Devoir Surveillé – Chapitre 14

Composition de fonctions | Terminale STI2D — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Nom : Prénom : Classe : Date : Note : / 20

🕑 Durée : 1 heure

🧮 Calculatrice : autorisée

✍ Barème : 20 points

📄 Documents : non autorisés

Rappels : \((v\circ u)'=u'\times(v'\circ u)\) ; \((u^n)'=n u'u^{n-1}\), \((\cos u)'=-u'\sin u\), \((\sin u)'=u'\cos u\), \((\mathrm e^u)'=u'\mathrm e^u\), \((\ln u)'=\dfrac{u'}{u}\) ; primitives : \(f(ax+b)\to\dfrac1a F(ax+b)\), \(u'u^n\to\dfrac{u^{n+1}}{n+1}\), \(\dfrac{u'}{u}\to\ln|u|\), \(u'\mathrm e^u\to\mathrm e^u\), \(u'\cos u\to\sin u\), \(u'\sin u\to-\cos u\).

Exercice 1 — Composées et dérivées (7 points)

1. On pose \(u(x)=x^2+1\) et \(v(x)=\ln x\). Écrire \((v\circ u)(x)\). (1 pt)

Dériver les fonctions suivantes en précisant \(u\) et \(u'\) :

2. \(f(x)=(4x-3)^5\). (1,5 pt)

3. \(g(x)=\cos(2x^2)\). (1,5 pt)

4. \(h(x)=\mathrm e^{-3x+1}\). (1,5 pt)

5. \(k(x)=\ln(x^2+3)\). (1,5 pt)

1. \((v\circ u)(x)=v(u(x))=\ln(x^2+1)\). (1 pt)

2. \(u=4x-3\), \(u'=4\), \(n=5\) : \(f'(x)=5\times 4\times(4x-3)^4=20(4x-3)^4\). (1,5 pt)

3. \(u=2x^2\), \(u'=4x\) : \(g'(x)=-4x\sin(2x^2)\). (1,5 pt)

4. \(u=-3x+1\), \(u'=-3\) : \(h'(x)=-3\,\mathrm e^{-3x+1}\). (1,5 pt)

5. \(u=x^2+3\gt 0\), \(u'=2x\) : \(k'(x)=\dfrac{2x}{x^2+3}\). (1,5 pt)

Exercice 2 — Primitives de fonctions composées (7 points)

Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes (justifier la forme).

1. \(f(x)=\mathrm e^{4x}\). (1,5 pt)

2. \(g(x)=3x^2(x^3+1)^2\). (2 pts)

3. \(h(x)=\dfrac{2x}{x^2+7}\). (1,5 pt)

4. \(k(x)=2x\,\mathrm e^{x^2}\). (2 pts)

1. Forme \(f(ax+b)\), \(a=4\) : \(F(x)=\dfrac14\mathrm e^{4x}\). (1,5 pt)

2. \(u=x^3+1\), \(u'=3x^2\), \(n=2\) : forme \(u'u^2\), donc \(G(x)=\dfrac{(x^3+1)^3}{3}\). (2 pts)

3. \(u=x^2+7\gt 0\), \(u'=2x\) : forme \(\dfrac{u'}{u}\), donc \(H(x)=\ln(x^2+7)\). (1,5 pt)

4. \(u=x^2\), \(u'=2x\) : forme \(u'\mathrm e^u\), donc \(K(x)=\mathrm e^{x^2}\). (2 pts)

Exercice 3 — Application physique : refroidissement (6 points)

La température (en °C) d'une pièce métallique qui refroidit est modélisée sur \([0\,;+\infty[\) par

\[\theta(t) = 20 + 60\,\mathrm e^{-0{,}1t},\qquad t \text{ en minutes.}\]

1. Identifier la composée présente dans \(\theta(t)\) : donner la fonction intérieure et la fonction extérieure. (1,5 pt)

2. Calculer \(\theta'(t)\). (2 pts)

3. En déduire le sens de variation de \(\theta\) sur \([0\,;+\infty[\) et interpréter physiquement. (1,5 pt)

4. Calculer \(\theta(0)\) et donner la valeur vers laquelle \(\theta(t)\) se rapproche quand \(t\) devient grand (la température de la pièce est \(\mathrm e^{-0{,}1t}\to 0\)). (1 pt)

1. Le terme composé est \(\mathrm e^{-0{,}1t}\) : fonction intérieure \(u(t)=-0{,}1t\), fonction extérieure \(v=\exp\) (\(t\mapsto\mathrm e^t\)). (1,5 pt)

2. \(20\) est constant (dérivée nulle). Pour \(60\,\mathrm e^{-0{,}1t}\) : \((\mathrm e^u)'=u'\mathrm e^u\) avec \(u'=-0{,}1\). Donc \(\theta'(t)=60\times(-0{,}1)\,\mathrm e^{-0{,}1t}=-6\,\mathrm e^{-0{,}1t}\). (2 pts)

3. Comme \(\mathrm e^{-0{,}1t}\gt 0\), on a \(\theta'(t)\lt 0\) : \(\theta\) est strictement décroissante. Physiquement, la pièce se refroidit continûment. (1,5 pt)

4. \(\theta(0)=20+60\,\mathrm e^{0}=20+60=80\ \text{°C}\). Quand \(t\) grandit, \(\mathrm e^{-0{,}1t}\to 0\) donc \(\theta(t)\to 20\ \text{°C}\) : la pièce tend vers la température ambiante \(20\ \text{°C}\). (1 pt)