Ce que tu vas savoir faire à la fin de ce chapitre :
Comprendre la différence entre une équation et une inéquation
Utiliser les symboles \(<\), \(>\), \(\leq\), \(\geq\) correctement
Résoudre une inéquation du premier degré, par le calcul ou graphiquement
Développer les parenthèses et supprimer un dénominateur pour se ramener à une forme connue
Exprimer la solution sous forme d'intervalle
Représenter la solution sur une droite graduée
Résoudre une double inéquation (encadrement) et croiser deux contraintes
Traduire une contrainte professionnelle par une inéquation
Artisan :Lucie, apprentie menuisièreChantier :Pose de parquet dans un appartementMission :Lucie a un budget de 500 € pour acheter des lames de parquet à 12 € le m². Elle doit aussi payer 35 € de colle (forfait fixe). Elle veut savoir combien de m² elle peut commander au maximum.Question :Quelle surface maximale peut-elle commander sans dépasser son budget ?
Ce problème sera résolu à la section 7 de ce chapitre.
1. Introduction – Équation ou inéquation ?
Au chapitre précédent, tu as appris à résoudre des équations (avec le signe =).
Dans la vie professionnelle, on doit souvent exprimer des contraintes : un budget à ne pas dépasser,
une dimension minimale à respecter, une quantité à produire au minimum...
Ces contraintes s'expriment avec des inéquations.
Équation
\(3x + 6 = 21\)
Solution unique :
\(x = 5\)
Inéquation
\(3x + 6 \leq 21\)
Ensemble de solutions :
\(x \leq 5\) soit \(]-\infty ; 5]\)
2. Définition – L'inéquation du premier degré
Définition
Une inéquation est comme une équation, mais au lieu du signe « = », on utilise un signe d'inégalité :
\( ax < b \) (strictement inférieur)
\( ax > b \) (strictement supérieur)
\( ax \leq b \) (inférieur ou égal)
\( ax \geq b \) (supérieur ou égal)
La solution n'est plus un nombre unique, mais un ensemble de valeurs, appelé intervalle.
Les 4 symboles d'inégalité à connaître
Symbole
Lecture
Exemple
Interprétation
\(<\)
strictement inférieur à
\(x < 3\)
x est plus petit que 3, sans atteindre 3
\(>\)
strictement supérieur à
\(x > 7\)
x est plus grand que 7, sans atteindre 7
\(\leq\)
inférieur ou égal à
\(x \leq 5\)
x est plus petit que 5, ou égal à 5
\(\geq\)
supérieur ou égal à
\(x \geq -2\)
x est plus grand que −2, ou égal à −2
Application — Traduire une contrainte
Chez un fournisseur, une planche de chêne mesure au maximum 250 cm de long. On note \(L\) la longueur d'une planche (en cm). Écris l'inéquation qui traduit cette contrainte, puis indique le symbole utilisé.
« au maximum 250 cm » signifie que la longueur est inférieure ou égale à 250.
Le symbole qui traduit « inférieur ou égal à » est \(\leq\).
Inéquation : \(L \leq 250\).
3. Résolution d'une inéquation
On résout une inéquation comme une équation, avec une règle essentielle à ne jamais oublier :
Règle d'or !
Si on multiplie ou divise les deux membres par un nombre négatif,
le sens de l'inégalité s'inverse !
Exemple : si \(-2x \leq 10\), on divise par \(-2\) (négatif) :
\[ x \geq \frac{10}{-2} \implies x \geq -5 \]
Le symbole ≤ est devenu ≥.
Ce qui ne change PAS le sens
Ajouter ou soustraire un même nombre des deux membres → le sens reste le même.
Multiplier ou diviser par un nombre positif → le sens reste le même.
Application — La règle d'or
Résoudre l'inéquation \(-6x + 3 < 27\) et exprimer la solution sous forme d'intervalle.
\(-6x + 3 < 27\)
\(-6x < 27 - 3\)
\(-6x < 24\)
On divise les deux membres par \(-6\) (négatif → on inverse le signe !) :
\(x > \dfrac{24}{-6} = -4\)
Solution : \(]-4 ; +\infty[\)
Parenthèses et quotients : se ramener à une forme connue
Comme pour les équations, deux gestes suffisent presque toujours : développer
les parenthèses, ou multiplier par le dénominateur pour le faire disparaître.
