Exercices – Composition de fonctions

Chapitre 14 | Terminale STI2D — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Rappels utiles : \((v\circ u)(x)=v(u(x))\) ; \((v\circ u)'=u'\times(v'\circ u)\) ; \((u^n)'=n u'u^{n-1}\), \((\cos u)'=-u'\sin u\), \((\sin u)'=u'\cos u\), \((\mathrm e^u)'=u'\mathrm e^u\), \((\ln u)'=\dfrac{u'}{u}\) ; primitives : \(f(ax+b)\to\dfrac1a F(ax+b)\), \(u'u^n\to\dfrac{u^{n+1}}{n+1}\), \(\dfrac{u'}{u}\to\ln|u|\), \(u'\mathrm e^u\to\mathrm e^u\), \(u'\cos u\to\sin u\), \(u'\sin u\to-\cos u\).

Exercice 1 — Calculer et identifier des composées

On pose \(u(x)=2x-1\) et \(v(x)=x^2\).

1. Calculer \((v\circ u)(x)\) puis \((u\circ v)(x)\). Sont-elles égales ?

2. Pour chaque fonction, donner \(u\) (intérieure) et \(v\) (extérieure) : (a) \((5x+2)^3\) ; (b) \(\mathrm e^{-2x}\) ; (c) \(\ln(x^2+4)\).

1. \((v\circ u)(x)=v(2x-1)=(2x-1)^2\) ; \((u\circ v)(x)=u(x^2)=2x^2-1\). Elles ne sont pas égales.

2. (a) \(u(x)=5x+2\), \(v(t)=t^3\) ; (b) \(u(x)=-2x\), \(v(t)=\mathrm e^t\) ; (c) \(u(x)=x^2+4\), \(v(t)=\ln t\).

Exercice 2 — Dériver des puissances \(u^n\)

Dériver les fonctions suivantes (préciser \(u\) et \(u'\)).

1. \(f(x)=(3x+2)^4\) 2. \(g(x)=(x^2-5x)^3\) 3. \(h(x)=\dfrac{1}{2x+1}=(2x+1)^{-1}\)

1. \(u=3x+2\), \(u'=3\), \(n=4\) : \(f'(x)=4\times 3\times(3x+2)^3 = 12(3x+2)^3\).

2. \(u=x^2-5x\), \(u'=2x-5\), \(n=3\) : \(g'(x)=3(2x-5)(x^2-5x)^2\).

3. \(u=2x+1\), \(u'=2\), \(n=-1\) : \(h'(x)=(-1)\times 2\times(2x+1)^{-2} = -\dfrac{2}{(2x+1)^2}\).

Exercice 3 — Dériver des composées trigonométriques

Dériver :

1. \(f(x)=\sin(4x)\) 2. \(g(x)=\cos(x^2+1)\) 3. \(h(x)=\sin(2x)-\cos(3x)\)

1. \(u=4x\), \(u'=4\) : \(f'(x)=4\cos(4x)\).

2. \(u=x^2+1\), \(u'=2x\) : \(g'(x)=-2x\sin(x^2+1)\).

3. \(h'(x)=2\cos(2x)-\big(-3\sin(3x)\big)=2\cos(2x)+3\sin(3x)\).

Exercice 4 — Dériver des exponentielles et logarithmes composés

Dériver :

1. \(f(x)=\mathrm e^{5x-3}\) 2. \(g(x)=\mathrm e^{-x^2}\) 3. \(h(x)=\ln(3x+7)\) (sur \(]{-}\tfrac73;+\infty[\)) 4. \(k(x)=\ln(x^2+1)\)

1. \(u=5x-3\), \(u'=5\) : \(f'(x)=5\,\mathrm e^{5x-3}\).

2. \(u=-x^2\), \(u'=-2x\) : \(g'(x)=-2x\,\mathrm e^{-x^2}\).

3. \(u=3x+7\), \(u'=3\) : \(h'(x)=\dfrac{3}{3x+7}\).

4. \(u=x^2+1\gt 0\), \(u'=2x\) : \(k'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}\).

Exercice 5 — Primitives de la forme \(f(ax+b)\)

Déterminer une primitive de chaque fonction.

1. \(f(x)=\cos(4x)\) 2. \(g(x)=\mathrm e^{2x}\) 3. \(h(x)=(3x-1)^2\) 4. \(k(x)=\sin(5x)\)

1. Primitive de \(\cos\) est \(\sin\), donc \(F(x)=\dfrac14\sin(4x)\).

2. \(G(x)=\dfrac12\mathrm e^{2x}\).

