Chapitre 5 – Équations du premier degré

Seconde Bac Pro MAMA | Agencement · Menuiserie · Ameublement | Mathématiques

Dernière mise à jour : 11 mai 2026

Ce que tu vas savoir faire à la fin de ce chapitre :

Résoudre une équation de la forme \(ax = b\) ou \(ax + b = c\)
Traduire une situation concrète par une équation du premier degré
Vérifier une solution et conclure dans le contexte professionnel
Utiliser une calculatrice ou un grapheur pour vérifier une solution

Situation d'accroche

Métier : Tom, apprenti menuisier en atelier Chantier : Fabrication d'étagères sur mesure pour une bibliothèque de salon Mission : Tom doit découper 5 planches de longueur identique dans une planche brute de 240 cm. Il sait qu'une chute de 15 cm est inévitable en bout de planche. Question : Quelle longueur doit avoir chaque planche découpée ?

Schéma de découpe : 5 planches de longueur inconnue x + une chute de 15 cm = 240 cm au total

Ce problème sera résolu étape par étape au cours de ce chapitre.

1. Introduction – Pourquoi les équations ?

Dans ton futur métier, tu vas souvent devoir calculer une quantité inconnue à partir de conditions connues. Par exemple : combien de planches peut-on découper ? Quel prix de vente faut-il fixer ? Quelle longueur de tasseaux commander ?

Les équations du premier degré sont les outils mathématiques qui permettent de répondre à ces questions de façon rigoureuse.

Exemple de la vie courante
Un rabot coûte 12 € de plus qu'un ciseau à bois. Les deux ensemble coûtent 56 €. Combien coûte le ciseau ?
Si on note \(x\) le prix du ciseau (en €), alors le rabot coûte \(x + 12\). La condition donne : \[ x + (x + 12) = 56 \] C'est une équation du premier degré à résoudre !

2. Définition – L'équation du premier degré

Définition
Une équation du premier degré à une inconnue est une égalité qui contient une inconnue (souvent notée \(x\)) apparaissant seulement au degré 1 (pas de \(x^2\), pas de \(\frac{1}{x}\)).

Formes courantes :

\(ax = b\) (la plus simple)
\(ax + b = c\)
\(ax + b = cx + d\)

où \(a, b, c, d\) sont des nombres connus et \(x\) est l'inconnue à trouver.

Application — Reconnaître une équation du premier degré

Parmi les expressions suivantes, lesquelles sont des équations du premier degré en \(x\) ?

\(3x + 5 = 17\)
\(x^2 = 9\)
\(2x - 1 = x + 4\)
\(\dfrac{1}{x} = 3\)
\(7x = 0\)

1. ✔ Oui — \(x\) apparaît au degré 1.
2. ✘ Non — \(x^2\) : c'est une équation du second degré.
3. ✔ Oui — les deux membres contiennent \(x\) au degré 1.
4. ✘ Non — \(\frac{1}{x}\) n'est pas un terme de degré 1.
5. ✔ Oui — \(7x = 0\) est de la forme \(ax = b\) avec \(b = 0\).

Vocabulaire essentiel

Terme	Signification	Exemple dans \(3x + 5 = 17\)
Inconnue	La quantité à trouver	\(x\)
Solution	La valeur de \(x\) qui rend l'égalité vraie	\(x = 4\)
Vérification	On remplace \(x\) par la solution trouvée	\(3 \times 4 + 5 = 17\) ✔
Membre gauche	Ce qui est à gauche du signe =	\(3x + 5\)
Membre droit	Ce qui est à droite du signe =	\(17\)

La forme la plus simple : \(ax = b\)

\[ ax = b \implies x = \dfrac{b}{a} \quad \text{(si } a \neq 0\text{)} \] Pour isoler \(x\), on divise les deux membres par \(a\).

Exemple 1
Résoudre \(7x = 35\)

On divise les deux membres par 7 : \[ x = \frac{35}{7} = 5 \] Vérification : \(7 \times 5 = 35\) ✔

Exemple 2 – contexte professionnel
Un lot de 8 vis identiques coûte 4,80 €. Quel est le prix d'une vis ?

On pose \(x\) = prix d'une vis (en €). L'équation est : \(8x = 4{,}80\) \[ x = \frac{4{,}80}{8} = 0{,}60 \text{ €} \] Vérification : \(8 \times 0{,}60 = 4{,}80\) ✔
Réponse : une vis coûte 0,60 €.

Application — Équation simple \(ax = b\)

Un artisan achète 6 rouleaux identiques de papier adhésif pour un total de 22,20 €. Quel est le prix d'un rouleau ?

Inconnue : \(x\) = prix d'un rouleau (en €).
Équation : \(6x = 22{,}20\)
\[ x = \frac{22{,}20}{6} = 3{,}70 \text{ €} \] Vérification : \(6 \times 3{,}70 = 22{,}20\) ✔
Réponse : un rouleau coûte 3,70 €.

