Chapitre 6 – Inéquations du premier degré

Seconde Bac Pro MAMA | Agencement · Menuiserie · Ameublement | Mathématiques

Dernière mise à jour : 9 mars 2026

Ce que tu vas savoir faire à la fin de ce chapitre :

Comprendre la différence entre une équation et une inéquation
Utiliser les symboles \(<\), \(>\), \(\leq\), \(\geq\) correctement
Résoudre une inéquation du premier degré
Exprimer la solution sous forme d'intervalle
Représenter la solution sur une droite graduée
Traduire une contrainte professionnelle par une inéquation

Artisan :Lucie, apprentie menuisière Chantier :Pose de parquet dans un appartement Mission :Lucie a un budget de 500 € pour acheter des lames de parquet à 12 € le m². Elle doit aussi payer 35 € de colle (forfait fixe). Elle veut savoir combien de m² elle peut commander au maximum. Question :Quelle surface maximale peut-elle commander sans dépasser son budget ?

Ce problème sera résolu à la section 6 de ce chapitre.

1. Introduction – Équation ou inéquation ?

Au chapitre précédent, tu as appris à résoudre des équations (avec le signe =). Dans la vie professionnelle, on doit souvent exprimer des contraintes : un budget à ne pas dépasser, une dimension minimale à respecter, une quantité à produire au minimum...

Ces contraintes s'expriment avec des inéquations.

Équation

\(3x + 6 = 21\)

Solution unique :
\(x = 5\)

Inéquation

\(3x + 6 \leq 21\)

Ensemble de solutions :
\(x \leq 5\) soit \(]-\infty ; 5]\)

2. Définition – L'inéquation du premier degré

Définition
Une inéquation est comme une équation, mais au lieu du signe « = », on utilise un signe d'inégalité :

\( ax < b \) (strictement inférieur)

\( ax > b \) (strictement supérieur)

\( ax \leq b \) (inférieur ou égal)

\( ax \geq b \) (supérieur ou égal)

La solution n'est plus un nombre unique, mais un ensemble de valeurs, appelé intervalle.

Les 4 symboles d'inégalité à connaître

Symbole	Lecture	Exemple	Interprétation
\(<\)	strictement inférieur à	\(x < 3\)	x est plus petit que 3, sans atteindre 3
\(>\)	strictement supérieur à	\(x > 7\)	x est plus grand que 7, sans atteindre 7
\(\leq\)	inférieur ou égal à	\(x \leq 5\)	x est plus petit que 5, ou égal à 5
\(\geq\)	supérieur ou égal à	\(x \geq -2\)	x est plus grand que −2, ou égal à −2

3. Résolution d'une inéquation

On résout une inéquation comme une équation, avec une règle essentielle à ne jamais oublier :

Règle d'or !
Si on multiplie ou divise les deux membres par un nombre négatif, le sens de l'inégalité s'inverse !

Exemple : si \(-2x \leq 10\), on divise par \(-2\) (négatif) : \[ x \geq \frac{10}{-2} \implies x \geq -5 \] Le symbole ≤ est devenu ≥.

Ce qui ne change PAS le sens

Ajouter ou soustraire un même nombre des deux membres → le sens reste le même.
Multiplier ou diviser par un nombre positif → le sens reste le même.

Méthode – résolution pas à pas

Exemple 1 – Inéquation simple
Résoudre \(3x - 6 > 9\)

\[ 3x - 6 > 9 \] \[ 3x > 9 + 6 \] \[ 3x > 15 \] \[ x > 5 \] Solution : l'ensemble des valeurs \(x\) telles que \(x > 5\), soit l'intervalle \(]5 ; +\infty[\).

Exemple 2 – Avec division par un nombre négatif
Résoudre \(-4x + 8 \leq 20\)

\[ -4x + 8 \leq 20 \] \[ -4x \leq 12 \] \[ x \geq \frac{12}{-4} \quad \text{(on divise par −4, le symbole s'inverse !)} \] \[ x \geq -3 \] Solution : \([-3 ; +\infty[\)

Exemple 3 – Inéquation avec termes des deux côtés
Résoudre \(5x - 3 > 2x + 9\)

\[ 5x - 3 > 2x + 9 \] \[ 5x - 2x > 9 + 3 \] \[ 3x > 12 \] \[ x > 4 \] Solution : \(]4 ; +\infty[\)

4. Les intervalles de ℝ

La solution d'une inéquation est un ensemble de nombres réels, qu'on exprime avec la notation intervalle.

