Comprendre la différence entre une équation et une inéquation
Utiliser les symboles \(<\), \(>\), \(\leq\), \(\geq\) correctement
Résoudre une inéquation du premier degré, par le calcul ou graphiquement
Exprimer la solution sous forme d'intervalle
Représenter la solution sur une droite graduée
Traduire une contrainte professionnelle par une inéquation
📝 Mode d'emploi : Résous chaque exercice dans la zone prévue, puis clique sur "Voir la correction" pour vérifier ton travail.
Les exercices sont classés du plus simple au plus complexe.
Exercices guidés pas à pas
Exercice 0-1Comprendre les intervalles
Pour chaque inégalité, écrire la solution sous forme d'intervalle.
a) \(x \geq 4\)
b) \(x < -2\)
c) \(x \leq 7\)
d) \(-1 \leq x < 5\)
a) \(x \geq 4\) → \([4 ; +\infty[\) — crochet fermé en 4 (inclus).
b) \(x < -2\) → \(]-\infty ; -2[\) — crochet ouvert en −2 (exclu).
c) \(x \leq 7\) → \(]-\infty ; 7]\) — crochet fermé en 7 (inclus).
d) \(-1 \leq x < 5\) → \([-1 ; 5[\) — fermé en −1, ouvert en 5.
📌 Rappel : [ ou ] = valeur incluse (≤ ou ≥).
Crochet inversé ] ou [ = valeur exclue (< ou >).
Les infinis sont toujours avec un crochet ouvert.
Exercice 1-1Lire et compléter un tableau d'intervallesSocle
Compléter le tableau :
Condition sur \(x\)
Intervalle
Crochet en a ou b
\(x > 3\)
…
…
\(x \leq -1\)
…
…
\(2 \leq x < 8\)
…
…
\(-5 < x \leq 0\)
…
…
\(x \geq 0\)
…
…
Condition
Intervalle
Crochet
\(x > 3\)
\(]3 ; +\infty[\)
Ouvert en 3 (exclu)
\(x \leq -1\)
\(]-\infty ; -1]\)
Fermé en −1 (inclus)
\(2 \leq x < 8\)
\([2 ; 8[\)
Fermé en 2, ouvert en 8
\(-5 < x \leq 0\)
\(]-5 ; 0]\)
Ouvert en −5, fermé en 0
\(x \geq 0\)
\([0 ; +\infty[\)
Fermé en 0 (inclus)
Exercice 1-2Résoudre une inéquation — méthode détailléeSocle
Méthode Comme pour une équation, on isole \(x\) — mais attention :
• Si on multiplie ou divise par un nombre négatif, le sens de l’inégalité s’inverse.
• \(\leq\) devient \(\geq\), et < devient >.
⚠ Règle importante : si on divise par un nombre négatif, on inverse le signe :
\(-3x \geq 12\) donne \(x \leq \dfrac{12}{-3} = -4\) — le \(\geq\) est devenu \(\leq\) !
a) \(-2x \leq 8\)
On divise par …… (négatif → on inverse) → \(x \) …… \(\dfrac{8}{\ldots} = \) ……
b) \(-4x + 12 > 0\)
Étape 1 : \(-4x > 0 - 12 = \) ……
Étape 2 : \(x\) …… \(\dfrac{-12}{-4} = \) …… (on inverse le signe)
a) \(-5x \geq 20\) → on divise par \(-5\) (négatif) → \(x \leq -4\). Solution : \(]-\infty ; -4]\).
b) \(-3x < 9\) → on divise par \(-3\) (négatif) → \(x > -3\). Solution : \(]-3 ; +\infty[\).
c) \(-6x \leq 12\) → on divise par \(-6\) (négatif) → \(x \geq -2\). Solution : \([-2 ; +\infty[\).
Exercice 1-7Représenter sur une droite graduée — guidéSocle
Pour chaque inéquation, résoudre puis représenter la solution sur la droite graduée.
Rappel : on colorie la partie de la droite qui correspond aux solutions.