Attention – le signe « moins » devant une parenthèse
Le facteur placé devant la parenthèse multiplie chacun des termes qu'elle contient.
Un signe moins change donc tous les signes :
\[ -(x + 6) = -x - 6 \qquad \text{et non} \qquad -x + 6 \]
Exemple : \(-(x+2) < 4x - 12\) donne \(-x - 2 < 4x - 12\), puis \(10 < 5x\) et enfin \(x > 2\).
Ici on a divisé par \(+5\) : le sens ne change pas. Attention, ce n'est pas toujours le cas.
Exemple 5 – Inéquation avec un quotient
Résoudre \(\dfrac{3x - 5}{2} \leq 5\)
On multiplie les deux membres par 2. 2 est positif, donc le sens ne change pas :
\[ 3x - 5 \leq 10 \implies 3x \leq 15 \implies x \leq 5 \]
Solution : \(]-\infty ; 5]\)
Remarque : dans ce chapitre, les dénominateurs rencontrés sont toujours des nombres
positifs (2, 3, 4…), le sens de l'inégalité est donc conservé à cette étape.
Application — Résoudre pas à pas
Résoudre chaque inéquation et donner l'ensemble solution sous forme d'intervalle.
\(6x - 5 \leq 2x + 19\)
\(7 - 2(x - 1) > 3\)
\(\dfrac{x + 6}{5} \leq 2\)
1. On regroupe les \(x\) à gauche et les nombres à droite :
\(6x - 2x \leq 19 + 5\) → \(4x \leq 24\) → \(x \leq \dfrac{24}{4} = 6\)
Solution : \(]-\infty ; 6]\)
2. On développe, en faisant attention au signe moins devant la parenthèse :
\(7 - 2x + 2 > 3\) → \(-2x > 3 - 9\) → \(-2x > -6\)
On divise par \(-2\) (négatif → on inverse le sens) : \(x < 3\)
Solution : \(]-\infty ; 3[\)
3. On multiplie les deux membres par 5 (positif, le sens est conservé) :
\(x + 6 \leq 10\) → \(x \leq 4\)
Solution : \(]-\infty ; 4]\)
Une autre méthode : la résolution graphique
Le programme autorise trois méthodes pour résoudre une inéquation du premier degré :
par le calcul (méthode algébrique ci-dessus), graphiquement, ou à l'aide d'un
outil numérique (tableur, solveur). On choisit la méthode la mieux adaptée à la situation.
Résoudre \(2x - 4 < 0\) revient à chercher les valeurs de \(x\) pour lesquelles la droite d'équation
\(y = 2x - 4\) passe en dessous de l'axe des abscisses.
La droite est en dessous de l'axe des abscisses pour \(x < 2\) : \(S = ]-\infty\,;\,2[\). Le point d'abscisse 2 est marqué par un cercle vide : la borne est exclue, car l'inégalité est stricte.
Application — Lire une solution sur un graphique
Sur le graphique ci-dessus, pour quelles valeurs de \(x\) a-t-on \(2x - 4 > 0\) ? Vérifier ensuite par le calcul.
Graphiquement, la droite est au-dessus de l'axe des abscisses à droite du point d'abscisse 2 :
donc \(2x - 4 > 0\) pour \(x > 2\), soit \(S = ]2\,;\,+\infty[\).
Par le calcul : \(2x - 4 > 0 \Rightarrow 2x > 4 \Rightarrow x > 2\) ✔ — les deux méthodes concordent.
4. Les intervalles de ℝ
La solution d'une inéquation est un ensemble de nombres réels, qu'on exprime avec la notation intervalle.
Inéquation
Lecture
Intervalle
Crochet
\(x > a\)
x strictement supérieur à a
\(]a ; +\infty[\)
Ouvert (a exclu)
\(x \geq a\)
x supérieur ou égal à a
\([a ; +\infty[\)
Fermé (a inclus)
\(x < b\)
x strictement inférieur à b
\(]-\infty ; b[\)
Ouvert (b exclu)
\(x \leq b\)
x inférieur ou égal à b
\(]-\infty ; b]\)
Fermé (b inclus)
\(a \leq x \leq b\)
x compris entre a et b inclus
\([a ; b]\)
Fermé des deux côtés
\(a < x \leq b\)
x entre a exclu et b inclus
\(]a ; b]\)
Ouvert à gauche, fermé à droite
Astuce pour les crochets
Le crochet fermé [ signifie que la valeur est incluse (symboles ≤ ou ≥).
