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Fiche – Trigonométrie et fonctions circulaires
Chapitre 12 | Première STL — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
L'essentiel :
- Radian : longueur d'arc sur le cercle de rayon \(1\) ; \(180° = \pi\) rad.
- Angle orienté : mesures \(x + 2k\pi\) ; mesure principale dans \(\left]-\pi\,;\pi\right]\).
- \(M(\cos x\,;\sin x)\) : \(\cos\) = abscisse, \(\sin\) = ordonnée.
- Identité : \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\), avec \(-1\le\cos x\le 1\) et \(-1\le\sin x\le 1\).
- Grandeur sinusoïdale : \(A\cos(\omega t+\varphi)\) — amplitude \(A\), pulsation \(\omega\), période \(T=\tfrac{2\pi}{\omega}\).
Définitions clés
Définition
Cercle trigonométrique : cercle de centre \(O\), de rayon \(1\), orienté dans le sens direct (antihoraire). Radian : unité telle que l'angle au centre mesure la longueur de l'arc intercepté sur ce cercle.
Définition
Mesure principale : unique mesure de l'angle orienté \((\vec{OI},\vec{OM})\) appartenant à \(\left]-\pi\,;\pi\right]\). On l'obtient en ajoutant ou retranchant des tours complets \(2\pi\).
Définition
Cosinus et sinus d'un réel \(x\) : coordonnées de l'image \(M\) de \(x\) sur le cercle. \(\cos x\) est l'abscisse, \(\sin x\) l'ordonnée.
Définition
Grandeur sinusoïdale : fonction \(t\mapsto A\cos(\omega t+\varphi)\) (\(A\gt0\), \(\omega\gt0\)), modèle des tensions, courants et oscillations. \(A\) : amplitude ; \(\omega\) : pulsation ; \(\varphi\) : phase à l'origine ; \((\omega t+\varphi)\) : phase instantanée.
À connaître par cœur
Conversion degrés ↔ radians
\[\dfrac{\text{mesure en degrés}}{180} = \dfrac{\text{mesure en radians}}{\pi}\]
Identité fondamentale et encadrements
\[\cos^2 x + \sin^2 x = 1\]
\[-1 \le \cos x \le 1 \qquad -1 \le \sin x \le 1\]
Périodicité et parité
\[\cos(x + 2k\pi) = \cos x \qquad \sin(x + 2k\pi) = \sin x \quad (k\in\mathbb{Z})\]
\[\cos(-x) = \cos x \ \text{(paire)} \qquad \sin(-x) = -\sin x \ \text{(impaire)}\]
Grandeur sinusoïdale \(A\cos(\omega t+\varphi)\)
\[T = \dfrac{2\pi}{\omega} \qquad f_0 = \dfrac{1}{T} = \dfrac{\omega}{2\pi} \qquad \omega = 2\pi f_0\]
Valeurs remarquables
| \(x\) | \(0\) | \(\tfrac{\pi}{6}\) | \(\tfrac{\pi}{4}\) | \(\tfrac{\pi}{3}\) | \(\tfrac{\pi}{2}\) | \(\pi\) |
|---|
| \(\cos x\) | \(1\) | \(\tfrac{\sqrt3}{2}\) | \(\tfrac{\sqrt2}{2}\) | \(\tfrac12\) | \(0\) | \(-1\) |
|---|
| \(\sin x\) | \(0\) | \(\tfrac12\) | \(\tfrac{\sqrt2}{2}\) | \(\tfrac{\sqrt3}{2}\) | \(1\) | \(0\) |
|---|
Angles associés
- \(\cos(-x) = \cos x\) ; \(\sin(-x) = -\sin x\) (symétrie / axe des abscisses).
- \(\cos(\pi - x) = -\cos x\) ; \(\sin(\pi - x) = \sin x\) (symétrie / axe des ordonnées).
- \(\cos(\pi + x) = -\cos x\) ; \(\sin(\pi + x) = -\sin x\) (symétrie / origine).
