← Retour au sommaire
Fiche – Fonction exponentielle de base e
Chapitre 11 | Terminale STI2D — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
L'essentiel :
- Le nombre \(e\approx 2{,}718\) définit la fonction \(x\mapsto e^x\), strictement positive et croissante sur \(\mathbb{R}\).
- Propriété unique : \((e^x)'=e^x\) — l'exponentielle est égale à sa propre dérivée.
- L'exponentielle change les sommes en produits : \(e^{a+b}=e^a e^b\).
- En \(+\infty\), l'exponentielle l'emporte sur tout polynôme (croissances comparées).
Définitions clés
Nombre \(e\)
\(e\approx 2{,}718\) : unique base \(a\) pour laquelle \(x\mapsto a^x\) a en \(0\) une tangente de pente \(1\). \(e^0=1\), \(e^1=e\).
Fonction exponentielle
\(x\mapsto e^x\), définie sur \(\mathbb{R}\), avec \(e^x\gt 0\) pour tout \(x\). Strictement croissante.
À connaître par cœur
Dérivées
\[(e^x)' = e^x \qquad\qquad \big(e^{kx}\big)' = k\,e^{kx}\]
Propriétés algébriques
\[e^{a+b} = e^a\,e^b \qquad e^{-a} = \dfrac{1}{e^a} \qquad e^{a-b} = \dfrac{e^a}{e^b} \qquad \big(e^a\big)^n = e^{na}\]
\[e^{A} = e^{B} \iff A = B\]
Limites
\[\lim_{x\to +\infty} e^x = +\infty \qquad\qquad \lim_{x\to -\infty} e^x = 0\ \text{(asymptote } y=0)\]
Croissances comparées (en \(+\infty\))
\[\lim_{x\to +\infty}\dfrac{e^x}{x^n} = +\infty \qquad\qquad \lim_{x\to +\infty} x^n\,e^{-x} = 0\]
Sens de variation de \(x\mapsto e^{kx}\)
- \(k\gt 0\) \(\Rightarrow\) croissante (croissance).
- \(k\lt 0\) \(\Rightarrow\) décroissante (décroissance, ex. \(e^{-kt}\)).
Méthodes
Méthode — Étudier les variations
- Dériver (produit, quotient, \((e^{kx})'=k e^{kx}\)).
- Factoriser par une exponentielle (toujours \(\gt 0\)).
- Le signe de \(f'\) est celui du facteur restant (souvent un polynôme).
Méthode — Lever une indétermination avec \(e^x\)
- Factoriser par \(e^x\) (ou \(e^{kx}\)).
- Utiliser une croissance comparée : \(\dfrac{x^n}{e^x}\to 0\).
- Conclure : l'exponentielle impose la limite.
Erreurs fréquentes
Attention
❌ \(e^{a+b} = e^a + e^b\).
✅ \(e^{a+b} = e^a\times e^b\).
❌ \(\big(e^{kx}\big)' = e^{kx}\).
✅ \(\big(e^{kx}\big)' = k\,e^{kx}\) (le \(k\) descend).
❌ \(\lim_{x\to -\infty} e^x = -\infty\).
✅ \(\lim_{x\to -\infty} e^x = 0\).
❌ Croire qu'un polynôme rattrape \(e^x\) en \(+\infty\).
✅ \(\dfrac{e^x}{x^n}\to +\infty\) : l'exponentielle gagne.
Exemple rapide
Exemple — étude express
\(f(x) = x\,e^{x}\). \(f'(x) = (1+x)\,e^x\) (signe de \(1+x\) car \(e^x\gt 0\)).
- \(f\) décroît sur \(]{-}\infty\,;-1]\), croît sur \([-1\,;{+}\infty[\).
- Minimum en \(x=-1\) : \(f(-1)=-e^{-1}\approx -0{,}37\).
- \(\lim_{x\to +\infty} x\,e^x = +\infty\) ; \(\lim_{x\to -\infty} x\,e^x = 0\).