calculer avec des nombres relatifs et des fractions ;
développer, factoriser et réduire une expression littérale ;
résoudre une équation du type \(ax=b\) ou \(a+x=b\).
Ce que tu vas savoir faire à la fin de ce chapitre :
Résoudre une équation de la forme \(ax = b\), \(ax + b = c\) ou \(ax + b = cx + d\)
Développer les parenthèses et supprimer un dénominateur pour se ramener à ces formes
Traduire une situation concrète par une équation du premier degré
Vérifier une solution et conclure dans le contexte professionnel
Résoudre une équation graphiquement ou avec un outil numérique (grapheur, tableur), et choisir la méthode adaptée
Situation d'accroche
Métier :Tom, apprenti menuisier en atelierChantier :Fabrication d'étagères sur mesure pour une bibliothèque de salonMission :Tom doit découper 5 planches de longueur identique dans une planche brute de 240 cm. Il sait qu'une chute de 15 cm est inévitable en bout de planche.Question :Quelle longueur doit avoir chaque planche découpée ?
Schéma de découpe : 5 planches de longueur inconnue x + une chute de 15 cm = 240 cm au total
Ce problème sera résolu étape par étape au cours de ce chapitre.
1. Introduction – Pourquoi les équations ?
Dans ton futur métier, tu vas souvent devoir calculer une quantité inconnue à partir de conditions connues.
Par exemple : combien de planches peut-on découper ? Quel prix de vente faut-il fixer ? Quelle longueur de tasseaux commander ?
Les équations du premier degré sont les outils mathématiques qui permettent de répondre à ces questions de façon rigoureuse.
Exemple de la vie courante
Un ballon de basket coûte 12 € de plus qu'un ballon de handball. Les deux ensemble coûtent 56 €. Combien coûte le ballon de handball ?
Si on note \(x\) le prix du ballon de handball (en €), alors le ballon de basket coûte \(x + 12\). La condition donne :
\[ x + (x + 12) = 56 \]
C'est une équation du premier degré à résoudre !
2. Définition – L'équation du premier degré
Définition
Une équation du premier degré à une inconnue est une égalité qui contient une inconnue (souvent notée \(x\)) apparaissant seulement au degré 1 (pas de \(x^2\), pas de \(\frac{1}{x}\)).
Formes courantes :
\(ax = b\) (la plus simple)
\(ax + b = c\)
\(ax + b = cx + d\) (l'inconnue apparaît dans les deux membres)
où \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) sont des nombres connus et \(x\) est l'inconnue à trouver.
Application — Reconnaître une équation du premier degré
Parmi les expressions suivantes, lesquelles sont des équations du premier degré en \(x\) ?
\(3x + 5 = 17\)
\(x^2 = 9\)
\(-2x + 7 = 13\)
\(\dfrac{1}{x} = 3\)
\(7x = 0\)
\(2x - 1 = x + 4\)
1. ✔ Oui — \(x\) apparaît au degré 1. 2. ✘ Non — \(x^2\) : c'est une équation du second degré. 3. ✔ Oui — l'inconnue \(x\) apparaît au degré 1 et son coefficient est négatif. 4. ✘ Non — \(\frac{1}{x}\) n'est pas un terme de degré 1. 5. ✔ Oui — \(7x = 0\) est de la forme \(ax = b\) avec \(b = 0\). 6. ✔ Oui — les deux membres contiennent \(x\) au degré 1 : c'est la forme \(ax + b = cx + d\).
Vocabulaire essentiel
Terme
Signification
Exemple dans \(3x + 5 = 17\)
Inconnue
La quantité à trouver
\(x\)
Solution
La valeur de \(x\) qui rend l'égalité vraie
\(x = 4\)
Vérification
On remplace \(x\) par la solution trouvée
\(3 \times 4 + 5 = 17\) ✔
Membre gauche
Ce qui est à gauche du signe =
\(3x + 5\)
Membre droit
Ce qui est à droite du signe =
\(17\)
La forme la plus simple : \(ax = b\)
\[ ax = b \implies x = \dfrac{b}{a} \quad \text{(si } a \neq 0\text{)} \]
Pour isoler \(x\), on divise les deux membres par \(a\).