Un rond plein ● = valeur incluse (≤ ou ≥). Un rond vide ○ = valeur exclue (< ou >).
a) \(3x - 3 \leq 12\)
Résolution : \(x \leq\) ……
Droite : tracer de …… vers la gauche avec un rond …… en ……
b) \(2x + 1 > 7\)
Résolution : \(x >\) ……
Droite : tracer de …… vers la droite avec un rond …… en ……
a) \(3x \leq 15\) → \(x \leq 5\). Intervalle : \(]-\infty ; 5]\).
Sur la droite : rond plein ● en 5, on colorie vers la gauche (flèche vers \(-\infty\)).
b) \(2x > 6\) → \(x > 3\). Intervalle : \(]3 ; +\infty[\).
Sur la droite : rond vide ○ en 3, on colorie vers la droite (flèche vers \(+\infty\)).
Exercice 1-8Budget pour des pots de peinture — guidéSocle
🏠 Quotidien — Décoration
Tu veux repeindre ta chambre. Chaque pot de peinture coûte 14 € et tu dois aussi acheter un rouleau à 8 €.
Tu disposes de 80 €.
Étape 1 — Mise en inéquation :
On appelle \(x\) le nombre de pots. La dépense totale doit être ≤ 80 € :
…… × \(x\) + …… \(\leq\) ……
Étape 2 : diviser par 2 partout :
\(\dfrac{\ldots}{2} \leq x \leq \dfrac{\ldots}{2}\)
…… \(\leq x \leq\) ……
Solution en intervalle : \([\ldots ; \ldots]\)
Étape 1 : \(-10 \leq 2x \leq 8\)
Étape 2 : \(-5 \leq x \leq 4\)
Solution : \([-5 ; 4]\)
📌 Astuce : dans une double inéquation, on applique la même opération aux trois parties.
Exercice 1-10Score minimum au sport — guidéSocle
🏃 Sport — Course à pied
En course à pied, un athlète parcourt chaque tour de piste en 4 minutes.
Il a déjà couru pendant 12 minutes et il veut courir au moins 40 minutes au total.
Étape 1 — Mise en inéquation :
On appelle \(x\) le nombre de tours restants. Le temps total doit être ≥ 40 :
…… × \(x\) + …… \(\geq\) ……
Conclusion : Il faut au minimum 13 panneaux (on arrondit au-dessus car on ne peut pas acheter un demi-panneau). Vérif : \(1{,}2 \times 13 = 15{,}6 \geq 15\) ✔
La température \(T\) dans un atelier de séchage du bois est régulée par la formule \(T = 3h + 12\) (en °C), où \(h\) est le nombre d'heures de fonctionnement du chauffage.
Conclusion : L'élève peut acheter au maximum …… cahiers.
Étape 1 : \(3{,}5x + 15 \leq 50\)
Étape 2 : \(3{,}5x \leq 50 - 15 = 35\)
Étape 3 : \(x \leq \dfrac{35}{3{,}5} = 10\)
Conclusion : L'élève peut acheter au maximum 10 cahiers. Solution : \(x \in [0 ; 10]\) (valeurs entières).
📌 Vérif : \(3{,}5 \times 10 + 15 = 50\) ✔ — le budget est exactement atteint.
Exercice 1-18Coût d'une découpe — devis menuiserie — guidéSocle
📐 Menuiserie — Devis
Un menuisier facture une prestation de découpe au laser. Le coût total \(C\) (en euros) est donné par \(C = 0{,}5\ell + 2\), où \(\ell\) est la longueur de coupe en centimètres (le \(+\,2\) correspond à un forfait de mise en service de la machine).
Le client dispose d'un budget de 40 €, donc on doit avoir \(C \leq 40\).
Conclusion : La longueur de coupe maximale est de …… cm. Solution en intervalle : ……
Étape 1 : \(0{,}5\ell + 2 \leq 40\)
Étape 2 : \(0{,}5\ell \leq 38\)
Étape 3 : \(\ell \leq \dfrac{38}{0{,}5} = 76\)
Conclusion : La longueur de coupe maximale est de 76 cm. Solution : \(\ell \in [0 ; 76]\).
📌 Vérif : \(C = 0{,}5 \times 76 + 2 = 40\) € ✔ — pile le budget. Ici le coût est bien proportionnel à la longueur (expression du premier degré), contrairement à une distance de freinage qui, elle, croît avec le carré de la vitesse.
