Chapitre 11 – Fonction exponentielle de base e

Chapitre 11 | Terminale STI2D — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

⏱ Durée de lecture estimée : ~22 min

Illustration : Deux élèves comparent quatre plateaux contenant un, deux, quatre et huit cubes et observent une courbe exponentielle croissante. — Relier une croissance multiplicative régulière à l’allure d’une fonction exponentielle.

Objectifs du chapitre

Connaître le nombre \(e\) et la fonction exponentielle \(x\mapsto e^x\).
Calculer la dérivée de \(x\mapsto e^x\) et de \(x\mapsto e^{kx}\) (\(k\) réel).
Reconnaître la courbe représentative de l'exponentielle et ses limites en \(-\infty\) et \(+\infty\).
Utiliser les propriétés algébriques de l'exponentielle pour transformer des expressions.
Étudier les variations de fonctions somme, produit ou quotient d'exponentielles \(x\mapsto e^{kx}\) et de polynômes.
Déterminer des limites en \(\pm\infty\) et utiliser les croissances comparées \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x^n}\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^n e^{-x}\).

La fonction exponentielle est l'outil mathématique central du cycle terminal STI2D : elle modélise tout ce qui croît ou décroît proportionnellement à sa valeur — charge d'un condensateur, refroidissement d'un corps, décroissance radioactive \(N(t)=N_0\,e^{-\lambda t}\), régime transitoire d'un circuit \(RC\). Sa propriété fondamentale, \((e^x)'=e^x\), est unique : c'est la seule fonction (à un coefficient près) égale à sa propre dérivée. Prérequis : dérivation, dérivée de \(x\mapsto f(ax+b)\), sens de variation, fonctions \(x\mapsto a^x\) (enseignement commun).

I. Le nombre \(e\) et la fonction exponentielle

1. Le nombre \(e\)

Définition — Nombre \(e\) (nombre d'Euler)

Parmi toutes les fonctions \(x\mapsto a^x\) (avec \(a\gt 0\)), il en existe une seule dont la courbe a, au point d'abscisse \(0\), une tangente de pente exactement égale à \(1\). La valeur du paramètre \(a\) correspondante est notée \(e\) :

\[\boxed{\,e \approx 2{,}718\,281\ldots\,}\]

Ce nombre \(e\), appelé nombre d'Euler, est irrationnel (existence et unicité admises).

Définition — Fonction exponentielle

La fonction exponentielle est la fonction \(x\mapsto e^x\), définie pour tout réel \(x\). On la note aussi \(\exp(x)\). On a en particulier :

\[e^0 = 1,\qquad e^1 = e \approx 2{,}718.\]

Approche du nombre \(e\)

En cherchant la pente de la tangente en \(0\) de \(x\mapsto a^x\) pour différentes valeurs de \(a\), on encadre \(e\) : pour \(a=2\) la pente vaut \(\approx 0{,}69\) (trop petite), pour \(a=3\) elle vaut \(\approx 1{,}10\) (trop grande). Par balayage entre \(2\) et \(3\), on approche \(e\approx 2{,}718\).

Exercice d'application 1. À la calculatrice, donner une valeur approchée de \(e^2\) et de \(e^{-1}\) au millième.

\(e^2 \approx 7{,}389\) et \(e^{-1} = \dfrac1e \approx 0{,}368.\)

2. Dérivée de la fonction exponentielle

Théorème — Dérivée de \(x\mapsto e^x\)

La fonction \(x\mapsto e^x\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et égale à sa propre dérivée :

\[\boxed{\,(e^x)' = e^x.\,}\]

Justification (principe)

Le taux de variation de \(x\mapsto e^x\) en \(x_0\) se factorise :

\[\dfrac{e^{x_0+\Delta x} - e^{x_0}}{\Delta x} = e^{x_0}\times \dfrac{e^{\Delta x} - 1}{\Delta x}.\]

Or, par le choix même du nombre \(e\) (tangente de pente \(1\) en \(0\)), le facteur \(\dfrac{e^{\Delta x}-1}{\Delta x}\) tend vers \(1\) quand \(\Delta x\to 0\). Donc le taux tend vers \(e^{x_0}\), c'est-à-dire \((e^x)'=e^x\). \(\qquad\blacksquare\)

Propriété — Signe et variations

Pour tout réel \(x\), \(e^x \gt 0\). Comme \((e^x)'=e^x \gt 0\), la fonction exponentielle est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

Exercice d'application 2. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de \(x\mapsto e^x\) au point d'abscisse \(0\).