Le crochet ouvert ] signifie que la valeur est exclue (symboles < ou >).
Les infinis \(+\infty\) et \(-\infty\) sont toujours avec des crochets ouverts.
Vérifier une solution avec une valeur-test
Une inéquation a une infinité de solutions : on ne peut pas toutes les vérifier. On teste donc
une valeur de chaque côté de la borne trouvée.
Exemple : \(-3x + 7 > 1\) donne \(-3x > -6\), puis, en divisant par \(-3\) (négatif → le sens
s'inverse), \(x < 2\), soit \(S = ]-\infty ; 2[\) — crochet ouvert en 2, car
l'inégalité obtenue est stricte.
\(x = 4\) (hors de \(S\)) : \(-3 \times 4 + 7 = -5 > 1\) ✘ — c'est bien faux, donc cohérent.
Si les deux tests répondent comme prévu, la solution est très probablement juste. Si l'un des deux
se trompe, c'est souvent le sens de l'inégalité qui a été oublié.
Application
Résoudre \(-5x + 10 \geq 25\) et exprimer la solution sous forme d'intervalle.
\(-5x + 10 \geq 25\)
\(-5x \geq 25 - 10\)
\(-5x \geq 15\)
On divise par \(-5\) (négatif → on inverse le signe !) :
\(x \leq \dfrac{15}{-5} = -3\)
Solution : \(]-\infty ; -3]\) — crochet fermé en \(-3\) car l'inégalité obtenue
est \(\leq\), crochet ouvert du côté de \(-\infty\).
5. Représentation sur une droite graduée
On peut visualiser la solution d'une inéquation sur une droite graduée :
Un point plein ● (crochet fermé) → la valeur est incluse.
Un point vide ○ (crochet ouvert) → la valeur est exclue.
On colorie la partie de la droite qui correspond à la solution.
Exemple : \(x \geq 3\) → solution \([3 ; +\infty[\)
Exemple : \(x < 1\) → solution \(]-\infty ; 1[\)
Exemple : \(-2 \leq x < 4\) → solution \([-2 ; 4[\)
Application
Un atelier dispose de 180 € pour acheter du vernis. Un bidon de 1 L coûte 14,50 €. Pose l'inéquation et calcule combien de bidons il peut acheter au maximum.
On pose \(x\) = nombre de bidons. La contrainte est :
\(14{,}50x \leq 180\)
\(x \leq \dfrac{180}{14{,}50} \approx 12{,}4\)
L'atelier peut acheter au maximum 12 bidons.
6. Encadrements et contraintes multiples
En atelier, une grandeur est rarement soumise à une seule contrainte : une température doit rester
entre deux valeurs, une commande doit respecter à la fois un budget et une quantité
minimale. Deux outils répondent à ces situations.
La double inéquation (encadrement)
Définition
Une double inéquation (ou encadrement) s'écrit
\(a \leq \text{expression} \leq b\). Elle traduit une grandeur qui doit rester
entre deux valeurs.
Méthode
On applique la même opération aux trois parties de l'encadrement, exactement comme
on l'appliquait aux deux membres d'une inéquation simple. La règle d'or reste valable : multiplier
ou diviser les trois parties par un nombre négatif inverse les deux symboles.
Exemple 6 – Séance d'endurance
Sur un tapis de course, la fréquence cardiaque d'un sportif est modélisée par \(F = 10v + 70\)
(en battements par minute), où \(v\) est la vitesse du tapis en km/h. L'entraîneur demande de rester
entre 120 et 150 battements par minute.
Étape 1 – Encadrement :
\[ 120 \leq 10v + 70 \leq 150 \]
Étape 2 – On soustrait 70 partout :
\[ 120 - 70 \leq 10v \leq 150 - 70 \implies 50 \leq 10v \leq 80 \]
Étape 3 – On divise par 10 partout (positif : les symboles ne changent pas) :
\[ 5 \leq v \leq 8 \]
Conclusion : le tapis doit être réglé entre 5 et 8 km/h,
soit \(v \in [5\,;\,8]\).
