Fonction exponentielle de base e | Terminale STI2D — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
1. Simplifier et écrire sous la forme \(e^{kx}\) : (a) \(e^{4x}\times e^{-x}\) ; (b) \(\dfrac{e^{6x}}{e^{2x}}\) ; (c) \(\big(e^{3x}\big)^2\). (3 pts)
2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : (a) \(e^{2x}=e^{8}\) ; (b) \(e^{x+3}=e^{2x-1}\). (3 pts)
1. (a) \(e^{4x-x}=e^{3x}\) (1 pt) ; (b) \(e^{6x-2x}=e^{4x}\) (1 pt) ; (c) \(e^{3x\times 2}=e^{6x}\) (1 pt).
2. (a) \(2x=8\iff x=4\) (1,5 pt).
(b) \(x+3=2x-1\iff 4=x\), soit \(x=4\) (1,5 pt).
Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=(x+1)\,e^{-x}\).
1. Calculer \(f'(x)\) et montrer que \(f'(x)=-x\,e^{-x}\). (3 pts)
2. Étudier le signe de \(f'(x)\) sur \(\mathbb{R}\). (2 pts)
3. Dresser le tableau de variations de \(f\) et donner l'extremum (valeur exacte). (2 pts)
| \(x\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) | |
|---|---|---|---|
| Signe de \(f'(x)\) | |||
| Variations de \(f\) |
4. Déterminer \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)\) (on rappelle que \(x^n e^{-x}\to 0\)). (1 pt)
1. \(u=x+1\) (\(u'=1\)), \(v=e^{-x}\) (\(v'=-e^{-x}\)). \(f'(x)=1\cdot e^{-x}+(x+1)(-e^{-x})=e^{-x}\big(1-(x+1)\big)=e^{-x}(-x)=-x\,e^{-x}\). (3 pts)
2. Comme \(e^{-x}\gt 0\), le signe de \(f'(x)=-x\,e^{-x}\) est celui de \(-x\) : \(f'(x)\gt 0\) pour \(x\lt 0\), \(f'(x)\lt 0\) pour \(x\gt 0\). (2 pts)
3. \(f\) croît sur \(]{-}\infty\,;0]\), décroît sur \([0\,;{+}\infty[\). Maximum en \(x=0\) : \(f(0)=(0+1)e^{0}=1\). (2 pts)
4. \(f(x)=(x+1)e^{-x}=x\,e^{-x}+e^{-x}\). Or \(x\,e^{-x}\to 0\) et \(e^{-x}\to 0\), donc \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=0\). (1 pt)
Après extinction d'un four, l'écart de température (en °C) entre le four et la pièce est modélisé par \(\theta(t)=180\,e^{-0{,}03\,t}\), \(t\) en minutes.
1. Calculer l'écart initial \(\theta(0)\). (1 pt)
2. Calculer \(\theta'(t)\) et justifier que \(\theta\) est décroissante. (2 pts)
3. Calculer \(\theta(30)\) au dixième. (1,5 pt)
4. Déterminer \(\displaystyle\lim_{t\to +\infty}\theta(t)\) et interpréter. (1,5 pt)
1. \(\theta(0)=180\,e^{0}=180\) °C. (1 pt)
2. \(\theta'(t)=180\times(-0{,}03)\,e^{-0{,}03t}=-5{,}4\,e^{-0{,}03t}\). Comme \(e^{-0{,}03t}\gt 0\), \(\theta'(t)\lt 0\) : \(\theta\) est décroissante — la pièce refroidit. (2 pts)
3. \(\theta(30)=180\,e^{-0{,}9}\approx 180\times 0{,}4066\approx 73{,}2\) °C. (1,5 pt)
4. \(\displaystyle\lim_{t\to +\infty}180\,e^{-0{,}03t}=0\) : l'écart de température tend vers \(0\), le four finit par atteindre la température de la pièce. (1,5 pt)