Exemple 1
Résoudre \(7x = 35\)
On divise les deux membres par 7 :
\[ x = \frac{35}{7} = 5 \]
Vérification : \(7 \times 5 = 35\) ✔
Exemple 2 – contexte professionnel
Un lot de 8 vis identiques coûte 4,80 €. Quel est le prix d'une vis ?
On pose \(x\) = prix d'une vis (en €). L'équation est : \(8x = 4{,}80\)
\[ x = \frac{4{,}80}{8} = 0{,}60 \text{ €} \]
Vérification : \(8 \times 0{,}60 = 4{,}80\) ✔ Réponse : une vis coûte 0,60 €.
Application — Équation simple \(ax = b\)
Un artisan achète 6 rouleaux identiques de papier adhésif pour un total de 22,20 €. Quel est le prix d'un rouleau ?
Inconnue : \(x\) = prix d'un rouleau (en €).
Équation : \(6x = 22{,}20\)
\[ x = \frac{22{,}20}{6} = 3{,}70 \text{ €} \]
Vérification : \(6 \times 3{,}70 = 22{,}20\) ✔ Réponse : un rouleau coûte 3,70 €.
3. Méthode de résolution d'une équation
Méthode – 5 étapes
Choisir l'inconnue : nommer la quantité cherchée (souvent \(x\)) et préciser son unité.
Écrire l'équation : traduire la situation en une égalité mathématique (mise en équation).
Résoudre l'équation : isoler \(x\) en effectuant les mêmes opérations des deux côtés de l'égalité.
Vérifier la solution : remplacer \(x\) par la valeur trouvée dans l'équation de départ.
Conclure en phrase : répondre à la question posée, en précisant l'unité et en vérifiant que la réponse est cohérente avec le contexte.
Exemple détaillé – résolution de \(ax + b = c\)
Exemple 3 – Sacs d'enduit
Un plaquiste achète plusieurs sacs d'enduit identiques à 8,50 € pièce. Les frais de livraison sont de 15 €.
Il a payé en tout 66 €. Combien a-t-il acheté de sacs ?
Étape 1 – Inconnue : \(x\) = nombre de sacs achetés (entier).
Un installateur thermique pose des radiateurs identiques à 145 € pièce et facture 90 € de main-d'œuvre forfaitaire. La facture totale s'élève à 815 €. Combien de radiateurs a-t-il posés ? (Suis les 5 étapes.)
On peut ajouter ou soustraire un même nombre des deux membres sans changer la solution.
On peut multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul sans changer la solution.
Pour passer un terme de l'autre côté, il change de signe : \(ax + b = c \implies ax = c - b\)
Deux écritures à savoir ramener à la forme \(ax + b = c\)
Beaucoup d'équations ne se présentent pas d'emblée sous une forme connue. Deux gestes suffisent
presque toujours : développer les parenthèses, ou faire disparaître le dénominateur.
Méthode 1 – L'équation contient des parenthèses
On développe d'abord (distributivité), puis on résout comme d'habitude.
\[ 4(x - 5) = 2x + 8 \]
\[ 4x - 20 = 2x + 8 \qquad \text{(on a multiplié 4 par } x \text{ ET par } -5\text{)} \]
\[ 4x - 2x = 8 + 20 \]
\[ 2x = 28 \implies x = 14 \]
Vérification : \(4(14-5) = 4 \times 9 = 36\) et \(2 \times 14 + 8 = 36\) ✔
Attention – le signe « moins » devant une parenthèse
Le facteur devant la parenthèse multiplie chacun des termes qu'elle contient.