\(f(x)=e^x\), \(f(0)=e^0=1\), \(f'(0)=e^0=1\). Tangente : \(y = f(0)+f'(0)(x-0) = 1 + x\), soit \(y = x+1\). (C'est bien une pente de \(1\) : cohérent avec la définition de \(e\).)

3. Courbe et limites

Théorème — Limites de l'exponentielle \[\boxed{\lim_{x\to +\infty} e^x = +\infty}\qquad\qquad\boxed{\lim_{x\to -\infty} e^x = 0}\]

En \(-\infty\), la courbe se rapproche de l'axe des abscisses : la droite \(y=0\) est une asymptote horizontale.

Courbe de \(x\mapsto e^x\) : strictement croissante et convexe (« creusée vers le haut »), passant par \((0\,;1)\), au-dessus de l'axe des abscisses, avec l'asymptote \(y=0\) en \(-\infty\).

Fais varier l'abscisse et observe : la valeur \(e^x\) et la pente de la tangente sont toujours égales — c'est la signature de l'exponentielle.

Abscisse \(x_0\) :

II. Propriétés algébriques

Théorème — Règles de calcul

Pour tous réels \(a\) et \(b\), et tout entier \(n\) :

\[\boxed{e^{a+b} = e^a\, e^b}\qquad e^{-a} = \dfrac{1}{e^a}\qquad e^{a-b} = \dfrac{e^a}{e^b}\qquad \big(e^a\big)^n = e^{na}.\]

Ces règles sont celles des puissances : l'exponentielle transforme les sommes en produits.

Exemple — simplifier une expression

Simplifier \(A = \dfrac{e^{3x}\times e^{-x}}{e^{x}}\).

\[A = \dfrac{e^{3x + (-x)}}{e^x} = \dfrac{e^{2x}}{e^x} = e^{2x - x} = e^{x}.\]

Exercice d'application 3. Écrire sous la forme \(e^{kx}\) : (a) \(e^{5x}\times e^{-2x}\) ; (b) \(\dfrac{e^{4x}}{e^{x}}\) ; (c) \(\big(e^{2x}\big)^3\).

(a) \(e^{5x-2x}=e^{3x}\). (b) \(e^{4x-x}=e^{3x}\). (c) \(e^{2x\times 3}=e^{6x}\).

Attention — équation avec exponentielle

Comme \(x\mapsto e^x\) est strictement croissante, elle prend chaque valeur au plus une fois. Donc :

\[e^{A} = e^{B} \iff A = B.\]

Exemple : \(e^{2x} = e^{6} \iff 2x = 6 \iff x = 3\).

III. Dérivée de \(x\mapsto e^{kx}\)

Théorème — Dérivée de \(e^{kx}\)

Pour tout réel \(k\), la fonction \(x\mapsto e^{kx}\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et

\[\boxed{\,\big(e^{kx}\big)' = k\,e^{kx}.\,}\]

Justification

C'est une fonction du type \(f(ax+b)\) avec \(f=\exp\), \(a=k\), \(b=0\). La règle \(\big(f(ax+b)\big)'=a\,f'(ax+b)\) donne \(\big(e^{kx}\big)' = k\,e^{kx}\) puisque \(f'=\exp\). \(\qquad\blacksquare\)

Exemples

\(\big(e^{3x}\big)' = 3\,e^{3x}\).
\(\big(e^{-2x}\big)' = -2\,e^{-2x}\).
\(\big(5\,e^{-0{,}5t}\big)' = 5\times(-0{,}5)\,e^{-0{,}5t} = -2{,}5\,e^{-0{,}5t}\).

Propriété — Sens de variation de \(x\mapsto e^{kx}\)

Comme \(e^{kx}\gt 0\), le signe de la dérivée \(k\,e^{kx}\) est celui de \(k\) :

si \(k\gt 0\) : \(x\mapsto e^{kx}\) est croissante (croissance) ;
si \(k\lt 0\) : \(x\mapsto e^{kx}\) est décroissante (décroissance).

Décroissance exponentielle \(t\mapsto N_0\,e^{-kt}\) (\(k\gt 0\)) : elle part de \(N_0\) en \(t=0\) et décroît vers \(0\). Modèle du refroidissement, de la charge/décharge \(RC\) ou de la décroissance radioactive.

