0\).

✅ Aire algébrique : négative si \(f\lt 0\).

❌ Calculer \(F(a)-F(b)\).

✅ \(\displaystyle\int_a^b f=F(b)-F(a)\) (haut moins bas).

❌ Oublier de diviser par \(b-a\) pour la moyenne.

✅ \(\mu=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f\).

❌ Écrire \(F(x)=\displaystyle\int_a^x f(x)\,\mathrm dx\).

✅ \(F(x)=\displaystyle\int_a^x f(t)\,\mathrm dt\) (\(t\) muette).

Exemple rapide

Exemple — un calcul, une moyenne, une aire

\(\displaystyle\int_0^3 x^2\,\mathrm dx=\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3=\dfrac{27}{3}=9\).
Valeur moyenne de \(x^2\) sur \([0\,;3]\) : \(\mu=\dfrac{1}{3}\times 9=3\).
Aire entre \(f(x)=x+2\) et \(g(x)=x^2\) sur \([0\,;1]\) : \(\displaystyle\int_0^1\big((x+2)-x^2\big)\,\mathrm dx=\dfrac{13}{6}\) u.a.