Chapitre 11 | Terminale STI2D — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Exercices progressifs, du calcul algébrique de base jusqu'au problème type. Chaque exercice est corrigé : cherche d'abord seul, puis clique sur « Voir la correction ».
1. Donner la valeur exacte de \(e^0\) et de \(e^1\).
2. À la calculatrice, donner une valeur approchée au millième de \(e^3\), \(e^{-2}\) et \(e^{0{,}5}\).
3. Justifier que, pour tout réel \(x\), \(e^x \gt 0\).
1. \(e^0 = 1\) et \(e^1 = e \approx 2{,}718\).
2. \(e^3 \approx 20{,}086\) ; \(e^{-2} \approx 0{,}135\) ; \(e^{0{,}5} \approx 1{,}649\).
3. La fonction exponentielle est strictement positive sur \(\mathbb{R}\) : sa courbe est entièrement au-dessus de l'axe des abscisses. Donc \(e^x \gt 0\) pour tout \(x\).
Simplifier et écrire sous la forme \(e^{kx}\) (ou \(e^{k}\)) :
1. \(e^{3x}\times e^{2x}\) 2. \(\dfrac{e^{5x}}{e^{2x}}\) 3. \(\big(e^{2x}\big)^4\) 4. \(e^{x}\times e^{-x}\) 5. \(\dfrac{e^{2}\times e^{3}}{e^{4}}\)
1. \(e^{3x+2x}=e^{5x}\). 2. \(e^{5x-2x}=e^{3x}\). 3. \(e^{2x\times 4}=e^{8x}\).
4. \(e^{x-x}=e^{0}=1\). 5. \(e^{2+3-4}=e^{1}=e\).
Calculer la dérivée de chacune des fonctions :
1. \(f(x)=e^{x}\) 2. \(g(x)=e^{4x}\) 3. \(h(x)=e^{-3x}\) 4. \(p(x)=5\,e^{2x}\) 5. \(q(t)=8\,e^{-0{,}25t}\)
1. \(f'(x)=e^{x}\). 2. \(g'(x)=4\,e^{4x}\). 3. \(h'(x)=-3\,e^{-3x}\).
4. \(p'(x)=5\times 2\,e^{2x}=10\,e^{2x}\). 5. \(q'(t)=8\times(-0{,}25)\,e^{-0{,}25t}=-2\,e^{-0{,}25t}\).
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) :
1. \(e^{3x}=e^{9}\) 2. \(e^{2x+1}=e^{5}\) 3. \(e^{x^2}=e^{4}\) 4. \(e^{-x}=1\)
On utilise \(e^{A}=e^{B}\iff A=B\).
1. \(3x=9\iff x=3\). 2. \(2x+1=5\iff x=2\).
3. \(x^2=4\iff x=2\) ou \(x=-2\). 4. \(1=e^0\) donc \(-x=0\iff x=0\).
Soit \(f(x)=(x-3)\,e^{x}\) définie sur \(\mathbb{R}\).
1. Calculer \(f'(x)\) et la factoriser par \(e^{x}\).
2. Étudier le signe de \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations.
3. Préciser l'extremum (valeur exacte).
1. \(u=x-3\) (\(u'=1\)), \(v=e^x\) (\(v'=e^x\)). \(f'(x)=e^x+(x-3)e^x=(x-2)\,e^x\).
2. Comme \(e^x\gt 0\), le signe de \(f'\) est celui de \(x-2\) : \(f'\lt 0\) pour \(x\lt 2\), \(f'\gt 0\) pour \(x\gt 2\). Donc \(f\) décroît sur \(]{-}\infty\,;2]\) puis croît sur \([2\,;{+}\infty[\).
3. Minimum en \(x=2\) : \(f(2)=(2-3)e^2=-e^{2}\approx -7{,}39\).
Soit \(g(x)=\dfrac{e^{x}}{x^{2}}\) sur \(]0\,;{+}\infty[\).
1. Calculer \(g'(x)\) et factoriser le numérateur.
2. En déduire le sens de variation de \(g\) sur \(]0\,;{+}\infty[\).
1. \(u=e^x\) (\(u'=e^x\)), \(v=x^2\) (\(v'=2x\)). \(g'(x)=\dfrac{e^x\cdot x^2 - e^x\cdot 2x}{(x^2)^2}=\dfrac{x\,e^x(x-2)}{x^4}=\dfrac{(x-2)\,e^x}{x^3}\).
2. Sur \(]0\,;{+}\infty[\), \(e^x\gt 0\) et \(x^3\gt 0\) : le signe de \(g'\) est celui de \(x-2\). Donc \(g\) décroît sur \(]0\,;2]\), croît sur \([2\,;{+}\infty[\). Minimum en \(x=2\) : \(g(2)=\dfrac{e^2}{4}\approx 1{,}85\).
Déterminer les limites suivantes :
1. \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}e^{2x}\) 2. \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty}e^{x}\) 3. \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{e^{x}}{x^{3}}\) 4. \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}x^{2}e^{-x}\) 5. \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\big(e^{x}-x^{2}\big)\)
1. \(+\infty\) (\(e^{2x}\to+\infty\)). 2. \(0\). 3. \(+\infty\) (croissance comparée, \(n=3\)).
4. \(0\) (croissance comparée : \(x^n e^{-x}\to 0\)).
5. Forme \(\infty-\infty\). On factorise : \(e^x-x^2=e^x\left(1-\dfrac{x^2}{e^x}\right)\). Or \(\dfrac{x^2}{e^x}\to 0\), donc la parenthèse tend vers \(1\) et le résultat est \(+\infty\).
Lors de la décharge d'un condensateur dans une résistance, la tension à ses bornes (en volts) est modélisée par :
\[u(t) = 12\,e^{-0{,}5\,t},\qquad t \geqslant 0\ \text{(en secondes).}\]1. Calculer la tension initiale \(u(0)\).
2. Calculer \(u'(t)\) et en déduire le sens de variation de \(u\).
3. Calculer \(u(2)\) puis \(u(6)\) (au centième). Que devient la tension quand \(t\) devient grand ?
4. Déterminer \(\displaystyle\lim_{t\to +\infty}u(t)\) et interpréter physiquement.
5. La vitesse de décharge est \(\lvert u'(t)\rvert\). Est-elle plus grande au début ou à la fin de la décharge ? Justifier.
1. \(u(0)=12\,e^{0}=12\) V.
2. \(u'(t)=12\times(-0{,}5)\,e^{-0{,}5t}=-6\,e^{-0{,}5t}\). Comme \(e^{-0{,}5t}\gt 0\), \(u'(t)\lt 0\) : la tension est décroissante (le condensateur se décharge).
3. \(u(2)=12\,e^{-1}\approx 4{,}41\) V ; \(u(6)=12\,e^{-3}\approx 0{,}60\) V. La tension diminue et se rapproche de \(0\).
4. \(\displaystyle\lim_{t\to +\infty}12\,e^{-0{,}5t}=0\) (car \(e^{-0{,}5t}\to 0\)). Physiquement, le condensateur finit par être complètement déchargé : sa tension tend vers \(0\).
5. \(\lvert u'(t)\rvert = 6\,e^{-0{,}5t}\), qui est une fonction décroissante du temps. La vitesse de décharge est donc maximale au début (\(\lvert u'(0)\rvert=6\) V/s) et diminue ensuite : la décharge est rapide au départ puis de plus en plus lente.