Exercice 1-19Mur en blocs béton — combien d'assises ?Socle
Un maçon monte un mur de clôture en blocs béton. Il pose d'abord un lit de mortier (une couche de mortier qui rattrape les défauts de la fondation), puis il empile les blocs. Une assise — une rangée de blocs — est formée d'un bloc et de son joint de mortier.
Détail d'exécution du mur (schéma de principe, non à l'échelle) : le nombre d'assises n'est pas représenté.
Donnée
Valeur
Hauteur d'un bloc
20 cm
Épaisseur d'un joint
1 cm
Lit de mortier (sous la 1re assise)
4 cm
Hauteur minimale du mur
210 cm
On appelle \(x\) le nombre d'assises. Chaque assise ajoute donc 21 cm de hauteur.
Étape 1 — Mise en inéquation :
La hauteur du mur doit être au moins égale à 210 cm :
…… \(\times\, x\, +\) …… \(\geq\) ……
Étape 3 — Conclusion : le nombre d'assises est un nombre entier. Comme il faut au moins 9,81 assise, on arrondit à l'entier supérieur : il faut monter 10 assises.
Vérification : avec 10 assises, \(21 \times 10 + 4 = \mathbf{214}\) cm \(\geq 210\) cm ✓ ;
avec 9 assises, \(21 \times 9 + 4 = 193\) cm \(\lt 210\) cm ✗ — le mur serait trop bas.
📌 Attention au sens de l'arrondi ! Pour une contrainte « au moins » (\(\geq\)), on arrondit au-dessus. Pour une contrainte « au plus » (\(\leq\), un budget par exemple), on arrondit en dessous.
Exercice 1-20Chaudière à granulés — quand recommander ?Socle
Un installateur de chaudières conseille un client dont le silo (la réserve de granulés de bois) vient d'être rempli. En hiver, la chaudière consomme une masse constante de granulés chaque jour. Le fournisseur livre en une quinzaine de jours : il faut donc passer commande tant qu'il reste au moins 400 kg dans le silo.
Donnée
Valeur
Silo plein
2 500 kg
Consommation par jour
25 kg
Réserve à conserver
400 kg
On appelle \(j\) le nombre de jours écoulés depuis le remplissage. La masse de granulés restante, en kilogrammes, est : \(2\,500 - 25j\).
⚠ Rappel : quand on divise les deux membres par un nombre négatif, le sens de l'inégalité s'inverse (\(\geq\) devient \(\leq\)).
Étape 1 — Mise en inéquation :
La masse restante doit être supérieure ou égale à 400 kg :
\(2\,500 - 25j \geq\) ……
Étape 2 — Isoler le terme en \(j\) :
\(-25j \geq 400 - 2\,500 = \) ……
Étape 3 — Diviser par \(-25\) :
On divise par …… (négatif → on inverse) → \(j\) …… \(\dfrac{\ldots}{-25} = \) ……
Étape 4 — Conclusion :
Le client doit commander au plus tard le …… e jour. Solution en intervalle : ……
Étape 1 — Inéquation : \(2\,500 - 25j \geq 400\)
Étape 2 :
\[-25j \geq 400 - 2\,500\]
\[-25j \geq -2\,100\]
Étape 3 : on divise les deux membres par \(-25\), qui est négatif → le sens de l'inégalité s'inverse :
\[j \leq \frac{-2\,100}{-25} = \mathbf{84}\]
Étape 4 — Conclusion : le client peut attendre 84 jours au maximum avant de commander. Comme un nombre de jours est positif, la solution dans le contexte est \(j \in [0\,;\,84]\) (l'ensemble solution de l'inéquation est \(S = \left]-\infty\,;\,84\right]\)).
Vérification : au 84e jour, il reste \(2\,500 - 25 \times 84 = 2\,500 - 2\,100 = \mathbf{400}\) kg — exactement la réserve demandée ✓ ;
au 85e jour, il reste \(2\,500 - 2\,125 = 375\) kg \(\lt 400\) kg ✗ — la commande est passée trop tard.