Quand une grandeur doit satisfaire deux inéquations à la fois, on résout chacune
séparément, puis on garde les valeurs communes aux deux ensembles solutions :
c'est leur intersection, notée \(\cap\).
Exemple 7 – Deux contraintes
Résoudre le système \(\begin{cases} 4x + 3 \leq 27 \\ x + 7 > 5 \end{cases}\)
Inéquation ① : \(4x \leq 24 \implies x \leq 6\), soit \(]-\infty ; 6]\). Inéquation ② : \(x > 5 - 7 \implies x > -2\), soit \(]-2 ; +\infty[\).
Les deux conditions doivent être vraies en même temps : on garde ce qui appartient aux deux
intervalles.
\[ S = ]-\infty ; 6] \cap \, ]-2 ; +\infty[ \; = \; ]-2 ; 6] \]
Contrôle : \(x = 0\) vérifie les deux (\(3 \leq 27\) et \(7 > 5\)) ✔ ;
\(x = 7\) échoue à ① et \(x = -3\) échoue à ② ✔
Attention
Un encadrement n'est pas toujours possible : si les deux contraintes conduisent par exemple à
\(x \geq 8\) et \(x \leq 5\), aucune valeur ne convient. L'intersection est vide
et le problème n'a pas de solution — c'est une réponse valable, qu'il faut savoir écrire.
Application — Une commande sous deux contraintes
Un club sportif commande des maillots floqués à 26 € l'unité et dispose de 780 € ; le fournisseur
n'accepte pas les commandes de moins de 27 maillots. On note \(n\) le nombre de
maillots commandés.
Traduire la contrainte de budget par une inéquation, et la résoudre.
Écrire la double contrainte que doit vérifier \(n\).
La commande est-elle possible ? Donner toutes les valeurs entières de \(n\) qui conviennent.
1. Le coût total est \(26n\), et il ne doit pas dépasser 780 € :
\[ 26n \leq 780 \implies n \leq \frac{780}{26} = 30 \]
2. Le fournisseur impose \(n \geq 27\). Les deux contraintes s'écrivent ensemble :
\[ 27 \leq n \leq 30 \]
3. Comme \(27 \leq 30\), l'intervalle \([27\,;\,30]\) n'est pas vide : la commande est
possible. Le nombre de maillots étant entier, les valeurs qui conviennent sont
27, 28, 29 ou 30. Vérification : \(26 \times 30 = 780\) € — c'est le budget exact ✔ ; et
\(26 \times 31 = 806 > 780\) ✘, donc 31 maillots ne rentrent pas.
7. Applications concrètes dans les métiers
Les inéquations permettent d'exprimer des contraintes dans tous les métiers : bois, énergie, bâtiment, commerce…
Exemple 8 – Budget de Lucie (situation d'introduction)
Budget : 500 €. Lames de parquet à 12 € le m². Colle : 35 € forfait fixe.
Combien de m² peut-elle commander au maximum ?
On pose \(x\) = surface commandée (en m²). La contrainte est :
\[ 12x + 35 \leq 500 \]
\[ 12x \leq 465 \]
\[ x \leq \frac{465}{12} = 38{,}75 \]
Solution mathématique : \(x \in [0\,;\,38{,}75]\) — la surface ne pouvant pas être
négative, l'intervalle commence à 0.
Interprétation : ce parquet se commande par nombre entier de m². Lucie peut donc
commander au maximum 38 m². Vérification : 38 m² coûtent \(12 \times 38 + 35 = 491\) € \(\leq 500\) € ✔ ;
39 m² coûteraient \(12 \times 39 + 35 = 503\) € \(> 500\) € ✘
Exemple 9 – Contrainte de dimension
Une étagère doit avoir une longueur d'au moins 80 cm mais ne pas dépasser 120 cm.
On note \(x\) sa longueur (en cm).
Condition : \(80 \leq x \leq 120\)
La longueur de l'étagère doit appartenir à l'intervalle \([80 ; 120]\).
