Chapitre 12 – Trigonométrie et fonctions circulaires

Chapitre 12 | Première STL — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

⏱ Durée de lecture estimée : ~20 min

Illustration : Deux élèves comparent un cercle avec un rayon et sa projection à une courbe sinusoïdale. — Relier un point du cercle trigonométrique à une valeur du sinus.

Objectifs du chapitre

Connaître le cercle trigonométrique et le radian ; convertir des degrés en radians et réciproquement
Comprendre la notion de mesure d'un angle orienté et déterminer sa mesure principale
Connaître les valeurs remarquables de \(\cos\) et \(\sin\) en \(0,\ \tfrac{\pi}{6},\ \tfrac{\pi}{4},\ \tfrac{\pi}{3},\ \tfrac{\pi}{2},\ \pi\)
Étudier les fonctions circulaires sinus et cosinus : périodicité, parité, variations, courbes représentatives
Résoudre, par lecture sur le cercle, des équations \(\cos x = a\) et \(\sin x = a\)
Connaître et utiliser les angles associés \(-x,\ \pi-x,\ \pi+x,\ \tfrac{\pi}{2}-x,\ \tfrac{\pi}{2}+x\) et justifier les symétries des courbes
Reconnaître et exploiter une grandeur sinusoïdale \(t\mapsto A\cos(\omega t+\varphi)\) ou \(t\mapsto A\sin(\omega t+\varphi)\) : amplitude, période, phase à l'origine

Ce chapitre introduit la mesure des angles en radians, le cercle trigonométrique et les fonctions circulaires sinus et cosinus d'une variable réelle. Il aboutit à l'étude des fonctions \(t\mapsto A\cos(\omega t+\varphi)\), modèles des grandeurs sinusoïdales omniprésentes en physique et en biotechnologies : tensions et courants alternatifs, ondes mécaniques et sonores, oscillations. Prérequis : trigonométrie du triangle rectangle, repère orthonormé du plan, fonctions et représentations graphiques.

I. Cercle trigonométrique et radian

Définition — Cercle trigonométrique

Le plan étant muni d'un repère orthonormé \((O\,;\vec{\imath},\vec{\jmath})\), le cercle trigonométrique est le cercle de centre \(O\) et de rayon \(1\), orienté dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d'une montre, dit sens trigonométrique ou sens positif).

Définition — Radian

Le radian (rad) est l'unité d'angle telle qu'un angle au centre intercepte, sur le cercle de rayon \(1\), un arc de longueur égale à la mesure de l'angle. Ainsi, la mesure en radians d'un angle est la longueur de l'arc qu'il intercepte sur le cercle trigonométrique.

Déplace le point \(M\) (en rouge) sur le cercle : l'angle orienté \(\theta\), l'arc parcouru et les coordonnées de \(M\) se mettent à jour en temps réel.

Cercle trigonométrique : l'abscisse de \(M\) est \(\cos\theta\), son ordonnée \(\sin\theta\). L'angle est mesuré depuis le point \(I(1\,;0)\), dans le sens direct.

Propriété — Conversion degrés ↔ radians

Le tour complet (\(360°\)) correspond à la circonférence \(2\pi\). La conversion est proportionnelle :

\[\dfrac{\text{mesure en degrés}}{180} = \dfrac{\text{mesure en radians}}{\pi}.\]

Pour passer des degrés aux radians, on multiplie par \(\dfrac{\pi}{180}\) ; pour passer des radians aux degrés, on multiplie par \(\dfrac{180}{\pi}\).

Degrés	\(0°\)	\(30°\)	\(45°\)	\(60°\)	\(90°\)	\(180°\)	\(360°\)
Radians	\(0\)	\(\dfrac{\pi}{6}\)	\(\dfrac{\pi}{4}\)	\(\dfrac{\pi}{3}\)	\(\dfrac{\pi}{2}\)	\(\pi\)	\(2\pi\)

Méthode — Convertir un angle

Exemple. \(135° = 135\times\dfrac{\pi}{180} = \dfrac{135\pi}{180} = \dfrac{3\pi}{4}\) rad. Inversement, \(\dfrac{5\pi}{6}\) rad \(= \dfrac{5\pi}{6}\times\dfrac{180}{\pi} = \dfrac{5\times180}{6} = 150°\).