Inéquation	Lecture	Intervalle	Crochet
\(x > a\)	x strictement supérieur à a	\(]a ; +\infty[\)	Ouvert (a exclu)
\(x \geq a\)	x supérieur ou égal à a	\([a ; +\infty[\)	Fermé (a inclus)
\(x < b\)	x strictement inférieur à b	\(]-\infty ; b[\)	Ouvert (b exclu)
\(x \leq b\)	x inférieur ou égal à b	\(]-\infty ; b]\)	Fermé (b inclus)
\(a \leq x \leq b\)	x compris entre a et b inclus	\([a ; b]\)	Fermé des deux côtés
\(a < x \leq b\)	x entre a exclu et b inclus	\(]a ; b]\)	Ouvert à gauche, fermé à droite

Astuce pour les crochets

Le crochet fermé [ signifie que la valeur est incluse (symboles ≤ ou ≥).
Le crochet ouvert ] signifie que la valeur est exclue (symboles < ou >).
Les infinis \(+\infty\) et \(-\infty\) sont toujours avec des crochets ouverts.

Application

Résoudre \(-5x + 10 \geq 25\) et exprimer la solution sous forme d'intervalle.

\(-5x + 10 \geq 25\)
\(-5x \geq 25 - 10\)
\(-5x \geq 15\)
On divise par \(-5\) (négatif → on inverse le signe !) :
\(x \leq \dfrac{15}{-5} = -3\)
Solution : \(]-\infty ; -3]\)

5. Représentation sur une droite graduée

On peut visualiser la solution d'une inéquation sur une droite graduée :

Un point plein ● (crochet fermé) → la valeur est incluse.
Un point vide ○ (crochet ouvert) → la valeur est exclue.
On colorie la partie de la droite qui correspond à la solution.

Exemple : \(x \geq 3\) → solution \([3 ; +\infty[\)

Exemple : \(x < 1\) → solution \(]-\infty ; 1[\)

Exemple : \(-2 \leq x < 4\) → solution \([-2 ; 4[\)

Application

Un atelier dispose de 180 € pour acheter du vernis. Un bidon de 1 L coûte 14,50 €. Pose l'inéquation et calcule combien de bidons il peut acheter au maximum.

On pose \(x\) = nombre de bidons. La contrainte est :
\(14{,}50x \leq 180\)
\(x \leq \dfrac{180}{14{,}50} \approx 12{,}4\)
L'atelier peut acheter au maximum 12 bidons.

6. Applications concrètes en menuiserie

Les inéquations permettent d'exprimer des contraintes dans les métiers de l'agencement, de la menuiserie et de l'ameublement.

Exemple 4 – Budget de Lucie (situation d'introduction)
Budget : 500 €. Lames de parquet à 12 € le m². Colle : 35 € forfait fixe. Combien de m² peut-elle commander au maximum ?

On pose \(x\) = surface commandée (en m²). La contrainte est : \[ 12x + 35 \leq 500 \] \[ 12x \leq 465 \] \[ x \leq \frac{465}{12} = 38{,}75 \] Lucie peut commander au maximum 38 m² (en pratique, Lucie peut commander au maximum 38,75 m² de parquet).
Solution : \(x \in [0\,;\,38{,}75]\) — en pratique \(x \leq 38\) m².

Exemple 5 – Contrainte de dimension
Une étagère doit avoir une longueur d'au moins 80 cm mais ne pas dépasser 120 cm. On note \(x\) sa longueur (en cm).

Condition : \(80 \leq x \leq 120\)
La longueur de l'étagère doit appartenir à l'intervalle \([80 ; 120]\).

