Chapitre 14 – Composition de fonctions
Chapitre 14 | Terminale STI2D — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
⏱ Durée de lecture estimée : ~20 min
Objectifs du chapitre
- Identifier la composée \(v\circ u\) dans une expression simple, et repérer la fonction « intérieure » \(u\) et la fonction « extérieure » \(v\).
- Appliquer la formule de dérivation d'une composée \((v\circ u)' = u'\times(v'\circ u)\).
- Dériver les composées usuelles : \((u^n)'\), \((\cos u)'\), \((\sin u)'\), \((\mathrm e^{u})'\), \((\ln u)'\).
- Calculer des primitives de la forme \(f(ax+b)\), \(u'u^n\) (dont \(\dfrac{u'}{u}\)), \(u'\mathrm e^{u}\), \(u'\cos u\), \(u'\sin u\).
Beaucoup de fonctions rencontrées en physique-chimie sont des fonctions emboîtées : on applique une première transformation \(u\), puis une seconde \(v\). Par exemple \(x\mapsto \mathrm e^{-0{,}5x}\) (décroissance), \(t\mapsto \cos(\omega t+\varphi)\) (signal), ou \(x\mapsto \ln(1+x^2)\). Savoir composer puis dériver et primitiver ces fonctions est indispensable pour l'énergie, la radioactivité et les signaux. Prérequis : dérivées usuelles, dérivée de \(f(ax+b)\), fonctions \(\mathrm e^x\) et \(\ln x\) (chapitres précédents).
I. La composée de deux fonctions
1. Définition et notation
Soit \(u\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) à valeurs dans un intervalle \(J\), et \(v\) une fonction définie sur \(J\). La composée de \(u\) suivie de \(v\), notée \(v\circ u\) (« \(v\) rond \(u\) »), est la fonction définie sur \(I\) par
\[\boxed{\,(v\circ u)(x) = v\big(u(x)\big).\,}\]On applique d'abord \(u\) (fonction intérieure), puis \(v\) (fonction extérieure) au résultat.
La composée \(v\circ u\) enchaîne deux transformations : \(x \xrightarrow{\;u\;} u(x) \xrightarrow{\;v\;} v(u(x))\).
En général \(v\circ u \ne u\circ v\). Dans la notation \(v\circ u\), c'est \(u\) (à droite) qui agit en premier, sur \(x\), puis \(v\) agit sur \(u(x)\).
Soit \(u(x) = 3x+1\) et \(v(x) = x^2\).
- \((v\circ u)(x) = v(u(x)) = v(3x+1) = (3x+1)^2\).
- \((u\circ v)(x) = u(v(x)) = u(x^2) = 3x^2+1\).
Les deux composées sont bien différentes.
2. Identifier une composée dans une expression
Pour repérer la structure composée d'une expression \(f(x)\) :
- Chercher le calcul intérieur \(u(x)\) : ce qui est « à l'intérieur » (sous une puissance, dans un \(\cos\), sous une exponentielle, dans un \(\ln\)…).
- Identifier la fonction extérieure \(v\) qui agit sur ce bloc.
- Vérifier : \(f(x) = v(u(x))\).
| Fonction \(f(x)\) | Intérieure \(u(x)\) | Extérieure \(v\) |
|---|---|---|
| \((2x-5)^4\) | \(2x-5\) | \(t\mapsto t^4\) |
| \(\cos(x^2)\) | \(x^2\) | \(t\mapsto \cos t\) |
| \(\mathrm e^{-0{,}5x}\) | \(-0{,}5x\) | \(t\mapsto \mathrm e^{t}\) |
| \(\ln(1+x^2)\) | \(1+x^2\) | \(t\mapsto \ln t\) |
On applique d'abord \(u(x) = 4x+3\), puis \(v = \sin\). Ainsi \(f = v\circ u\) avec \(u(x)=4x+3\) et \(v(t)=\sin t\).
II. Dérivée d'une fonction composée
3. La formule générale
Si \(u\) est dérivable sur \(I\) et \(v\) dérivable sur l'intervalle contenant les valeurs \(u(x)\), alors \(v\circ u\) est dérivable sur \(I\) et
\[\boxed{\,(v\circ u)' = u'\times(v'\circ u), \qquad \text{c'est-à-dire}\qquad \big(v(u(x))\big)' = u'(x)\times v'\big(u(x)\big).\,}\]On dérive de « l'extérieur vers l'intérieur » : on dérive la fonction extérieure \(v\) en gardant \(u(x)\) à l'intérieur, ce qui donne \(v'(u(x))\), puis on multiplie par la dérivée de l'intérieur \(u'(x)\). Le facteur \(u'\) est essentiel : l'oublier est l'erreur la plus fréquente du chapitre.
Lien avec le taux de variation : \(\left(\dfrac{\Delta(v\circ u)}{\Delta x}\right) = \left(\dfrac{\Delta v}{\Delta u}\right)\times\left(\dfrac{\Delta u}{\Delta x}\right)\) ; par passage à la limite on retrouve \((v\circ u)' = (v'\circ u)\times u'\).
