Exercices – Chapitre 12 – Trigonométrie et fonctions circulaires

Chapitre 12 | Première STL — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Rappels utiles : \(180°=\pi\) rad ; \(M(\cos x\,;\sin x)\) ; \(\cos^2 x+\sin^2 x=1\) ; angles associés \(-x,\ \pi-x,\ \pi+x,\ \tfrac{\pi}{2}-x,\ \tfrac{\pi}{2}+x\) ; grandeur sinusoïdale \(A\cos(\omega t+\varphi)\) avec \(T=\tfrac{2\pi}{\omega}\), \(f_0=\tfrac{\omega}{2\pi}\).

Exercice 1 — Conversions degrés ↔ radians

1. Convertir en radians : \(60°\), \(150°\), \(225°\), \(330°\).

2. Convertir en degrés : \(\dfrac{\pi}{3}\), \(\dfrac{3\pi}{4}\), \(\dfrac{7\pi}{6}\), \(\dfrac{5\pi}{3}\).

1. \(60°=\dfrac{60\pi}{180}=\dfrac{\pi}{3}\) ; \(150°=\dfrac{150\pi}{180}=\dfrac{5\pi}{6}\) ; \(225°=\dfrac{225\pi}{180}=\dfrac{5\pi}{4}\) ; \(330°=\dfrac{330\pi}{180}=\dfrac{11\pi}{6}\).

2. \(\dfrac{\pi}{3}=60°\) ; \(\dfrac{3\pi}{4}=135°\) ; \(\dfrac{7\pi}{6}=210°\) ; \(\dfrac{5\pi}{3}=300°\).

Exercice 2 — Valeurs remarquables

Donner sans calculatrice les valeurs exactes :

\(\cos\dfrac{\pi}{6}\), \(\sin\dfrac{\pi}{4}\), \(\cos\dfrac{\pi}{3}\), \(\sin\dfrac{\pi}{2}\), \(\cos\pi\), \(\sin\dfrac{\pi}{6}\), \(\cos\dfrac{\pi}{4}\), \(\sin\dfrac{\pi}{3}\).

\(\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{2}\) ; \(\sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt2}{2}\) ; \(\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac12\) ; \(\sin\dfrac{\pi}{2}=1\) ; \(\cos\pi=-1\) ; \(\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac12\) ; \(\cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt2}{2}\) ; \(\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt3}{2}\).

Exercice 3 — Mesure principale

Déterminer la mesure principale (dans \(\left]-\pi\,;\pi\right]\)) de chacun des angles :

1. \(\dfrac{15\pi}{4}\) 2. \(\dfrac{25\pi}{6}\) 3. \(-\dfrac{11\pi}{3}\)

1. \(\dfrac{15\pi}{4}-2\pi=\dfrac{15\pi}{4}-\dfrac{8\pi}{4}=\dfrac{7\pi}{4}\), puis \(\dfrac{7\pi}{4}-2\pi=-\dfrac{\pi}{4}\in\left]-\pi\,;\pi\right]\). Mesure principale : \(-\dfrac{\pi}{4}\).

2. \(\dfrac{25\pi}{6}-2\pi=\dfrac{25\pi}{6}-\dfrac{12\pi}{6}=\dfrac{13\pi}{6}\), puis \(\dfrac{13\pi}{6}-2\pi=\dfrac{\pi}{6}\in\left]-\pi\,;\pi\right]\). Mesure principale : \(\dfrac{\pi}{6}\).

3. \(-\dfrac{11\pi}{3}+2\pi=-\dfrac{11\pi}{3}+\dfrac{6\pi}{3}=-\dfrac{5\pi}{3}\), puis \(-\dfrac{5\pi}{3}+2\pi=\dfrac{\pi}{3}\in\left]-\pi\,;\pi\right]\). Mesure principale : \(\dfrac{\pi}{3}\).

Exercice 4 — Identité fondamentale

1. On donne \(\cos x=\dfrac{5}{13}\) avec \(x\) dans le premier quadrant. Calculer \(\sin x\).

2. On donne \(\sin x=\dfrac{2}{3}\) avec \(x\in\left]\dfrac{\pi}{2}\,;\pi\right[\) (deuxième quadrant). Calculer \(\cos x\).

1. \(\sin^2 x=1-\dfrac{25}{169}=\dfrac{144}{169}\), donc \(\sin x=\dfrac{12}{13}\) (positif au premier quadrant).

2. \(\cos^2 x=1-\dfrac49=\dfrac59\), donc \(\cos x=-\dfrac{\sqrt5}{3}\) (négatif au deuxième quadrant).

Exercice 5 — Angles associés

Calculer sans calculatrice, en utilisant les angles associés :

1. \(\cos\dfrac{2\pi}{3}\) 2. \(\sin\dfrac{5\pi}{6}\) 3. \(\cos\dfrac{5\pi}{4}\) 4. \(\sin\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\) 5. \(\cos\dfrac{7\pi}{6}\)

1. \(\cos\dfrac{2\pi}{3}=\cos\!\left(\pi-\dfrac{\pi}{3}\right)=-\cos\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac12\).

2. \(\sin\dfrac{5\pi}{6}=\sin\!\left(\pi-\dfrac{\pi}{6}\right)=\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac12\).

3. \(\cos\dfrac{5\pi}{4}=\cos\!\left(\pi+\dfrac{\pi}{4}\right)=-\cos\dfrac{\pi}{4}=-\dfrac{\sqrt2}{2}\).