Exercice d'application 4. La tension aux bornes d'un condensateur en décharge vaut \(u(t) = 6\,e^{-0{,}2t}\) (volts, \(t\) en secondes). Calculer \(u'(t)\) et préciser le sens de variation.

\(u'(t) = 6\times(-0{,}2)\,e^{-0{,}2t} = -1{,}2\,e^{-0{,}2t}\). Comme \(e^{-0{,}2t}\gt 0\), on a \(u'(t)\lt 0\) : la tension est décroissante (la décharge diminue la tension). \(u(0)=6\) V.

IV. Variations de fonctions somme, produit, quotient

On combine la dérivée \(\big(e^{kx}\big)'=k\,e^{kx}\) avec les opérations de dérivation (somme, produit, quotient) vues en Première.

Méthode — Étudier les variations d'une fonction avec exponentielle

Calculer \(f'(x)\) en appliquant les règles \((uv)'=u'v+uv'\), \(\left(\tfrac uv\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\) et \(\big(e^{kx}\big)'=k\,e^{kx}\).
Factoriser par une exponentielle (toujours \(\gt 0\)) : le signe de \(f'\) se ramène à celui d'un polynôme.
Étudier le signe du facteur polynomial, puis dresser le tableau de variations.

Exemple — produit \(x\,e^x\)

Étudier les variations de \(f(x) = x\,e^{x}\) sur \(\mathbb{R}\). On pose \(u=x\) (\(u'=1\)) et \(v=e^x\) (\(v'=e^x\)) :

\[f'(x) = u'v + uv' = 1\cdot e^x + x\cdot e^x = (1+x)\,e^x.\]

Comme \(e^x\gt 0\), le signe de \(f'(x)\) est celui de \(1+x\). Ainsi \(f'(x)\lt 0\) pour \(x\lt -1\), \(f'(x)\gt 0\) pour \(x\gt -1\). Donc \(f\) décroît sur \(]{-}\infty\,;-1]\), croît sur \([-1\,;{+}\infty[\), avec un minimum en \(x=-1\) : \(f(-1) = -e^{-1} \approx -0{,}37\).

Tableau de variations de \(f(x)=x\,e^x\) : minimum \(-e^{-1}\) atteint en \(x=-1\).

Exemple — quotient

Dériver \(g(x) = \dfrac{e^{x}}{x}\) sur \(]0\,;{+}\infty[\). On pose \(u=e^x\), \(v=x\) :

\[g'(x) = \dfrac{u'v-uv'}{v^2} = \dfrac{e^x\cdot x - e^x\cdot 1}{x^2} = \dfrac{(x-1)\,e^x}{x^2}.\]

Sur \(]0\,;{+}\infty[\), \(e^x\gt 0\) et \(x^2\gt 0\) : le signe de \(g'\) est celui de \(x-1\). Donc \(g\) décroît sur \(]0\,;1]\), croît sur \([1\,;{+}\infty[\), minimum en \(x=1\) où \(g(1)=e\).

Exercice d'application 5. Étudier les variations de \(f(x) = (2-x)\,e^{x}\) sur \(\mathbb{R}\).

\(u=2-x\) (\(u'=-1\)), \(v=e^x\) (\(v'=e^x\)). \(f'(x) = -e^x + (2-x)e^x = (1-x)\,e^x\). Comme \(e^x\gt 0\), le signe de \(f'\) est celui de \(1-x\) : \(f'\gt 0\) pour \(x\lt 1\), \(f'\lt 0\) pour \(x\gt 1\). Donc \(f\) croît sur \(]{-}\infty\,;1]\), décroît sur \([1\,;{+}\infty[\), maximum en \(x=1\) : \(f(1)=(2-1)e^1=e\).

V. Limites et croissances comparées

Théorème — Croissances comparées

Pour tout entier naturel \(n\geqslant 1\) :

\[\boxed{\lim_{x\to +\infty}\dfrac{e^x}{x^n} = +\infty}\qquad\qquad\boxed{\lim_{x\to +\infty}x^n\,e^{-x} = 0.}\]

Autrement dit : en \(+\infty\), l'exponentielle « l'emporte » sur toute puissance de \(x\). Elle croît plus vite que n'importe quel polynôme, et \(e^{-x}\) écrase toute puissance de \(x\).