Exercice d'application 1. Convertir \(210°\) en radians, puis \(\dfrac{\pi}{5}\) rad en degrés.

\(210° = \dfrac{210\pi}{180} = \dfrac{7\pi}{6}\) rad. Et \(\dfrac{\pi}{5}\) rad \(= \dfrac{\pi}{5}\times\dfrac{180}{\pi} = \dfrac{180}{5} = 36°\).

II. Mesures d'un angle orienté, mesure principale

Définition — Image d'un réel, angle orienté

À tout réel \(x\) on associe un unique point \(M\) du cercle trigonométrique, obtenu en parcourant depuis \(I(1\,;0)\) un arc de longueur \(|x|\) (dans le sens direct si \(x \gt 0\), indirect si \(x \lt 0\)). Le réel \(x\) est alors une mesure en radians de l'angle orienté \((\vec{OI},\vec{OM})\).

Propriété — Mesures d'un angle orienté

Comme la circonférence vaut \(2\pi\), un même point \(M\) est atteint par une infinité de réels : si \(x\) est une mesure de l'angle \((\vec{OI},\vec{OM})\), alors toutes les mesures sont les réels

\[x + 2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.\]

On note cette relation \(x\ [2\pi]\) (« \(x\) modulo \(2\pi\) »).

Définition — Mesure principale

La mesure principale d'un angle orienté est l'unique mesure appartenant à l'intervalle \(\left]-\pi\,;\pi\right]\).

Méthode — Trouver la mesure principale

Ajouter ou retrancher des tours complets \(2\pi\) à la mesure donnée.
S'arrêter dès que le résultat appartient à \(\left]-\pi\,;\pi\right]\).

Exemple résolu. Mesure principale de \(\dfrac{17\pi}{4}\). On retranche \(2\pi=\dfrac{8\pi}{4}\) : \(\dfrac{17\pi}{4}-\dfrac{8\pi}{4}=\dfrac{9\pi}{4}\), encore trop grand. On retranche encore \(2\pi\) : \(\dfrac{9\pi}{4}-\dfrac{8\pi}{4}=\dfrac{\pi}{4}\). Or \(\dfrac{\pi}{4}\in\left]-\pi\,;\pi\right]\) : la mesure principale est \(\dfrac{\pi}{4}\).

Exercice d'application 2. Déterminer la mesure principale de \(\dfrac{13\pi}{6}\) puis de \(-\dfrac{9\pi}{4}\).

\(\dfrac{13\pi}{6}-2\pi=\dfrac{13\pi}{6}-\dfrac{12\pi}{6}=\dfrac{\pi}{6}\in\left]-\pi\,;\pi\right]\) : mesure principale \(\dfrac{\pi}{6}\).

\(-\dfrac{9\pi}{4}+2\pi=-\dfrac{9\pi}{4}+\dfrac{8\pi}{4}=-\dfrac{\pi}{4}\in\left]-\pi\,;\pi\right]\) : mesure principale \(-\dfrac{\pi}{4}\).

III. Cosinus et sinus d'un réel

Définition — Cosinus et sinus

Soit \(x\) un réel et \(M\) son image sur le cercle trigonométrique. Le cosinus et le sinus de \(x\) sont les coordonnées de \(M\) dans le repère \((O\,;\vec{\imath},\vec{\jmath})\) :

\[M\,\big(\cos x\,;\,\sin x\big).\]

\(\cos x\) est l'abscisse de \(M\), \(\sin x\) son ordonnée. (On peut le vérifier sur le cercle interactif de la partie I en déplaçant \(M\).)