Un signe moins change donc tous les signes :
\[ -(x + 6) = -x - 6 \qquad \text{et non} \qquad -x + 6 \]
Méthode 2 – L'équation contient un quotient
Diviser par 3, c'est l'opération inverse de multiplier par 3. On multiplie donc les deux
membres par le dénominateur : il disparaît.
\[ \frac{7x - 2}{4} = 3 \]
\[ 7x - 2 = 3 \times 4 = 12 \qquad \text{(on multiplie les deux membres par 4)} \]
\[ 7x = 14 \implies x = 2 \]
Vérification : \(\dfrac{7 \times 2 - 2}{4} = \dfrac{12}{4} = 3\) ✔
Cas le plus simple : \(\dfrac{x}{8} = 5\) donne directement \(x = 5 \times 8 = 40\).
Cas de deux quotients : le produit en croix
Quand l'équation s'écrit \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\) (avec \(b \neq 0\) et \(d \neq 0\)),
on peut multiplier « en croix » :
\[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff a \times d = b \times c \]
Exemple : \(\dfrac{x+1}{3} = \dfrac{x-3}{2}\) donne \(2(x+1) = 3(x-3)\), soit \(2x + 2 = 3x - 9\),
puis \(x = 11\). Vérification : \(\dfrac{11+1}{3} = 4\) et \(\dfrac{11-3}{2} = 4\) ✔
Application — Résolution d'équations
Résoudre les équations suivantes (penser à vérifier) :
6. On multiplie les deux membres par 5 : \(4x - 2 = 30\) → \(4x = 32\) → \(x = 8\)
Vérification : \(\dfrac{4 \times 8 - 2}{5} = \dfrac{30}{5} = 6\) ✔
4. Traduire un problème par une équation
La partie la plus difficile est souvent de passer de la situation concrète à l'équation.
Voici quelques situations-types que l'on rencontre souvent en atelier ou sur chantier.
Comment mettre en équation — 3 réflexes
Repérer la quantité inconnue (ce qu'on cherche) → lui donner un nom (\(x\)) et préciser l'unité.
Repérer la condition de l'énoncé (ce qui est égal à quoi).
Écrire cette condition sous forme d'équation.
Tableau de traduction — Du français aux maths
Situation professionnelle
Équation type
Prix total = prix unitaire × quantité + frais fixes
\(p \cdot x + f = T\)
Longueur totale = nombre d'éléments × longueur + chute
\(n \cdot x + c = L\)
Durée totale = nombre de tâches × durée unitaire + temps fixe
\(n \cdot t + f = D\)
Bénéfice = prix de vente × quantité − coût total de fabrication
\(p \cdot x - C = B\)
Dans chaque situation, l'inconnue \(x\) (ou \(t\)) représente la quantité à trouver.
Application — Mettre en équation (tours de piste)
Pour son entraînement, Léa parcourt plusieurs tours d'une piste de 400 m, puis termine par une ligne droite de 200 m. Elle a couru 2 200 m en tout. Écris l'équation qui traduit la situation, puis trouve le nombre de tours.
Inconnue : \(x\) = nombre de tours (entier). Équation : \(400x + 200 = 2200\) (longueur totale = nombre de tours \(\times\) 400 + 200) Résolution :
\[ 400x = 2200 - 200 = 2000 \]
\[ x = \frac{2000}{400} = 5 \]
Vérification : \(400 \times 5 + 200 = 2000 + 200 = 2200\) ✔ Réponse : Léa a parcouru 5 tours de piste.
Exemples en contexte professionnel
Exemple 4 – Coût de matériaux
Un panneau de contreplaqué coûte \(x\) euros. Un panneau d'OSB coûte la moitié du prix.
Les deux ensemble coûtent 54 €. Quel est le prix du contreplaqué ?
Exemple 5 – Découpe de planches
On dispose d'une planche de 2,40 m. On veut y découper \(x\) tasseaux de 45 cm et il restera une chute de 15 cm.
Écrire et résoudre l'équation.
Condition (en cm) : \(45x + 15 = 240\)
\[ 45x = 225 \implies x = 5 \]
Vérification : \(45 \times 5 + 15 = 225 + 15 = 240\) ✔
On peut découper 5 tasseaux.