- \(\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2} - x\right) = \sin x\) ; \(\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2} - x\right) = \cos x\) (1ʳᵉ bissectrice).
- \(\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2} + x\right) = -\sin x\) ; \(\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2} + x\right) = \cos x\) (quart de tour direct).
Fonctions sinus et cosinus
- Définies sur \(\mathbb{R}\), périodiques de période \(2\pi\), oscillent entre \(-1\) et \(1\).
- \(\cos\) est paire (courbe symétrique / axe des ordonnées) ; \(\sin\) est impaire (courbe symétrique / origine).
- Sur \([0\,;\pi]\), \(\cos\) est décroissante de \(1\) à \(-1\). Sur \(\left[-\tfrac{\pi}{2}\,;\tfrac{\pi}{2}\right]\), \(\sin\) est croissante de \(-1\) à \(1\).
Méthode — Calculs, équations, grandeurs sinusoïdales
Méthode — Calculer un \(\cos\) ou \(\sin\) hors du premier quadrant
- Réduire modulo \(2\pi\) si besoin (mesure principale).
- Écrire l'angle sous la forme \(\pm x + k\pi\) ou \(\tfrac{\pi}{2}\pm x\), avec \(x\) remarquable.
- Appliquer la formule d'angle associé, puis la valeur remarquable.
Méthode — Résoudre \(\cos x = a\) ou \(\sin x = a\)
- Si \(a\lt -1\) ou \(a\gt 1\) : aucune solution.
- Trouver une solution évidente \(x_0\) (valeur remarquable).
- \(\cos x = a\) : seconde solution \(-x_0\). \(\sin x = a\) : seconde solution \(\pi - x_0\).
- Ajouter \(2k\pi\) pour toutes les solutions, ou restreindre à l'intervalle demandé.
Méthode — Lire les paramètres d'une grandeur sinusoïdale
À partir de \(u(t)=A\cos(\omega t+\varphi)\), on lit directement l'amplitude \(A\), la pulsation \(\omega\) et la phase à l'origine \(\varphi\), puis on calcule la période \(T=\dfrac{2\pi}{\omega}\) et la fréquence \(f_0=\dfrac{\omega}{2\pi}=\dfrac{1}{T}\).
Erreurs fréquentes
Attention
❌ Confondre degrés et radians.
✅ En analyse et en physique, on travaille en radians ; \(180°=\pi\) rad. Vérifier le mode de la calculatrice.
❌ Confondre \(\cos\) (abscisse) et \(\sin\) (ordonnée).
✅ \(M(\cos x\,;\sin x)\).
❌ Écrire \(\cos^2 x = \cos(x^2)\).
✅ \(\cos^2 x = (\cos x)^2\).
❌ Confondre pulsation \(\omega\), fréquence \(f_0\) et période \(T\).
✅ \(\omega=2\pi f_0\) et \(T=\dfrac{2\pi}{\omega}=\dfrac{1}{f_0}\).
Exemple rapide
Exemple — un angle, une équation, une grandeur sinusoïdale
Soit \(x = \dfrac{2\pi}{3} = \pi - \dfrac{\pi}{3}\).
- \(\cos\tfrac{2\pi}{3} = -\cos\tfrac{\pi}{3} = -\dfrac12\) ; \(\sin\tfrac{2\pi}{3} = \sin\tfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt3}{2}\).
- Vérification : \(\left(-\dfrac12\right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt3}{2}\right)^2 = \dfrac14 + \dfrac34 = 1\). ✓
- Équation \(\cos t = -\dfrac12\) sur \([0\,;2\pi[\) : \(\left\{\dfrac{2\pi}{3}\,;\dfrac{4\pi}{3}\right\}\).
- Tension \(u(t)=325\cos(100\pi\,t)\) : \(A=325\) V, \(\omega=100\pi\) rad·s\(^{-1}\), \(T=\dfrac{2\pi}{100\pi}=0{,}02\) s, \(f_0=50\) Hz.