Propriété — Encadrement, identité fondamentale, périodicité

Pour tout réel \(x\) :

\[-1 \le \cos x \le 1,\qquad -1 \le \sin x \le 1,\qquad \boxed{\ \cos^2 x + \sin^2 x = 1.\ }\]

L'égalité encadrée vient de \(OM=1\) (théorème de Pythagore : \(OM^2=\cos^2 x+\sin^2 x=1\)). De plus \(\cos(x+2\pi)=\cos x\) et \(\sin(x+2\pi)=\sin x\).

Attention

La notation \(\cos^2 x\) signifie \((\cos x)^2\), le carré du nombre \(\cos x\). À ne pas confondre avec \(\cos(x^2)\), cosinus de \(x^2\).

Exercice d'application 3. Sachant que \(\cos x = \dfrac{4}{5}\) et que \(x\) est dans le premier quadrant, calculer \(\sin x\).

\(\sin^2 x = 1 - \dfrac{16}{25} = \dfrac{9}{25}\), donc \(\sin x = \dfrac{3}{5}\) (positif dans le premier quadrant).

IV. Valeurs remarquables

Théorème — Valeurs remarquables

\(x\)	\(0\)	\(\dfrac{\pi}{6}\)	\(\dfrac{\pi}{4}\)	\(\dfrac{\pi}{3}\)	\(\dfrac{\pi}{2}\)	\(\pi\)
\(\cos x\)	\(1\)	\(\dfrac{\sqrt3}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt2}{2}\)	\(\dfrac12\)	\(0\)	\(-1\)
\(\sin x\)	\(0\)	\(\dfrac12\)	\(\dfrac{\sqrt2}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt3}{2}\)	\(1\)	\(0\)

Démonstration — Valeurs en \(\tfrac{\pi}{4}\)

L'image de \(\tfrac{\pi}{4}\) (\(45°\)) est sur la bissectrice du premier quadrant : son abscisse et son ordonnée sont égales, donc \(\cos\tfrac{\pi}{4}=\sin\tfrac{\pi}{4}\). En reportant dans \(\cos^2 x+\sin^2 x=1\) :

\[2\cos^2\tfrac{\pi}{4}=1\ \Longrightarrow\ \cos^2\tfrac{\pi}{4}=\tfrac12\ \Longrightarrow\ \cos\tfrac{\pi}{4}=\dfrac{1}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}\]

(positif car premier quadrant). Donc \(\cos\tfrac{\pi}{4}=\sin\tfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt2}{2}\).

Exercice d'application 4. Vérifier l'identité \(\cos^2 x+\sin^2 x=1\) pour \(x=\dfrac{\pi}{6}\), puis pour \(x=\dfrac{\pi}{3}\).

Pour \(\tfrac{\pi}{6}\) : \(\left(\dfrac{\sqrt3}{2}\right)^2+\left(\dfrac12\right)^2=\dfrac34+\dfrac14=1\). ✓

Pour \(\tfrac{\pi}{3}\) : \(\left(\dfrac12\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt3}{2}\right)^2=\dfrac14+\dfrac34=1\). ✓

V. Angles associés

Par lecture des symétries du cercle trigonométrique, on obtient les cosinus et sinus des angles associés à \(x\) :

Angle	\(\cos\)	\(\sin\)	Symétrie
\(-x\)	\(\cos x\)	\(-\sin x\)	axe des abscisses
\(\pi - x\)	\(-\cos x\)	\(\sin x\)	axe des ordonnées
\(\pi + x\)	\(-\cos x\)	\(-\sin x\)	origine
\(\dfrac{\pi}{2} - x\)	\(\sin x\)	\(\cos x\)	première bissectrice
\(\dfrac{\pi}{2} + x\)	\(-\sin x\)	\(\cos x\)	quart de tour direct

Méthode — Calculer un cosinus/sinus par angle associé

Écrire l'angle sous la forme \(\pm x+k\pi\) ou \(\tfrac{\pi}{2}\pm x\), avec \(x\) remarquable.
Appliquer la formule d'angle associé et la valeur remarquable correspondante.