Exemple 10 – Rentabilité minimale
Un artisan chauffagiste propose l'installation de thermostats connectés. Ses coûts fixes sont 180 € et chaque installation lui coûte 25 € en fournitures.
Il facture 65 € l'installation. À partir de combien d'installations réalise-t-il un bénéfice ?
Bénéfice = recettes − coûts : \(65x - (180 + 25x) > 0\)
\[ 65x - 180 - 25x > 0 \]
\[ 40x > 180 \]
\[ x > 4{,}5 \]
Il doit réaliser au minimum 5 installations pour être bénéficiaire.
Exemple 11 – Quantité minimale de matériau
Pour isoler une pièce, il faut poser au moins 12 m² de panneau isolant.
Chaque panneau fait 1,20 m × 0,60 m. Combien de panneaux faut-il commander au minimum ?
Surface d'un panneau : \(1{,}20 \times 0{,}60 = 0{,}72 \text{ m}^2\)
Inéquation : \(0{,}72x \geq 12\)
\[ x \geq \frac{12}{0{,}72} \approx 16{,}7 \]
Il faut commander au minimum 17 panneaux.
Application
Un ébéniste fabrique des tables et des chaises. Une table rapporte 120 € de bénéfice, une chaise 35 €. Il veut réaliser au minimum 700 € de bénéfice. S'il fabrique 3 tables, combien de chaises doit-il faire au minimum ?
On pose \(x\) = nombre de chaises à fabriquer. L'inéquation est :
\(3 \times 120 + 35x \geq 700\)
\(360 + 35x \geq 700\)
\(35x \geq 340\)
\(x \geq \dfrac{340}{35} \approx 9{,}7\)
Il doit fabriquer au minimum 10 chaises.
8. À retenir
Récapitulatif du chapitre
Inéquation du premier degré
Formes : \(ax + b < c\) / \(ax + b \geq c\) etc.
Se résout comme une équation mais : si on divise/multiplie par un négatif → on inverse le signe
Avec des parenthèses → développer d'abord ; avec un quotient → multiplier les deux membres par le dénominateur (positif : le sens ne change pas)
La solution est un intervalle ; on la contrôle avec une valeur-test de chaque côté de la borne
Deux contraintes à la fois
Encadrement \(a \leq \text{expression} \leq b\) : on applique la même opération aux trois parties.
Système : on résout chaque inéquation séparément, puis on garde la partie commune aux deux intervalles (intersection \(\cap\)).
Si aucune valeur ne convient, l'ensemble solution est vide — c'est une réponse.
Intervalles — aide-mémoire
Signe
Intervalle
Crochet
\(x \geq a\)
\([a ; +\infty[\)
Fermé à gauche
\(x > a\)
\(]a ; +\infty[\)
Ouvert à gauche
\(x \leq b\)
\(]-\infty ; b]\)
Fermé à droite
\(x < b\)
\(]-\infty ; b[\)
Ouvert à droite
Règle d'or à ne jamais oublier
Multiplier ou diviser par un nombre négatif → le sens de l'inégalité s'inverse !
Exemple : \(-3x > 9\) → \(x < -3\) (et non \(x > -3\))
9. Erreurs fréquentes à éviter
❌
Oublier d'inverser le signe dans une inéquation
Quand on divise par un nombre négatif, le sens de l'inégalité s'inverse. C'est l'erreur la plus courante !
Exemple : \(-3x > 9\) → \(x < -3\) et non \(x > -3\).
❌
Confondre crochet ouvert et crochet fermé
Écrire \([3 ; +\infty[\) quand on a \(x > 3\) au lieu de \(]3 ; +\infty[\).
Règle : crochet fermé = valeur incluse (≤ ou ≥) ; crochet ouvert = valeur exclue (< ou >).
❌
Confondre équation et inéquation
Une équation (=) donne une valeur unique ; une inéquation (<, >, ≤, ≥) donne un intervalle de valeurs.
❌
Ne pas interpréter le résultat dans le contexte
Donner \(x \leq 4{,}7\) comme réponse pour un nombre entier de panneaux.
Conseil : arrondir à l'entier correct selon le contexte (inférieur ou supérieur selon la contrainte).
Simulations interactives
Entraîne-toi avec les outils interactifs de ce chapitre :