Exercice 1-21Passage accessible — quelle épaisseur d'isolant ?Socle
Un technicien d'études du bâtiment vérifie un projet de rénovation énergétique. Dans cette maison, un passage couvert et chauffé relie l'habitation au garage. Ses deux murs longitudinaux donnent sur l'extérieur : ce sont deux murs de façade, aujourd'hui sans isolation. L'entreprise va les doubler par l'intérieur, tous les deux, pour arrêter les déperditions.
Un des occupants se déplace en fauteuil roulant. Le maître d'ouvrage impose donc que ce passage conserve une largeur libre d'au moins 0,90 m — c'est aussi la largeur minimale exigée par la réglementation accessibilité dans les circulations intérieures des logements neufs.
Le passage mesure 1,20 m entre murs bruts. Sur chacun des deux murs de façade, l'entreprise pose un doublage : un isolant d'épaisseur \(x\) cm, recouvert d'une plaque de plâtre de 1,3 cm. Chaque doublage rogne donc la largeur du passage.
Coupe horizontale du passage maison-garage (schéma de principe, non à l'échelle) : ses deux murs sont des murs de façade, doublés côté intérieur ; la largeur finie \(L\) du passage est à déterminer.
Donnée
Valeur
Largeur du passage entre murs bruts
120 cm
Épaisseur de l'isolant (inconnue)
\(x\) cm
Épaisseur d'une plaque de plâtre
1,3 cm
Nombre de murs de façade doublés
2
Largeur de passage minimale (logement)
90 cm
⚠ Rappel : quand on divise les deux membres par un nombre négatif, le sens de l'inégalité s'inverse (\(\geq\) devient \(\leq\)).
Étape 1 — Épaisseur d'un doublage :
isolant + plaque = …… \(+\ 1{,}3\) (en cm)
Étape 2 — Largeur finie du passage :
On retire un doublage de chaque côté :
\(L = 120 - 2 \times (\ldots\ldots) = \ldots\ldots - 2x\)
Étape 3 — Mise en inéquation :
Le passage doit mesurer au moins 90 cm :
\(\ldots\ldots - 2x \geq \ldots\ldots\)
Étape 4 — Résolution :
\(-2x \geq 90 - 117{,}4 = \ldots\ldots\)
On divise par \(-2\) (négatif → on inverse) → \(x\) …… ……
Étape 5 — Conclusion :
L'isolant peut mesurer au plus …… cm. L'entreprise hésite entre un isolant de 12 cm et un isolant de 16 cm : lequel (ou lesquels) peut-elle poser ?
Étape 1 : un doublage mesure \(x + 1{,}3\) cm d'épaisseur.
Étape 2 : il y a un doublage de chaque côté, on retire donc deux fois cette épaisseur :
Étape 3 — Inéquation : la largeur finie doit être supérieure ou égale à 90 cm :
\[117{,}4 - 2x \geq 90\]
Étape 4 : on isole le terme en \(x\) :
\[-2x \geq 90 - 117{,}4\]
\[-2x \geq -27{,}4\]
On divise les deux membres par \(-2\), qui est négatif → le sens de l'inégalité s'inverse :
\[x \leq \frac{-27{,}4}{-2} = \mathbf{13{,}7}\]
Ensemble solution de l'inéquation : \(S = \left]-\infty\,;\,13{,}7\right]\). Une épaisseur d'isolant est positive : dans le contexte, \(x \in \left]0\,;\,13{,}7\right]\).
Étape 5 — Conclusion : l'isolant peut mesurer au plus 13,7 cm.
Isolant de 12 cm : \(12 \leq 13{,}7\) ✓ — la largeur finie vaut \(117{,}4 - 2 \times 12 = \mathbf{93{,}4}\) cm \(\geq 90\) cm, le passage reste accessible.
Isolant de 16 cm : \(16 \gt 13{,}7\) ✗ — la largeur finie tomberait à \(117{,}4 - 2 \times 16 = \mathbf{85{,}4}\) cm, soit 4,6 cm de moins que le minimum exigé.
✔ Seul l'isolant de 12 cm peut être posé. Avec 16 cm, le passage ne serait plus accessible en fauteuil.