3. Méthode de résolution d'une équation

Méthode – 5 étapes

Choisir l'inconnue : nommer la quantité cherchée (souvent \(x\)) et préciser son unité.
Écrire l'équation : traduire la situation en une égalité mathématique (mise en équation).
Résoudre l'équation : isoler \(x\) en effectuant les mêmes opérations des deux côtés de l'égalité.
Vérifier la solution : remplacer \(x\) par la valeur trouvée dans l'équation de départ.
Conclure en phrase : répondre à la question posée, en précisant l'unité et en vérifiant que la réponse est cohérente avec le contexte.

Exemple détaillé – résolution de \(ax + b = c\)

Exemple 3 – Planches de bois
Un artisan achète plusieurs planches identiques à 8,50 € pièce. Les frais de livraison sont de 15 €. Il a payé en tout 66 €. Combien a-t-il acheté de planches ?

Étape 1 – Inconnue : \(x\) = nombre de planches achetées (entier).

Étape 2 – Équation : \[ 8{,}50x + 15 = 66 \] Étape 3 – Résolution : \[ 8{,}50x = 66 - 15 = 51 \] \[ x = \frac{51}{8{,}50} = 6 \] Étape 4 – Vérification : \[ 8{,}50 \times 6 + 15 = 51 + 15 = 66 \text{ ✔} \] Étape 5 – Conclusion : L'artisan a acheté 6 planches.

Propriétés – règles de calcul

On peut ajouter ou soustraire un même nombre des deux membres sans changer la solution.
On peut multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul sans changer la solution.
Pour passer un terme de l'autre côté, il change de signe : \(ax + b = c \implies ax = c - b\)

Application — Résolution d'équations

Résoudre les équations suivantes (penser à vérifier) :

\(6x - 9 = 21\)
\(4x - 7 = x + 8\)

1. \(6x = 21 + 9 = 30\) → \(x = \dfrac{30}{6} = 5\)
Vérification : \(6 \times 5 - 9 = 30 - 9 = 21\) ✔

2. \(4x - x = 8 + 7\) → \(3x = 15\) → \(x = 5\)
Vérification : \(4 \times 5 - 7 = 13\) et \(5 + 8 = 13\) ✔

4. Traduire un problème par une équation

La partie la plus difficile est souvent de passer de la situation concrète à l'équation. Voici quelques situations-types que l'on rencontre souvent en atelier ou sur chantier.

Comment mettre en équation — 3 réflexes

Repérer la quantité inconnue (ce qu'on cherche) → lui donner un nom (\(x\)) et préciser l'unité.
Repérer la condition de l'énoncé (ce qui est égal à quoi).
Écrire cette condition sous forme d'équation.

Tableau de traduction — Du français aux maths

Situation professionnelle	Équation type
Prix total = prix unitaire × quantité + frais fixes	\(p \cdot x + f = T\)
Longueur totale = nombre d'éléments × longueur + chute	\(n \cdot x + c = L\)
Durée totale = nombre de tâches × durée unitaire + temps fixe	\(n \cdot t + f = D\)
Bénéfice = prix de vente × quantité − coût total de fabrication	\(p \cdot x - C = B\)

Dans chaque situation, l'inconnue \(x\) (ou \(t\)) représente la quantité à trouver.

Exemples en contexte professionnel

Exemple 4 – Coût de matériaux
Un panneau de contreplaqué coûte \(x\) euros. Un panneau d'OSB coûte la moitié moins cher. Les deux ensemble coûtent 54 €. Quel est le prix du contreplaqué ?

Prix du panneau OSB : \(\dfrac{x}{2}\)
Condition : \(x + \dfrac{x}{2} = 54\) \[ \frac{3x}{2} = 54 \implies x = \frac{54 \times 2}{3} = 36 \text{ €} \] Le contreplaqué coûte 36 €, l'OSB coûte 18 €.
Vérification : \(36 + 18 = 54\) ✔

Exemple 5 – Découpe de planches
On dispose d'une planche de 2,40 m. On veut y découper \(x\) tasseaux de 45 cm et il restera une chute de 15 cm. Écrire et résoudre l'équation.

Condition (en cm) : \(45x + 15 = 240\) \[ 45x = 225 \implies x = 5 \] Vérification : \(45 \times 5 + 15 = 225 + 15 = 240\) ✔
On peut découper 5 tasseaux.

Exemple 6 – Durée de fabrication
Un ébéniste fabrique des cadres de miroir. Chaque cadre prend \(x\) minutes. Après avoir fabriqué 7 cadres, il passe encore 25 minutes à poncer. Il a travaillé 4 h en tout (240 min). Trouver la durée d'un cadre.

Équation : \(7x + 25 = 240\) \[ 7x = 215 \implies x \approx 30{,}7 \text{ min} \] Chaque cadre prend environ 31 minutes.
Ici la durée n'est pas forcément un entier — une réponse approchée est acceptable.

Exemple 7 – Prix de vente
Un artisan veut vendre des étagères. Son coût de fabrication par étagère est de 35 €. Il veut réaliser un bénéfice de 420 € en vendant 12 étagères. Quel prix de vente doit-il fixer ?