3. Primitive de \(t^2\) est \(\dfrac{t^3}{3}\), donc \(H(x)=\dfrac13\times\dfrac{(3x-1)^3}{3}=\dfrac{(3x-1)^3}{9}\).

4. Primitive de \(\sin\) est \(-\cos\), donc \(K(x)=-\dfrac15\cos(5x)\).

Exercice 6 — Primitives \(u'u^n\) et \(u'/u\)

Déterminer une primitive de chaque fonction.

1. \(f(x)=2x(x^2+3)^4\) 2. \(g(x)=(2x+1)(x^2+x)^3\) 3. \(h(x)=\dfrac{2x}{x^2+5}\) 4. \(k(x)=\dfrac{x}{x^2+1}\)

1. \(u=x^2+3\), \(u'=2x\), \(n=4\) : \(F(x)=\dfrac{(x^2+3)^5}{5}\).

2. \(u=x^2+x\), \(u'=2x+1\), \(n=3\) : \(G(x)=\dfrac{(x^2+x)^4}{4}\).

3. \(u=x^2+5\gt 0\), \(u'=2x\) : forme \(\dfrac{u'}{u}\), donc \(H(x)=\ln(x^2+5)\).

4. \(k(x)=\dfrac12\cdot\dfrac{2x}{x^2+1}\), donc \(K(x)=\dfrac12\ln(x^2+1)\).

Exercice 7 — Primitives \(u'\mathrm e^u\), \(u'\cos u\), \(u'\sin u\)

Déterminer une primitive de chaque fonction.

1. \(f(x)=2x\,\mathrm e^{x^2}\) 2. \(g(x)=x\,\mathrm e^{x^2+1}\) 3. \(h(x)=2x\cos(x^2)\) 4. \(k(x)=(2x+2)\sin(x^2+2x)\)

1. \(u=x^2\), \(u'=2x\) : forme \(u'\mathrm e^u\), donc \(F(x)=\mathrm e^{x^2}\).

2. \(u=x^2+1\), \(u'=2x\) ; \(g(x)=\dfrac12(2x)\mathrm e^{x^2+1}\), donc \(G(x)=\dfrac12\mathrm e^{x^2+1}\).

3. \(u=x^2\), \(u'=2x\) : forme \(u'\cos u\), donc \(H(x)=\sin(x^2)\).

4. \(u=x^2+2x\), \(u'=2x+2\) : forme \(u'\sin u\), donc \(K(x)=-\cos(x^2+2x)\).

Exercice 8 — Problème type : décharge d'un condensateur

Lors de la décharge d'un condensateur, la tension (en volts) à ses bornes est modélisée sur \([0\,;+\infty[\) par

\[u(t) = 6\,\mathrm e^{-2t},\qquad t \text{ en secondes.}\]

1. Justifier que \(u\) est une composée : donner la fonction intérieure et la fonction extérieure.

2. Calculer \(u'(t)\). En déduire le sens de variation de \(u\) sur \([0\,;+\infty[\).

3. L'intensité du courant vérifie \(i(t)=-C\,u'(t)\) avec \(C=0{,}01\ \text{F}\). Exprimer \(i(t)\).

4. On considère \(P(t)=u(t)\times i(t)\), la puissance instantanée. Montrer que \(P(t)=0{,}72\,\mathrm e^{-4t}\).

5. Déterminer une primitive \(E\) de \(P\) sur \([0\,;+\infty[\). (L'énergie dissipée entre deux instants s'obtient par différence de \(E\).)

1. \(u(t)=v(w(t))\) avec fonction intérieure \(w(t)=-2t\) et fonction extérieure \(v(t)=6\,\mathrm e^{t}\) (ou \(v=\exp\), le facteur \(6\) étant constant). Bref, \(u=6\,\mathrm e^{w}\) avec \(w=-2t\).

2. \((\mathrm e^w)'=w'\mathrm e^w\) avec \(w'=-2\) : \(u'(t)=6\times(-2)\,\mathrm e^{-2t}=-12\,\mathrm e^{-2t}\). Comme \(\mathrm e^{-2t}\gt 0\), on a \(u'(t)\lt 0\) : \(u\) est strictement décroissante sur \([0\,;+\infty[\).

3. \(i(t)=-C\,u'(t)=-0{,}01\times(-12\,\mathrm e^{-2t})=0{,}12\,\mathrm e^{-2t}\) (en A).

4. \(P(t)=u(t)\,i(t)=6\,\mathrm e^{-2t}\times 0{,}12\,\mathrm e^{-2t}=0{,}72\,\mathrm e^{-2t-2t}=0{,}72\,\mathrm e^{-4t}\). ✔

5. Primitive de \(\mathrm e^{-4t}\) : \(\dfrac{1}{-4}\mathrm e^{-4t}=-\dfrac14\mathrm e^{-4t}\). Donc \(E(t)=0{,}72\times\left(-\dfrac14\right)\mathrm e^{-4t}=-0{,}18\,\mathrm e^{-4t}\) (en J).