📌 Trois repères de métier. (1) On double les deux murs parce que les deux donnent sur l'extérieur : une isolation par l'intérieur ne se pose que sur un mur de façade. Sur un couloir de distribution ordinaire, entouré de pièces chauffées, il n'y aurait rien à isoler et la question ne se poserait pas. (2) Les 0,90 m sont la largeur minimale de circulation intérieure dans un logement ; dans un établissement recevant du public, les circulations doivent mesurer au moins 1,40 m — un passage de 1,20 m n'y conviendrait pas, même sans doublage. (3) Sur un chantier, on ne se cale jamais pile sur la valeur limite : 13,7 cm est un maximum théorique, on retient l'épaisseur commerciale juste en dessous (ici 12 cm) pour garder une marge sur les défauts de planéité du mur.
Exercices d'application
Exercice 2-1Résoudre des inéquations du premier degréStandard
Résoudre chaque inéquation et exprimer la solution sous forme d'intervalle.
a) \(4x - 6 > 10\) b) \(2x + 5 \leq 13\) c) \(-3x + 9 \geq 0\) d) \(-5x - 4 < 11\)
a)
\[4x - 6 > 10 \implies 4x > 16 \implies x > 4\]
Solution : \(]4 ; +\infty[\)
b)
\[2x + 5 \leq 13 \implies 2x \leq 8 \implies x \leq 4\]
Solution : \(]-\infty ; 4]\)
c)
\[-3x + 9 \geq 0 \implies -3x \geq -9\]
On divise par −3 (négatif → on inverse le signe) :
\[x \leq 3\]
Solution : \(]-\infty ; 3]\)
⚠ On a divisé par −3 (nombre négatif) → le symbole ≥ est devenu ≤ !
d)
\[-5x - 4 < 11 \implies -5x < 15\]
On divise par −5 (négatif → on inverse le signe) :
\[x > -3\]
Solution : \(]-3 ; +\infty[\)
Exercice 2-2Inéquations avec termes des deux côtésStandard
Résoudre et exprimer la solution sous forme d'intervalle.
a) \(5x - 3 \geq 2x + 9\) b) \(3x + 7 < 8x - 3\) c) \(-2x + 1 \leq x - 5\) d) \(4(x - 1) > 2x + 6\)
a)
\[5x - 3 \geq 2x + 9 \implies 3x \geq 12 \implies x \geq 4\]
Solution : \([4 ; +\infty[\)
b)
\[3x + 7 < 8x - 3 \implies 10 < 5x \implies x > 2\]
Solution : \(]2 ; +\infty[\)
c)
\[-2x + 1 \leq x - 5 \implies 1 + 5 \leq x + 2x \implies 6 \leq 3x \implies x \geq 2\]
Exercice 2-3Budget pour l'achat de lames de parquetStandard
🏠 Agencement – Revêtement de sol
Un artisan doit poser du parquet dans une chambre. Il dispose d'un budget de 650 €.
Les lames de parquet coûtent 24 € le m², la colle 35 € (forfait fixe).
Quelle surface maximale peut-il couvrir avec ce budget ?
Exprimer la réponse sous forme d'intervalle.
✔ Surface max : 25,625 m² — soit en pratique 25 m².
Solution : \(x \in ]0 ; 25{,}625]\)
Vérif : \(24 \times 25 + 35 = 635 \leq 650\) ✔
Exercice 2-4Contrainte de dimension pour un meubleStandard
📐 Agencement – Ameublement
Un artisan fabrique une bibliothèque sur mesure. La hauteur totale \(H\) de la bibliothèque en fonction
du nombre de rayons \(n\) est donnée par : \(H = 32n\) (en cm).
La bibliothèque doit avoir une hauteur entre 160 cm et 220 cm.
1. Écrire la double inéquation qui traduit cette contrainte. 2. Résoudre cette inéquation. 3. Combien de configurations entières (nombre de rayons) sont possibles ?
✔ Il y a 2 configurations possibles : 5 rayons (H = 160 cm) ou 6 rayons (H = 192 cm).
Exercice 2-5Rentabilité d'un atelierStandard
💶 Gestion – Menuiserie
Un artisan menuisier fabrique des étagères en bois.