À retenir — l'exponentielle gagne toujours

Dans une forme indéterminée \(\dfrac{\infty}{\infty}\) ou \(\infty\times 0\) mêlant \(e^x\) et un polynôme, c'est l'exponentielle qui impose la limite. On étend sans formalisme ces résultats à \(\dfrac{e^{kx}}{x^n}\) et \(x^n e^{-kx}\) pour \(k\gt 0\).

Exemple — limite en \(+\infty\)

Déterminer \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\big(e^x - x^3\big)\).

On factorise par \(e^x\) : \(e^x - x^3 = e^x\left(1 - \dfrac{x^3}{e^x}\right)\). Par croissance comparée, \(\dfrac{x^3}{e^x}\to 0\), donc la parenthèse tend vers \(1\) et \(e^x\to +\infty\). Ainsi \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\big(e^x - x^3\big) = +\infty\).

Exemple — limite avec décroissance

\(\displaystyle\lim_{t\to +\infty} 100\,t\,e^{-t}\). D'après \(\lim_{t\to+\infty}t\,e^{-t}=0\) (croissance comparée, \(n=1\)), on obtient \(\displaystyle\lim_{t\to +\infty}100\,t\,e^{-t} = 0\).

Exercice d'application 6. Déterminer : (a) \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{e^x}{x^2}\) ; (b) \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty}e^{x}\) ; (c) \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}x^2 e^{-x}\).

(a) \(+\infty\) (croissance comparée, \(n=2\)). (b) \(0\) (limite de l'exponentielle en \(-\infty\)). (c) \(0\) (croissance comparée \(x^n e^{-x}\to 0\)).

Méthodes-types

Méthode 1 — Résoudre une équation \(e^{ax}=b\) (\(b\gt 0\))

Écrire \(b\) comme une exponentielle si possible, ou utiliser \(e^{A}=e^{B}\iff A=B\).
Isoler \(x\).

Exemple. \(e^{2x}=e^{6}\iff 2x=6\iff x=3\).

Méthode 2 — Dériver puis factoriser par une exponentielle

Appliquer les règles de dérivation (produit, quotient, \(\big(e^{kx}\big)'=k e^{kx}\)).
Mettre \(e^{kx}\) en facteur : comme \(e^{kx}\gt 0\), le signe de \(f'\) est celui du facteur restant.
Étudier ce facteur (souvent un polynôme) pour dresser le tableau de variations.

Erreurs fréquentes / points de vigilance

Les pièges du chapitre

❌ Écrire \(e^{a+b} = e^a + e^b\).

✅ \(e^{a+b} = e^a\times e^b\) : l'exponentielle change les sommes en produits.

❌ Oublier le facteur \(k\) : \(\big(e^{kx}\big)' = e^{kx}\).

✅ \(\big(e^{kx}\big)' = k\,e^{kx}\) — le \(k\) descend devant.

❌ Penser que \(e^x\) peut être négatif ou nul.

✅ \(e^x \gt 0\) pour tout réel \(x\) (la courbe est toujours au-dessus de l'axe).

❌ Croire qu'un polynôme peut « rattraper » l'exponentielle en \(+\infty\).

✅ \(\dfrac{e^x}{x^n}\to +\infty\) : l'exponentielle l'emporte toujours.

❌ Confondre les limites : \(\lim_{x\to -\infty} e^x = -\infty\).

✅ \(\lim_{x\to -\infty} e^x = 0\) et \(\lim_{x\to +\infty} e^x = +\infty\).

L'essentiel à retenir

À retenir :

Nombre \(e\) : \(e\approx 2{,}718\) ; \(e^0=1\), \(e^1=e\) ; \(e^x\gt 0\) pour tout \(x\).
Dérivées : \((e^x)' = e^x\) et \(\big(e^{kx}\big)' = k\,e^{kx}\).
Variations : \(x\mapsto e^x\) strictement croissante ; \(x\mapsto e^{kx}\) croît si \(k\gt 0\), décroît si \(k\lt 0\).
Algèbre : \(e^{a+b}=e^a e^b\), \(e^{-a}=\tfrac1{e^a}\), \(\big(e^a\big)^n=e^{na}\), et \(e^A=e^B\iff A=B\).
Limites : \(\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty\), \(\lim_{x\to-\infty}e^x=0\) (asymptote \(y=0\)).
Croissances comparées : \(\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x^n}=+\infty\) et \(\lim_{x\to+\infty}x^n e^{-x}=0\).