Devoir Surveillé – Chapitre 12 – Trigonométrie et fonctions circulaires

Chapitre 12 | Première STL — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Nom : Prénom : Classe : Date : Note : / 20

🕑 Durée : 1 heure

🧮 Calculatrice : autorisée

✍ Barème : 20 points

📄 Documents : non autorisés

Rappels : \(180°=\pi\) rad ; \(M(\cos x\,;\sin x)\) ; \(\cos^2 x+\sin^2 x=1\) ; \(\cos(-x)=\cos x\), \(\sin(-x)=-\sin x\), \(\cos(\pi-x)=-\cos x\), \(\sin(\pi-x)=\sin x\), \(\cos(\pi+x)=-\cos x\), \(\sin(\pi+x)=-\sin x\), \(\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin x\), \(\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}-x\right)=\cos x\) ; grandeur sinusoïdale \(A\cos(\omega t+\varphi)\), \(T=\tfrac{2\pi}{\omega}\), \(f_0=\tfrac{\omega}{2\pi}\).

Exercice 1 — Radian, valeurs remarquables et angles associés (7 points)

1. Convertir \(135°\) et \(300°\) en radians. (2 pts)

2. Convertir \(\dfrac{5\pi}{6}\) et \(\dfrac{4\pi}{3}\) en degrés. (2 pts)

3. Donner sans calculatrice \(\cos\dfrac{\pi}{3}\), \(\sin\dfrac{\pi}{4}\), \(\cos\pi\). (1,5 pt)

4. Calculer \(\cos\dfrac{2\pi}{3}\) et \(\sin\dfrac{7\pi}{6}\) à l'aide des angles associés. (1,5 pt)

1. \(135°=\dfrac{135\pi}{180}=\dfrac{3\pi}{4}\) ; \(300°=\dfrac{300\pi}{180}=\dfrac{5\pi}{3}\). (1+1)

2. \(\dfrac{5\pi}{6}=150°\) ; \(\dfrac{4\pi}{3}=240°\). (1+1)

3. \(\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac12\) ; \(\sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt2}{2}\) ; \(\cos\pi=-1\). (0,5×3)

4. \(\cos\dfrac{2\pi}{3}=\cos\!\left(\pi-\dfrac{\pi}{3}\right)=-\cos\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac12\). \(\sin\dfrac{7\pi}{6}=\sin\!\left(\pi+\dfrac{\pi}{6}\right)=-\sin\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac12\). (0,75×2)

Exercice 2 — Identité fondamentale, angles associés et équation (6 points)

1. On donne \(\sin x=\dfrac{3}{5}\) avec \(x\) dans le premier quadrant. Calculer \(\cos x\). (2 pts)

2. En déduire \(\cos(-x)\), \(\sin(\pi-x)\) et \(\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)\). (2 pts)

3. Résoudre dans \([0\,;2\pi[\) l'équation \(\sin x=\dfrac{\sqrt2}{2}\). (2 pts)

1. \(\cos^2 x=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}\), donc \(\cos x=\dfrac45\) (positif au premier quadrant). (2)

2. \(\cos(-x)=\cos x=\dfrac45\) ; \(\sin(\pi-x)=\sin x=\dfrac35\) ; \(\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin x=\dfrac35\). (0,5+0,75+0,75)

3. Solution évidente \(x_0=\dfrac{\pi}{4}\), seconde \(\pi-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{3\pi}{4}\). \(S=\left\{\dfrac{\pi}{4}\,;\dfrac{3\pi}{4}\right\}\). (1+1)

Exercice 3 — Grandeur sinusoïdale (physique) (7 points)

L'intensité d'un courant alternatif est modélisée par \[i(t)=6\cos\!\left(100\pi\,t+\dfrac{\pi}{3}\right),\qquad i\ \text{en A},\ t\ \text{en s}.\]

1. Donner l'amplitude \(A\), la pulsation \(\omega\) et la phase à l'origine \(\varphi\). (1,5 pt)

2. Calculer la période \(T\) et la fréquence \(f_0\). (2 pts)

3. Calculer la valeur exacte de \(i(0)\). (1,5 pt)

4. Entre quelles valeurs l'intensité \(i(t)\) varie-t-elle au cours du temps ? (1 pt)

5. La fonction \(t\mapsto\cos(\omega t)\) est-elle paire ou impaire ? Justifier. (1 pt)

1. \(A=6\) A ; \(\omega=100\pi\) rad·s\(^{-1}\) ; \(\varphi=\dfrac{\pi}{3}\) rad. (0,5×3)

2. \(T=\dfrac{2\pi}{\omega}=\dfrac{2\pi}{100\pi}=\dfrac{1}{50}=0{,}02\) s ; \(f_0=\dfrac{1}{T}=50\) Hz. (1+1)

3. \(i(0)=6\cos\dfrac{\pi}{3}=6\times\dfrac12=3\) A. (1,5)

4. Comme \(-1\le\cos\le1\), l'intensité varie entre \(-6\) A et \(6\) A. (1)

5. \(\cos(-\omega t)=\cos(\omega t)\) : la fonction est paire (le cosinus est pair). (1)