Charges fixes mensuelles : 420 €
Coût matériaux par étagère : 28 €
Prix de vente : 75 €
1. Exprimer le bénéfice \(B\) en fonction du nombre \(x\) d'étagères vendues. 2. À partir de combien d'étagères l'artisan est-il bénéficiaire (bénéfice strictement positif) ? 3. Combien doit-il en vendre pour réaliser au minimum 500 € de bénéfice ?
Un lycéen hésite entre deux abonnements de salle de sport :
Formule
Abonnement mensuel
Prix par séance
Formule A
25 €
2 € / séance
Formule B
0 €
6 € / séance
1. Écrire le coût mensuel de chaque formule en fonction du nombre de séances \(x\). 2. Résoudre l'inéquation qui détermine à partir de combien de séances la Formule A est plus avantageuse. 3. S'il fait 8 séances par mois, quelle formule choisir ? Calculer l'économie.
1.
Formule A : \(A = 25 + 2x\)
Formule B : \(B = 6x\)
2. Formule A plus avantageuse :
\[25 + 2x < 6x \implies 25 < 4x \implies x > 6{,}25\]
✔ La Formule A est plus avantageuse à partir de 7 séances par mois.
✔ Pour 8 séances, choisir la Formule A. Économie : \(48 - 41 = 7\) €.
Exercice 2-8Encadrement d'une températureStandard
🌡 Énergie — Chauffage
Dans un local technique, la température \(T\) (en °C) évolue selon la formule \(T = -2h + 28\) où \(h\) est le nombre d'heures après l'arrêt du chauffage.
La température doit rester entre 14 °C et 24 °C pour le bon fonctionnement du matériel.
1. Écrire la double inéquation correspondante. 2. Résoudre et donner les valeurs de \(h\) compatibles. 3. Pendant combien de temps (en heures) la température est-elle dans la plage acceptable ?
1. \(14 \leq -2h + 28 \leq 24\)
2. Résolution :
\[14 - 28 \leq -2h \leq 24 - 28\]
\[-14 \leq -2h \leq -4\]
On divise par \(-2\) (négatif → on inverse les deux sens) :
\[2 \leq h \leq 7\]
Solution : \(h \in [2 ; 7]\)
⚠ En divisant par un nombre négatif dans une double inéquation, les deux inégalités s'inversent et les bornes s'échangent.
3. La température est dans la plage pendant \(7 - 2 = \) 5 heures.
Exercice 2-9Devis de pose de parquetStandard
📐 Agencement — Revêtement de sol
Un artisan menuisier propose deux formules de pose de parquet :
Formule Éco : 15 € / m² + 200 € de déplacement
Formule Pro : 22 € / m² sans frais de déplacement
1. Exprimer le prix de chaque formule en fonction de la surface \(x\) (en m²). 2. Pour quelles surfaces la Formule Éco est-elle moins chère ? 3. Le client veut faire poser 35 m². Quelle formule lui conseiller et combien paiera-t-il ?
1.
Éco : \(E = 15x + 200\)
Pro : \(P = 22x\)
2. Formule Éco moins chère :
\[15x + 200 < 22x \implies 200 < 7x \implies x > \frac{200}{7} \approx 28{,}6 \text{ m}^2\]
✔ La Formule Éco est moins chère pour les surfaces supérieures à 28,6 m², soit à partir de 29 m².
✔ Choisir la Formule Éco. Le client paiera 725 € (économie de 45 €).
Exercice 2-10Contrainte de poids pour une étagèreStandard
📐 Menuiserie — Mobilier
Un fabricant de mobilier conçoit une étagère murale. Chaque livre posé pèse en moyenne 0,8 kg.
L'étagère elle-même pèse 3 kg et le support mural supporte au maximum 15 kg.
1. Écrire l'inéquation qui traduit la contrainte de poids en fonction du nombre de livres \(x\). 2. Résoudre l'inéquation. 3. Combien de livres peut-on poser au maximum ? 4. Si on ajoute un pot de fleurs de 1,5 kg, combien de livres peut-on encore poser ?