Exemple 6 – Durée de fabrication
Un ébéniste fabrique des cadres de miroir. Chaque cadre prend \(x\) minutes. Après avoir fabriqué 7 cadres,
il passe encore 25 minutes à poncer. Il a travaillé 4 h en tout (240 min). Trouver la durée d'un cadre.
Équation : \(7x + 25 = 240\)
\[ 7x = 215 \implies x \approx 30{,}7 \text{ min} \]
Chaque cadre prend environ 31 minutes.
Ici la durée n'est pas forcément un entier — une réponse approchée est acceptable.
Exemple 7 – Prix de vente
Un artisan veut vendre des étagères. Son coût de fabrication par étagère est de 35 €.
Il veut réaliser un bénéfice de 420 € en vendant 12 étagères. Quel prix de vente doit-il fixer ?
On pose \(x\) = prix de vente (en €). Bénéfice = revenus − coûts.
\[ 12x - 12 \times 35 = 420 \]
\[ 12x - 420 = 420 \]
\[ 12x = 840 \implies x = 70 \text{ €} \]
Vérification : \(12 \times 70 - 420 = 840 - 420 = 420\) ✔
Il doit vendre chaque étagère 70 €.
Résolution du problème de Tom (situation d'introduction)
Solution complète
Planche de 240 cm, 5 planches découpées, chute de 15 cm.
Inconnue : \(x\) = longueur d'une planche découpée (en cm).
Équation : \(5x + 15 = 240\)
\[ 5x = 225 \implies x = 45 \text{ cm} \]
Vérification : \(5 \times 45 + 15 = 225 + 15 = 240\) ✔ Conclusion : Tom doit découper des planches de 45 cm.
À retenir — Cohérence de la solution avec le contexte
La solution mathématique doit toujours être interprétée selon la situation réelle :
Si on cherche un nombre d'objets (planches, vis, poignées…), la réponse doit être un entier positif.
Si la solution trouvée n'est pas entière, il faut vérifier les données de l'énoncé — une erreur est peut-être présente.
Si la solution est négative ou irréaliste, il faut en signaler l'incohérence.
Exemple : Si on trouve \(x = 4{,}7\) planches, on ne peut pas conclure « 4 planches » sans expliquer pourquoi. Il faut d'abord vérifier si les données de l'énoncé sont cohérentes.
Application — Commande de prises électriques
Un électricien commande des prises murales à 3,50 € pièce. Les frais de port s'élèvent à 8 €. Sa commande totale est de 57 €. Combien a-t-il commandé de prises ?
Toujours vérifier et conclure en phrase avec l'unité
Les 5 étapes pour résoudre un problème
Choisir et nommer l'inconnue (avec unité)
Écrire l'équation
Résoudre
Vérifier
Conclure en phrase avec l'unité — et vérifier la cohérence
Trois méthodes, un seul résultat
Calcul algébrique : donne la valeur exacte — c'est la méthode de référence.
Grapheur : la solution est l'abscisse du point d'intersection des deux droites — valeur lue, donc approchée.
Tableur : on dresse une table de valeurs et on cherche la ligne qui donne le résultat voulu — utile pour vérifier ou encadrer.
6. Erreurs fréquentes à éviter
Erreurs fréquentes
❌
Mauvaise traduction du problème
Lire l'énoncé trop vite et poser une équation qui ne correspond pas à la situation.
Conseil : relire l'énoncé phrase par phrase et vérifier que chaque terme de l'équation a bien un sens concret.
❌
Oublier de vérifier la solution
On résout, on trouve \(x = \ldots\), et on ne vérifie pas en remplaçant dans l'équation de départ.
Conseil : toujours faire la vérification avant de conclure — c'est rapide et évite les erreurs de calcul.
❌
Ne pas interpréter la solution dans le contexte
Donner \(x = 4{,}7\) comme réponse quand on cherche un nombre de planches (forcément entier), sans signaler le problème.
Conseil : la réponse doit toujours être cohérente avec la réalité du problème.
❌
Signe moins perdu lors de la résolution
Exemple : \(5x + 3 = -12\) → on oublie le signe négatif et on écrit \(5x = 3 + 12\) au lieu de \(5x = -12 - 3\).