Exemple résolu. \(\cos\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=\cos\!\left(\pi-\dfrac{\pi}{3}\right)=-\cos\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac12\), et \(\sin\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=\sin\!\left(\pi-\dfrac{\pi}{3}\right)=\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt3}{2}\).

Application — justifier une symétrie de courbe

La relation \(\cos(-x)=\cos x\) montre que la courbe de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (fonction paire). La relation \(\sin(-x)=-\sin x\) montre que la courbe de la fonction sinus est symétrique par rapport à l'origine (fonction impaire). Les angles associés servent ainsi à justifier les propriétés de symétrie des courbes des fonctions circulaires.

Exercice d'application 5. Calculer \(\cos\!\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\), \(\sin\!\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)\) et \(\cos\!\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)\).

\(\cos\!\left(-\tfrac{\pi}{6}\right)=\cos\tfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{2}\).

\(\sin\!\left(\tfrac{7\pi}{6}\right)=\sin\!\left(\pi+\tfrac{\pi}{6}\right)=-\sin\tfrac{\pi}{6}=-\dfrac12\).

\(\cos\!\left(\tfrac{3\pi}{4}\right)=\cos\!\left(\pi-\tfrac{\pi}{4}\right)=-\cos\tfrac{\pi}{4}=-\dfrac{\sqrt2}{2}\).

VI. Fonctions circulaires sinus et cosinus

Définition — Fonctions sinus et cosinus

On définit sur \(\mathbb{R}\) les fonctions

\[\cos : x\mapsto \cos x\qquad\text{et}\qquad \sin : x\mapsto \sin x.\]

Propriétés — Périodicité et parité

Périodicité : pour tout réel \(x\), \(\cos(x+2\pi)=\cos x\) et \(\sin(x+2\pi)=\sin x\) : les deux fonctions sont périodiques de période \(2\pi\).
Parité : \(\cos(-x)=\cos x\) : la fonction cosinus est paire (courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées). \(\sin(-x)=-\sin x\) : la fonction sinus est impaire (courbe symétrique par rapport à l'origine).

Propriété — Variations sur une période

Sur l'intervalle \([0\,;\pi]\), la fonction cosinus est décroissante de \(1\) à \(-1\). Sur \(\left[-\tfrac{\pi}{2}\,;\tfrac{\pi}{2}\right]\), la fonction sinus est croissante de \(-1\) à \(1\). Les deux fonctions oscillent entre \(-1\) et \(1\).

Courbes de \(\cos\) (rouge) et \(\sin\) (vert) : deux « vagues » de période \(2\pi\), oscillant entre \(-1\) et \(1\). La courbe de \(\sin\) est celle de \(\cos\) décalée de \(\tfrac{\pi}{2}\) vers la droite.

Exercice d'application 6. La fonction \(f:x\mapsto\cos x\) est-elle paire ou impaire ? Et \(g:x\mapsto\sin x\) ? Quelle est leur période commune ?

\(f=\cos\) est paire (car \(\cos(-x)=\cos x\)) ; \(g=\sin\) est impaire (car \(\sin(-x)=-\sin x\)). Toutes deux ont pour période \(2\pi\).

VII. Équations \(\cos x=a\) et \(\sin x=a\)

Résolution par lecture sur le cercle

Résoudre \(\cos x=a\) (resp. \(\sin x=a\)), c'est chercher tous les réels \(x\) dont l'image \(M\) a pour abscisse \(a\) (resp. pour ordonnée \(a\)).

Si \(a\lt-1\) ou \(a\gt1\) : aucune solution (car \(-1\le\cos x\le1\)).
Sinon, la droite d'abscisse \(a\) (resp. d'ordonnée \(a\)) coupe le cercle en général en deux points par tour, symétriques par rapport à l'axe des abscisses (pour \(\cos\)) ou des ordonnées (pour \(\sin\)).