Exemple 6 – Rentabilité minimale
Un menuisier fabrique des chaises. Ses coûts fixes sont 180 € et chaque chaise lui coûte 25 € en matériaux. Il les vend 65 € pièce. À partir de combien de chaises réalise-t-il un bénéfice ?

Bénéfice = recettes − coûts : \(65x - (180 + 25x) > 0\) \[ 65x - 180 - 25x > 0 \] \[ 40x > 180 \] \[ x > 4{,}5 \] Il doit vendre au minimum 5 chaises pour être bénéficiaire.

Exemple 7 – Quantité minimale de matériau
Pour isoler une pièce, il faut poser au moins 12 m² de panneau isolant. Chaque panneau fait 1,20 m × 0,60 m. Combien de panneaux faut-il commander au minimum ?

Surface d'un panneau : \(1{,}20 \times 0{,}60 = 0{,}72 \text{ m}^2\)
Inéquation : \(0{,}72x \geq 12\) \[ x \geq \frac{12}{0{,}72} \approx 16{,}7 \] Il faut commander au minimum 17 panneaux.

Application

Un ébéniste fabrique des tables et des chaises. Une table rapporte 120 € de bénéfice, une chaise 35 €. Il veut réaliser au minimum 700 € de bénéfice. S'il fabrique 3 tables, combien de chaises doit-il faire au minimum ?

On pose \(x\) = nombre de chaises à fabriquer. L'inéquation est :
\(3 \times 120 + 35x \geq 700\)
\(360 + 35x \geq 700\)
\(35x \geq 340\)
\(x \geq \dfrac{340}{35} \approx 9{,}7\)
Il doit fabriquer au minimum 10 chaises.

7. À retenir

Récapitulatif du chapitre

Inéquation du premier degré

Formes : \(ax + b < c\) / \(ax + b \geq c\) etc.
Se résout comme une équation mais : si on divise/multiplie par un négatif → on inverse le signe
La solution est un intervalle

Intervalles — aide-mémoire

Signe	Intervalle	Crochet
\(x \geq a\)	\([a ; +\infty[\)	Fermé à gauche
\(x > a\)	\(]a ; +\infty[\)	Ouvert à gauche
\(x \leq b\)	\(]-\infty ; b]\)	Fermé à droite
\(x < b\)	\(]-\infty ; b[\)	Ouvert à droite

Règle d'or à ne jamais oublier

Multiplier ou diviser par un nombre négatif → le sens de l'inégalité s'inverse !
Exemple : \(-3x > 9\) → \(x < -3\) (et non \(x > -3\))

8. Erreurs fréquentes à éviter

❌

Oublier d'inverser le signe dans une inéquation
Quand on divise par un nombre négatif, le sens de l'inégalité s'inverse. C'est l'erreur la plus courante !
Exemple : \(-3x > 9\) → \(x < -3\) et non \(x > -3\).

❌

Confondre crochet ouvert et crochet fermé
Écrire \([3 ; +\infty[\) quand on a \(x > 3\) au lieu de \(]3 ; +\infty[\).
Règle : crochet fermé = valeur incluse (≤ ou ≥) ; crochet ouvert = valeur exclue (< ou >).

❌

Confondre équation et inéquation
Une équation (=) donne une valeur unique ; une inéquation (<, >, ≤, ≥) donne un intervalle de valeurs.

❌

Ne pas interpréter le résultat dans le contexte
Donner \(x \leq 4{,}7\) comme réponse pour un nombre entier de panneaux.
Conseil : arrondir à l'entier correct selon le contexte (inférieur ou supérieur selon la contrainte).

Visualiser graphiquement une inéquation

Résoudre \(2x - 4 < 0\) revient à chercher pour quelles valeurs de \(x\) la droite \(f(x) = 2x - 4\) est en dessous de l'axe des abscisses (\(y = 0\)).

Les barres bleues (en dessous de 0) indiquent les solutions : \(x < 2\). Les barres rouges indiquent où l'inéquation n'est pas vérifiée.

Animation — Droite graduée interactive

Règle les paramètres pour voir comment change l'ensemble solution d'une inéquation \(ax + b \leq c\) ou \(ax + b \geq c\).

a = 2 b = -4 c = 0 Signe :

Simulations interactives

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