4. \(\sin\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=-\sin\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac{\sqrt3}{2}\).

5. \(\cos\dfrac{7\pi}{6}=\cos\!\left(\pi+\dfrac{\pi}{6}\right)=-\cos\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac{\sqrt3}{2}\).

Exercice 6 — Angles complémentaires \(\tfrac{\pi}{2}\pm x\)

On donne \(\cos x=\dfrac{3}{5}\) et \(\sin x=\dfrac{4}{5}\) (avec \(x\) dans le premier quadrant). À l'aide des relations d'angles associés, exprimer puis calculer :

1. \(\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)\) 2. \(\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)\) 3. \(\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)\) 4. \(\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)\)

1. \(\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin x=\dfrac45\).

2. \(\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\cos x=\dfrac35\).

3. \(\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x=-\dfrac45\).

4. \(\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=\cos x=\dfrac35\).

Exercice 7 — Équations trigonométriques

Résoudre dans \([0\,;2\pi[\) :

1. \(\cos x=\dfrac12\) 2. \(\sin x=\dfrac{\sqrt3}{2}\) 3. \(\cos x=-\dfrac{\sqrt2}{2}\) 4. \(\sin x=-\dfrac12\)

1. \(\cos x=\dfrac12\) : solution évidente \(\dfrac{\pi}{3}\), seconde \(-\dfrac{\pi}{3}\equiv\dfrac{5\pi}{3}\). \(S=\left\{\dfrac{\pi}{3}\,;\dfrac{5\pi}{3}\right\}\).

2. \(\sin x=\dfrac{\sqrt3}{2}\) : solution évidente \(\dfrac{\pi}{3}\), seconde \(\pi-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{2\pi}{3}\). \(S=\left\{\dfrac{\pi}{3}\,;\dfrac{2\pi}{3}\right\}\).

3. \(\cos x=-\dfrac{\sqrt2}{2}\) : une solution est \(\dfrac{3\pi}{4}\) (car \(\cos\dfrac{3\pi}{4}=-\dfrac{\sqrt2}{2}\)), l'autre \(-\dfrac{3\pi}{4}\equiv\dfrac{5\pi}{4}\). \(S=\left\{\dfrac{3\pi}{4}\,;\dfrac{5\pi}{4}\right\}\).

4. \(\sin x=-\dfrac12\) : une solution est \(-\dfrac{\pi}{6}\equiv\dfrac{11\pi}{6}\), l'autre \(\pi-\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{7\pi}{6}\). \(S=\left\{\dfrac{7\pi}{6}\,;\dfrac{11\pi}{6}\right\}\).

Exercice 8 — Lecture d'une grandeur sinusoïdale (physique)

Une tension alternative est donnée par \(u(t)=230\sqrt2\,\cos\!\left(100\pi\,t-\dfrac{\pi}{4}\right)\), \(u\) en volts et \(t\) en secondes.

1. Donner l'amplitude \(A\), la pulsation \(\omega\) et la phase à l'origine \(\varphi\).

2. Calculer la période \(T\) et la fréquence \(f_0\).

3. Que vaut \(u\) à l'instant \(t=0\) ? (valeur exacte puis arrondi au volt)

1. \(A=230\sqrt2\approx325\) V ; \(\omega=100\pi\) rad·s\(^{-1}\) ; \(\varphi=-\dfrac{\pi}{4}\) rad.

2. \(T=\dfrac{2\pi}{\omega}=\dfrac{2\pi}{100\pi}=\dfrac{1}{50}=0{,}02\) s ; \(f_0=\dfrac{1}{T}=50\) Hz.

3. \(u(0)=230\sqrt2\,\cos\!\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=230\sqrt2\times\dfrac{\sqrt2}{2}=230\times\dfrac{2}{2}=230\) V (exactement).

Problème type — Oscillation d'un point mobile

La position (en cm) d'un point \(M\) attaché à un ressort qui oscille est modélisée par \[x(t)=4\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}\,t\right),\qquad t\ \text{en secondes}.\]

1. Donner l'amplitude, la pulsation, la période et la fréquence du mouvement.

2. Calculer la position à \(t=0\), \(t=1\) s et \(t=2\) s.

3. À quels instants de l'intervalle \([0\,;4]\) (en s) le point passe-t-il par la position d'équilibre \(x=0\) ?

4. À quels instants de \([0\,;4]\) l'élongation vaut-elle \(x=2\) cm ?

1. Amplitude \(A=4\) cm ; pulsation \(\omega=\dfrac{\pi}{2}\) rad·s\(^{-1}\) ; période \(T=\dfrac{2\pi}{\pi/2}=4\) s ; fréquence \(f_0=\dfrac{1}{T}=0{,}25\) Hz.

2. \(x(0)=4\cos 0=4\) cm ; \(x(1)=4\cos\dfrac{\pi}{2}=0\) cm ; \(x(2)=4\cos\pi=-4\) cm.

3. \(x=0\iff\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}t\right)=0\iff\dfrac{\pi}{2}t=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\iff t=1+2k\). Sur \([0\,;4]\) : \(t=1\) s et \(t=3\) s.

4. \(x=2\iff\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}t\right)=\dfrac12\iff\dfrac{\pi}{2}t=\pm\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\iff t=\pm\dfrac23+4k\). Sur \([0\,;4]\) : \(t=\dfrac23\) s (≈0,67 s) et \(t=4-\dfrac23=\dfrac{10}{3}\) s (≈3,33 s).