Méthode — Résoudre \(\cos x=a\) ou \(\sin x=a\)

Repérer une solution évidente \(x_0\) parmi les valeurs remarquables.
Pour \(\cos x=a\) : la seconde solution est \(-x_0\). Pour \(\sin x=a\) : la seconde solution est \(\pi-x_0\).
Ajouter \(2k\pi\) (\(k\in\mathbb{Z}\)) pour toutes les solutions, ou ne garder que celles de l'intervalle demandé.

Exemple résolu. Résoudre \(\sin x=\dfrac12\) sur \([0\,;2\pi[\). Solution évidente : \(x_0=\tfrac{\pi}{6}\). La seconde est \(\pi-\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{5\pi}{6}\). Solutions : \(\left\{\dfrac{\pi}{6}\,;\dfrac{5\pi}{6}\right\}\).

Exercice d'application 7. Résoudre \(\cos x=\dfrac{\sqrt2}{2}\) sur \([0\,;2\pi[\).

Solution évidente : \(x_0=\tfrac{\pi}{4}\). La seconde est \(-\tfrac{\pi}{4}\), soit \(2\pi-\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{7\pi}{4}\) sur \([0\,;2\pi[\). Solutions : \(\left\{\dfrac{\pi}{4}\,;\dfrac{7\pi}{4}\right\}\).

VIII. Grandeurs sinusoïdales : \(t\mapsto A\cos(\omega t+\varphi)\)

De nombreuses grandeurs physiques varient de façon sinusoïdale au cours du temps : tension et courant du secteur, position d'un ressort en oscillation, pression d'une onde sonore, élongation d'une onde. On les modélise par une fonction de la forme \(t\mapsto A\cos(\omega t+\varphi)\) ou \(t\mapsto A\sin(\omega t+\varphi)\).

Définition — Fonction sinusoïdale

Soit \(A\gt0\), \(\omega\gt0\) et \(\varphi\) réels. La fonction

\[f : t\mapsto A\cos(\omega t+\varphi)\]

est une fonction sinusoïdale. Ses paramètres :

\(A\) : l'amplitude — la valeur maximale de \(|f|\) ; \(f\) oscille entre \(-A\) et \(A\).
\(\omega\) : la pulsation (en rad·s\(^{-1}\)).
\(T=\dfrac{2\pi}{\omega}\) : la période (en s) — durée d'une oscillation complète.
\(\varphi\) : la phase à l'origine (en rad) — décale la courbe horizontalement.
\(f_0=\dfrac{1}{T}=\dfrac{\omega}{2\pi}\) : la fréquence (en Hz).

L'expression \((\omega t+\varphi)\), qui varie au cours du temps, est la phase instantanée ; \(\varphi\) est sa valeur à l'instant \(t=0\), d'où le nom de phase à l'origine.

Fais varier les trois curseurs de la figure ci-dessous pour construire la courbe de \(y(t)=A\cos(\omega t+\varphi)\) et observer séparément le rôle de chaque paramètre.

Grandeur sinusoïdale \(A\cos(\omega t+\varphi)\) : l'amplitude \(A\) fixe la hauteur (oscillation entre \(-A\) et \(A\)), la pulsation \(\omega\) resserre ou étire les oscillations (\(T=\tfrac{2\pi}{\omega}\)), la phase \(\varphi\) décale la courbe horizontalement.

Méthode — Lire les paramètres d'une grandeur sinusoïdale

À partir de \(u(t)=A\cos(\omega t+\varphi)\), on lit directement \(A\), \(\omega\) et \(\varphi\), puis on calcule \(T=\dfrac{2\pi}{\omega}\) et \(f_0=\dfrac{\omega}{2\pi}\).