On pose \(x\) = prix de vente (en €). Bénéfice = revenus − coûts. \[ 12x - 12 \times 35 = 420 \] \[ 12x - 420 = 420 \] \[ 12x = 840 \implies x = 70 \text{ €} \] Vérification : \(12 \times 70 - 420 = 840 - 420 = 420\) ✔
Il doit vendre chaque étagère 70 €.

Résolution du problème de Tom (situation d'introduction)

Solution complète
Planche de 240 cm, 5 planches découpées, chute de 15 cm.

Inconnue : \(x\) = longueur d'une planche découpée (en cm).
Équation : \(5x + 15 = 240\) \[ 5x = 225 \implies x = 45 \text{ cm} \] Vérification : \(5 \times 45 + 15 = 225 + 15 = 240\) ✔
Conclusion : Tom doit découper des planches de 45 cm.

À retenir — Cohérence de la solution avec le contexte

La solution mathématique doit toujours être interprétée selon la situation réelle :

Si on cherche un nombre d'objets (planches, vis, poignées…), la réponse doit être un entier positif.
Si la solution trouvée n'est pas entière, il faut vérifier les données de l'énoncé — une erreur est peut-être présente.
Si la solution est négative ou irréaliste, il faut en signaler l'incohérence.

Exemple : Si on trouve \(x = 4{,}7\) planches, on ne peut pas conclure « 4 planches » sans expliquer pourquoi. Il faut d'abord vérifier si les données de l'énoncé sont cohérentes.

Application — Commande de poignées

Un menuisier commande des poignées de meuble à 3,50 € pièce. Les frais de port s'élèvent à 8 €. Sa commande totale est de 57 €. Combien a-t-il commandé de poignées ?

Inconnue : \(x\) = nombre de poignées commandées (entier).
Équation : \(3{,}50x + 8 = 57\)
Résolution : \[ 3{,}50x = 57 - 8 = 49 \] \[ x = \frac{49}{3{,}50} = 14 \] Vérification : \(3{,}50 \times 14 + 8 = 49 + 8 = 57\) ✔
Conclusion : Le menuisier a commandé 14 poignées.

5. À retenir

Récapitulatif du chapitre

Équation du premier degré

Forme : \(ax + b = c\) → résoudre en isolant \(x\)
Solution unique : \(x = \dfrac{c-b}{a}\) (si \(a \neq 0\))
Toujours vérifier et conclure en phrase avec l'unité

Les 5 étapes pour résoudre un problème

Choisir et nommer l'inconnue (avec unité)
Écrire l'équation
Résoudre
Vérifier
Conclure en phrase avec l'unité — et vérifier la cohérence

6. Erreurs fréquentes à éviter

Erreurs fréquentes

❌

Mauvaise traduction du problème
Lire l'énoncé trop vite et poser une équation qui ne correspond pas à la situation.
Conseil : relire l'énoncé phrase par phrase et vérifier que chaque terme de l'équation a bien un sens concret.

❌

Oublier de vérifier la solution
On résout, on trouve \(x = \ldots\), et on ne vérifie pas en remplaçant dans l'équation de départ.
Conseil : toujours faire la vérification avant de conclure — c'est rapide et évite les erreurs de calcul.

❌

Ne pas interpréter la solution dans le contexte
Donner \(x = 4{,}7\) comme réponse quand on cherche un nombre de planches (forcément entier), sans signaler le problème.
Conseil : la réponse doit toujours être cohérente avec la réalité du problème.

❌

Signe moins perdu lors de la résolution
Exemple : \(5x + 3 = -12\) → on oublie le signe négatif et on écrit \(5x = 3 + 12\) au lieu de \(5x = -12 - 3\).
Conseil : réécrire chaque étape clairement et conserver les signes négatifs.

7. Résolution graphique

Une équation peut se résoudre par le calcul algébrique, comme on vient de le voir — mais elle peut aussi être visualisée et vérifiée graphiquement. C'est une approche complémentaire, utile pour contrôler un résultat ou pour comprendre ce que signifie « résoudre une équation » géométriquement.

Principe de la résolution graphique

On peut résoudre une équation \(ax + b = c\) en représentant les deux fonctions \(y = ax + b\) et \(y = c\) sur un grapheur. La solution est l'abscisse du point d'intersection des deux droites.

Outils : GeoGebra (gratuit en ligne), Desmos, ou la calculatrice (mode grapheur).

Résoudre \(2x - 5 = 0\) revient à trouver l'abscisse du point où la droite \(f(x) = 2x - 5\) coupe l'axe des abscisses (\(y = 0\)).

La droite bleue coupe l'axe rouge (\(y=0\)) en \(x = 2{,}5\), confirmant la solution algébrique \(\left(\dfrac{5}{2} = 2{,}5\right)\).

Animation — Résoudre une équation étape par étape

Choisis les coefficients d'une équation \(ax + b = c\) et observe les étapes de résolution.

a = 2 b = -5 c = 3

Simulations interactives

Entraîne-toi avec les outils interactifs de ce chapitre :

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