Dériver \(f(x) = (3x+1)^2\). Ici \(u(x)=3x+1\) (\(u'(x)=3\)) et \(v(t)=t^2\) (\(v'(t)=2t\)).
\[f'(x) = u'(x)\times v'(u(x)) = 3\times 2(3x+1) = 6(3x+1).\]Vérification : \((3x+1)^2 = 9x^2+6x+1\), de dérivée \(18x+6 = 6(3x+1)\). ✔
\(u(x)=x^2\) (\(u'(x)=2x\)), \(v=\cos\) (\(v'=-\sin\)). Donc \(f'(x) = u'\times(v'\circ u) = 2x\times\big(-\sin(x^2)\big) = -2x\sin(x^2).\)
4. Les dérivées des composées usuelles
Soit \(u\) une fonction dérivable. On applique \((v\circ u)' = u'\times(v'\circ u)\) aux fonctions extérieures usuelles :
| Fonction | Dérivée | Condition |
|---|---|---|
| \(u^n\ (n\in\mathbb{Z})\) | \(n\,u'\,u^{n-1}\) | \(u\ne 0\) si \(n\lt 0\) |
| \(\cos u\) | \(-u'\sin u\) | |
| \(\sin u\) | \(u'\cos u\) | |
| \(\mathrm e^{u}\) | \(u'\,\mathrm e^{u}\) | |
| \(\ln u\) | \(\dfrac{u'}{u}\) | \(u\gt 0\) sur \(I\) |
Cas particulier \(u(x)=ax+b\) (donc \(u'=a\)) : on retrouve \(\big(f(ax+b)\big)' = a\,f'(ax+b)\), déjà vu en Première.
- \(\big((2x^2-1)^3\big)' = 3\times(4x)\times(2x^2-1)^2 = 12x(2x^2-1)^2\) — ici \(u=2x^2-1\), \(u'=4x\), \(n=3\).
- \(\big(\sin(3x+1)\big)' = 3\cos(3x+1)\) — \(u=3x+1\), \(u'=3\).
- \(\big(\mathrm e^{-0{,}5x}\big)' = -0{,}5\,\mathrm e^{-0{,}5x}\) — \(u=-0{,}5x\), \(u'=-0{,}5\).
- \(\big(\mathrm e^{x^2}\big)' = 2x\,\mathrm e^{x^2}\) — \(u=x^2\), \(u'=2x\).
- \(\big(\ln(1+x^2)\big)' = \dfrac{2x}{1+x^2}\) — \(u=1+x^2\gt 0\), \(u'=2x\).
\(u(x)=3x^2-x\), donc \(u'(x)=6x-1\). Comme \((\mathrm e^u)'=u'\mathrm e^u\) : \(g'(x) = (6x-1)\,\mathrm e^{3x^2-x}.\)
\(u(x)=4x+5\gt 0\) sur l'intervalle, \(u'(x)=4\). Comme \((\ln u)'=\dfrac{u'}{u}\) : \(h'(x)=\dfrac{4}{4x+5}.\)
III. Primitives de fonctions composées
Lire les formules de dérivation « à l'envers » donne des primitives. On rappelle : \(F\) est une primitive de \(f\) si \(F' = f\).
5. Primitive de \(f(ax+b)\)
Si \(F\) est une primitive de \(f\), alors une primitive de \(x\mapsto f(ax+b)\) (avec \(a\ne 0\)) est
\[\boxed{\,x\mapsto \dfrac{1}{a}\,F(ax+b).\,}\]Le facteur \(\dfrac1a\) « compense » le facteur \(a\) qui apparaîtrait en dérivant.
Une primitive de \(x\mapsto \cos(2x)\) est \(x\mapsto \dfrac12\sin(2x)\). En effet \(\left(\tfrac12\sin(2x)\right)' = \tfrac12\times 2\cos(2x) = \cos(2x)\). ✔
Une primitive de \(x\mapsto \mathrm e^{3x}\) est \(x\mapsto \dfrac13\mathrm e^{3x}\).
6. Primitive de \(u'u^n\) (et cas \(u'/u\))
Soit \(u\) dérivable. Pour \(n\in\mathbb{Z}\), \(n\ne -1\), une primitive de \(u'u^n\) est
\[\boxed{\,\dfrac{u^{\,n+1}}{n+1}.\,}\]Cas particulier \(n=-1\) (forme \(\dfrac{u'}{u}\), avec \(u\gt 0\)) : une primitive de \(\dfrac{u'}{u}\) est
\[\boxed{\,\ln|u|\,}\qquad(\text{et }\ln u \text{ si } u\gt 0).\]- \(\displaystyle\int 2x(x^2+1)^3\,\)… : ici \(u=x^2+1\), \(u'=2x\), \(n=3\). Primitive : \(\dfrac{(x^2+1)^4}{4}\).
- Une primitive de \(\dfrac{2x}{x^2+1}\) est \(\ln(x^2+1)\) (car \(x^2+1\gt 0\)) : ici \(u=x^2+1\), \(u'=2x\).