Exemple résolu. Tension du secteur \(u(t)=325\cos\!\left(100\pi\,t\right)\) (volts, \(t\) en s). Amplitude \(A=325\) V ; pulsation \(\omega=100\pi\) rad·s\(^{-1}\) ; phase à l'origine \(\varphi=0\) ; période \(T=\dfrac{2\pi}{100\pi}=\dfrac{1}{50}=0{,}02\) s ; fréquence \(f_0=\dfrac{1}{T}=50\) Hz.

Attention

La fréquence \(f_0\) (en Hz) et la pulsation \(\omega\) (en rad·s\(^{-1}\)) sont liées par \(\omega=2\pi f_0\), mais ce ne sont pas les mêmes grandeurs. La période \(T\) est l'inverse de la fréquence : \(T=\dfrac{1}{f_0}\).

Exercice d'application 8. Un courant alternatif s'écrit \(i(t)=5\cos\!\left(50\pi\,t+\dfrac{\pi}{3}\right)\) (ampères, \(t\) en s). Donner l'amplitude, la pulsation, la phase à l'origine, la période et la fréquence.

Amplitude \(A=5\) A ; pulsation \(\omega=50\pi\) rad·s\(^{-1}\) ; phase à l'origine \(\varphi=\dfrac{\pi}{3}\) rad ; période \(T=\dfrac{2\pi}{50\pi}=\dfrac{1}{25}=0{,}04\) s ; fréquence \(f_0=\dfrac{1}{T}=25\) Hz.

Erreurs fréquentes / points de vigilance

Les pièges du chapitre

❌ Confondre degrés et radians (mauvais mode de calculatrice).

✅ En analyse et en physique, on travaille en radians ; \(180°=\pi\) rad.

❌ Confondre \(\cos\) et \(\sin\).

✅ \(\cos x\) est l'abscisse de l'image \(M\), \(\sin x\) son ordonnée.

❌ Oublier le signe selon le quadrant.

✅ \(\cos\) et \(\sin\) changent de signe selon la position de \(M\) sur le cercle.

❌ Confondre pulsation \(\omega\), fréquence \(f_0\) et période \(T\).

✅ \(\omega=2\pi f_0\) et \(T=\dfrac{2\pi}{\omega}=\dfrac{1}{f_0}\).

❌ Oublier la périodicité en résolvant une équation.

✅ Deux réels différant de \(2\pi\) ont la même image, donc mêmes \(\cos\) et \(\sin\).

L'essentiel à retenir

À retenir :

Radian : longueur d'arc sur le cercle de rayon \(1\) ; \(180°=\pi\) rad.
Angle orienté : mesures \(x+2k\pi\) ; mesure principale dans \(\left]-\pi\,;\pi\right]\).
\(M(\cos x\,;\sin x)\) : \(\cos\) = abscisse, \(\sin\) = ordonnée ; identité fondamentale \(\cos^2 x+\sin^2 x=1\).
Valeurs remarquables : \(0,\ \tfrac{\pi}{6},\ \tfrac{\pi}{4},\ \tfrac{\pi}{3},\ \tfrac{\pi}{2},\ \pi\) (à connaître par cœur).
Angles associés : \(-x\), \(\pi-x\), \(\pi+x\), \(\tfrac{\pi}{2}-x\), \(\tfrac{\pi}{2}+x\) par symétries.
Fonctions : \(\cos\) paire, \(\sin\) impaire, période \(2\pi\), oscillent entre \(-1\) et \(1\).
Équations : \(\cos x=a\) → \(\pm x_0+2k\pi\) ; \(\sin x=a\) → \(x_0+2k\pi\) et \(\pi-x_0+2k\pi\).
Grandeur sinusoïdale : \(A\cos(\omega t+\varphi)\) — amplitude \(A\), pulsation \(\omega\), période \(T=\tfrac{2\pi}{\omega}\), phase à l'origine \(\varphi\), fréquence \(f_0=\tfrac{\omega}{2\pi}\).