Conseil : réécrire chaque étape clairement et conserver les signes négatifs.
7. Résolution graphique et numérique
Une équation peut se résoudre par le calcul algébrique, comme on vient de le voir — mais le programme
demande aussi de savoir la résoudre graphiquement ou avec un outil numérique (grapheur, tableur).
Ces méthodes sont complémentaires : la lecture graphique donne une valeur approchée et un sens visuel, le calcul donne la valeur exacte.
Principe de la résolution graphique
On peut résoudre une équation \(ax + b = c\) en représentant les deux droites \(y = ax + b\) et \(y = c\) sur un grapheur.
La solution est l'abscisse du point d'intersection des deux droites.
Outils : GeoGebra (gratuit en ligne), Desmos, ou la calculatrice (mode grapheur).
Résoudre \(2x - 5 = 0\) revient à trouver l'abscisse du point où la droite \(y = 2x - 5\) coupe l'axe des abscisses (la droite \(y = 0\)).
La droite bleue coupe la droite rouge (\(y=0\)) au point d'abscisse \(x = 2{,}5\), ce qui confirme la solution algébrique \(\left(\dfrac{5}{2} = 2{,}5\right)\).
Résolution numérique : la table de valeurs d'un tableur
Un tableur permet de tester beaucoup de valeurs d'un coup. On écrit les valeurs de
\(x\) dans une colonne, la formule dans une autre, et on cherche la ligne qui donne le résultat voulu.
Méthode – résoudre \(18x + 60 = 348\) au tableur
Une salle de sport facture 60 € d'inscription, puis 18 € par séance de coaching. Une adhérente
a payé 348 € : combien de séances a-t-elle prises ?
En colonne A, on saisit des valeurs de \(x\) (ici le nombre de séances) :
8, 12, 16, 20.
En B2, on saisit la formule =18*A2+60, puis on la recopie vers le bas.
On lit la ligne où la colonne B affiche 348 : la valeur de A correspondante est la solution.
A — \(x\) (séances)
B — \(18x + 60\) (€)
2
8
204
3
12
276
4
16
348
5
20
420
La ligne 4 donne exactement 348 € : la solution est \(x = 16\) séances.
Ce que ces méthodes prouvent — et ne prouvent pas
Une lecture graphique dépend de l'épaisseur du trait et de la finesse des graduations : on n'obtient
jamais mieux qu'une valeur approchée. Une table de valeurs, elle, n'explore que les nombres
qu'on a pris la peine d'écrire — la solution peut très bien tomber entre deux lignes et rester
invisible.
Autrement dit : ces deux outils confirment ou encadrent un résultat,
mais c'est le calcul algébrique qui l'établit exactement.
Application — Lire une solution graphiquement, la vérifier au tableur
Sur un grapheur, on trace les droites \(y = 2x + 1\) et \(y = 7\). Elles se croisent en un seul point.
Quelle est l'abscisse de ce point ? De quelle équation est-ce la solution ?
Sur un tableur, on saisit 1, 2, 3, 4 en colonne A et la formule =2*A2+1 en B2, recopiée vers le bas. Quelles valeurs affiche la colonne B ? Sur quelle ligne lit-on 7 ?
1. Au point d'intersection, les deux droites ont la même ordonnée, donc \(2x + 1 = 7\).
On lit l'abscisse de ce point : \(x = 3\) (le point d'intersection est \((3\,;\,7)\)). Vérification : \(2 \times 3 + 1 = 7\) ✔
C'est la solution de l'équation \(2x + 1 = 7\), soit \(\mathbf{x = 3}\).
2. La colonne B affiche 3 ; 5 ; 7 ; 9. La valeur 7 apparaît sur la
ligne où A vaut 3 : le tableur confirme \(x = 3\).
Animation — Résoudre une équation étape par étape
Choisis les coefficients d'une équation \(ax + b = c\) et observe les étapes de résolution.
Simulations interactives
Entraîne-toi avec les outils interactifs de ce chapitre :