\(u(x)=x^3+2\), \(u'(x)=3x^2\), \(n=4\). \(f=u'u^4\), donc une primitive est \(\dfrac{u^5}{5} = \dfrac{(x^3+2)^5}{5}.\)
7. Primitives de \(u'\mathrm e^{u}\), \(u'\cos u\), \(u'\sin u\)
| Fonction | Une primitive |
|---|---|
| \(u'\,\mathrm e^{u}\) | \(\mathrm e^{u}\) |
| \(u'\cos u\) | \(\sin u\) |
| \(u'\sin u\) | \(-\cos u\) |
Ces primitives se lisent directement sur les dérivées \((\mathrm e^u)'=u'\mathrm e^u\), \((\sin u)'=u'\cos u\), \((-\cos u)'=u'\sin u\).
Une primitive de \(f(x)=2x\,\mathrm e^{x^2}\) : \(u=x^2\), \(u'=2x\), donc \(f=u'\mathrm e^u\) et une primitive est \(\mathrm e^{x^2}\).
Une primitive de \(g(x)=3\cos(3x)\) : \(u=3x\), \(u'=3\), donc \(g=u'\cos u\) et une primitive est \(\sin(3x)\).
On veut la forme \(u'\mathrm e^u\) avec \(u=x^2\) donc \(u'=2x\). Or \(f(x)=x\,\mathrm e^{x^2} = \dfrac12\times 2x\,\mathrm e^{x^2} = \dfrac12\,u'\mathrm e^u\). Une primitive est donc \(\dfrac12\,\mathrm e^{x^2}.\)
Méthodes-types
- Repérer la fonction intérieure \(u\) et calculer \(u'\).
- Identifier la fonction extérieure (\(t^n\), \(\cos\), \(\sin\), \(\mathrm e\), \(\ln\)).
- Appliquer la formule usuelle correspondante en n'oubliant pas le facteur \(u'\).
Exemple résolu. \(f(x)=(x^2+3)^5\) : \(u=x^2+3\), \(u'=2x\), donc \(f'(x)=5\times 2x\times(x^2+3)^4 = 10x(x^2+3)^4\).
- Chercher un bloc \(u\) et vérifier si sa dérivée \(u'\) apparaît en facteur.
- Identifier la forme : \(u'u^n\), \(\dfrac{u'}{u}\), \(u'\mathrm e^u\), \(u'\cos u\), \(u'\sin u\).
- Écrire la primitive correspondante ; ajuster par un coefficient si \(u'\) n'est présent qu'à un facteur multiplicatif près.
Exemple résolu. \(\dfrac{x}{x^2+1}\) : \(u=x^2+1\), \(u'=2x\). On écrit \(\dfrac{x}{x^2+1}=\dfrac12\cdot\dfrac{2x}{x^2+1}=\dfrac12\cdot\dfrac{u'}{u}\), primitive \(\dfrac12\ln(x^2+1)\).
Erreurs fréquentes / points de vigilance
❌ Oublier le facteur \(u'\) : écrire \(\big(\cos(x^2)\big)' = -\sin(x^2)\).
✅ \(\big(\cos(x^2)\big)' = -2x\sin(x^2)\) : on multiplie par \(u'=2x\).
❌ Confondre \(v\circ u\) et le produit \(v\times u\).
✅ \(v\circ u\) est un emboîtement \(v(u(x))\), pas une multiplication.
❌ Écrire \((\mathrm e^{u})' = \mathrm e^{u}\) sans le \(u'\).
✅ \((\mathrm e^{u})' = u'\,\mathrm e^{u}\).
❌ Primitiver \(\dfrac{u'}{u}\) en \(\dfrac{u'}{u^2}\) ou autre.
✅ Une primitive de \(\dfrac{u'}{u}\) est \(\ln|u|\).
❌ Oublier le \(\dfrac1a\) dans la primitive de \(f(ax+b)\).
✅ Primitive de \(\cos(2x)\) : \(\dfrac12\sin(2x)\), pas \(\sin(2x)\).
L'essentiel à retenir
- Composée : \((v\circ u)(x)=v(u(x))\) — on applique \(u\) puis \(v\).
- Dérivée : \((v\circ u)' = u'\times(v'\circ u)\) — dériver de l'extérieur, multiplier par \(u'\).
- Composées usuelles : \((u^n)'=n u'u^{n-1}\), \((\cos u)'=-u'\sin u\), \((\sin u)'=u'\cos u\), \((\mathrm e^u)'=u'\mathrm e^u\), \((\ln u)'=\dfrac{u'}{u}\).
- Primitives : \(f(ax+b)\to\dfrac1a F(ax+b)\) ; \(u'u^n\to\dfrac{u^{n+1}}{n+1}\) ; \(\dfrac{u'}{u}\to\ln|u|\).
- Primitives (suite) : \(u'\mathrm e^u\to\mathrm e^u\) ; \(u'\cos u\to\sin u\) ; \(u'\sin u\to-\cos u\).