Fiche – Composition de fonctions

Chapitre 14 | Terminale STI2D — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

L'essentiel :

La composée \(v\circ u\) applique \(u\) puis \(v\) : \((v\circ u)(x)=v(u(x))\).
On dérive de l'extérieur vers l'intérieur, puis on multiplie par \(u'\) : \((v\circ u)'=u'\times(v'\circ u)\).
Le facteur \(u'\) ne s'oublie jamais — c'est la clé de tout le chapitre.
Les primitives composées se lisent « à l'envers » des dérivées.

Définitions clés

Composée

\((v\circ u)(x)=v\big(u(x)\big)\) : \(u\) est la fonction intérieure, \(v\) la fonction extérieure. En général \(v\circ u\ne u\circ v\).

Dérivée d'une composée

\((v\circ u)' = u'\times(v'\circ u)\), c'est-à-dire \(\big(v(u(x))\big)' = u'(x)\,v'\big(u(x)\big)\).

À connaître par cœur

Dérivées des composées usuelles (\(u\) dérivable) \[(u^n)' = n\,u'\,u^{n-1}\qquad (\cos u)' = -u'\sin u\qquad (\sin u)' = u'\cos u\] \[(\mathrm e^{u})' = u'\,\mathrm e^{u}\qquad (\ln u)' = \dfrac{u'}{u}\ (u\gt 0)\]

Cas affine (rappel Première) \[\big(f(ax+b)\big)' = a\,f'(ax+b)\]

Primitives — formes composées \[f(ax+b)\ \longrightarrow\ \dfrac1a\,F(ax+b)\qquad u'u^n\ \longrightarrow\ \dfrac{u^{\,n+1}}{n+1}\ (n\ne -1)\] \[\dfrac{u'}{u}\ \longrightarrow\ \ln|u|\qquad u'\mathrm e^{u}\ \longrightarrow\ \mathrm e^{u}\] \[u'\cos u\ \longrightarrow\ \sin u\qquad u'\sin u\ \longrightarrow\ -\cos u\]

Méthodes

Méthode — Dériver une composée

Repérer \(u\) (intérieure) et calculer \(u'\).
Identifier la fonction extérieure (\(t^n\), \(\cos\), \(\sin\), \(\mathrm e\), \(\ln\)).
Appliquer la formule usuelle sans oublier \(\times\,u'\).

Méthode — Reconnaître une primitive composée

Repérer un bloc \(u\) dont la dérivée \(u'\) apparaît en facteur.
Identifier la forme (\(u'u^n\), \(\dfrac{u'}{u}\), \(u'\mathrm e^u\), \(u'\cos u\), \(u'\sin u\)).
Écrire la primitive ; ajuster par un coefficient si \(u'\) manque un facteur.

Erreurs fréquentes

Attention

❌ \(\big(\cos(x^2)\big)' = -\sin(x^2)\) (facteur \(u'\) oublié).

✅ \(\big(\cos(x^2)\big)' = -2x\sin(x^2)\).

❌ \((\mathrm e^{u})' = \mathrm e^{u}\).

✅ \((\mathrm e^{u})' = u'\,\mathrm e^{u}\).

❌ Confondre \(v\circ u\) (emboîtement) et \(v\times u\) (produit).

✅ \(v\circ u\) signifie \(v(u(x))\).

❌ Oublier le \(\dfrac1a\) dans la primitive de \(f(ax+b)\).

✅ Primitive de \(\cos(2x)\) : \(\dfrac12\sin(2x)\).

Exemple rapide

Exemple — dériver et primitiver

Dériver \(f(x)=\mathrm e^{-2x^2}\) : \(u=-2x^2\), \(u'=-4x\), donc \(f'(x)=-4x\,\mathrm e^{-2x^2}\).
Primitive de \(g(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}\) : forme \(\dfrac{u'}{u}\), donc \(G(x)=\ln(x^2+1)\).
Primitive de \(h(x)=4x(x^2+3)^3\) : \(u=x^2+3\), \(u'=2x\), \(h=2u'u^3\), donc \(H(x)=2\times\dfrac{(x^2+3)^4}{4}=\dfrac{(x^2+3)^4}{2}\).