3. On peut poser au maximum 15 livres. Vérif : \(0{,}8 \times 15 + 3 = 15\) kg ✔
4. Avec le pot de fleurs : \(0{,}8x + 3 + 1{,}5 \leq 15\) → \(0{,}8x \leq 10{,}5\) → \(x \leq 13{,}125\)
✔ On peut encore poser 13 livres. Vérif : \(0{,}8 \times 13 + 3 + 1{,}5 = 14{,}9 \leq 15\) ✔
Exercice 2-11Abonnement salle de sportStandard
🏋️ Sport — Budget
Deux salles de sport proposent des tarifs différents :
Salle A : 8 € par séance, sans abonnement.
Salle B : abonnement de 45 € par mois + 3 € par séance.
1. Exprimer le coût mensuel de chaque salle en fonction du nombre de séances \(x\). 2. Pour combien de séances la Salle B est-elle plus avantageuse ? (Résoudre l'inéquation \(C_B < C_A\).) 3. Un sportif fait 12 séances par mois. Quelle salle lui conseiller ? Calculer l'économie réalisée.
La température \(T\) (en °C) dans un local non chauffé évolue selon \(T = -2t + 18\), où \(t\) est le temps en heures après 8 h du matin.
1. Calculer la température à 8 h, à 11 h et à 14 h. 2. La réglementation impose que la température reste supérieure ou égale à 10 °C. Écrire et résoudre l'inéquation correspondante. 3. À partir de quelle heure faut-il déclencher le chauffage ? Écrire la solution en intervalle. 4. Si le chauffage augmente la température de 5 °C par heure, la nouvelle température suit \(T_2 = 3t + 18\). Quand \(T_2\) dépasse-t-elle 30 °C ?
1. À 8 h (\(t = 0\)) : \(T = 18\) °C ; à 11 h (\(t = 3\)) : \(T = -6 + 18 = 12\) °C ; à 14 h (\(t = 6\)) : \(T = -12 + 18 = 6\) °C.
2. \(-2t + 18 \geq 10 \implies -2t \geq -8\). On divise par \(-2\) (négatif → on retourne) : \(t \leq 4\).
Solution : \(t \in [0 ; 4]\), c'est-à-dire de 8 h à 12 h.
3. Le chauffage doit être déclenché avant 12 h (soit au plus tard à \(t = 4\)).
4. \(3t + 18 > 30 \implies 3t > 12 \implies t > 4\).
✔ La température dépasse 30 °C après 4 heures, soit après 12 h.
📌 Attention au sens de l'inégalité quand on divise par un nombre négatif !
Exercice 2-13Résolution et vérification numériqueStandard
🔎 Méthode — Valeurs-tests
On veut comparer les deux expressions \(2x + 1\) et \(-x + 7\).
1. Compléter le tableau pour \(x=0\), \(x=2\) et \(x=4\).
\(x\)
0
2
4
\(2x+1\)
……
……
……
\(-x+7\)
……
……
……
2. Résoudre par le calcul \(2x + 1 < -x + 7\). 3. Écrire la solution sous forme d'intervalle et vérifier sa cohérence avec le tableau.
\(x\)
0
2
4
\(2x+1\)
1
5
9
\(-x+7\)
7
5
3
\(2x + 1 < -x + 7 \Rightarrow 3x < 6 \Rightarrow x < 2\), soit \(S=]-\infty\,;\,2[\).
Le tableau confirme que 0 est solution, que 2 est la borne exclue et que 4 n'est pas solution.
Exercice 2-14Charge admissible d'un plancher de stockageStandard
Sur un chantier de réhabilitation, les sacs de mortier sont stockés sur un plancher intermédiaire. Le bureau d'études a indiqué la charge maximale que ce plancher peut supporter par mètre carré. On note \(x\) le nombre de sacs stockés.
Charge maximale admissible
150 kg par m²
Surface de la zone de stockage
18 m²
Masse d'un sac de mortier
35 kg
1. Calculer la charge totale, en kilogrammes, que la zone de stockage peut supporter.
2. Écrire l'inéquation qui traduit la contrainte, puis la résoudre.
3. Combien de sacs peut-on stocker au maximum ? Interpréter le résultat de la question 2 dans le contexte du chantier.
4. Le chef de chantier préfère garder une marge de sécurité : il n'utilise que 80 % de la charge admissible. Combien de sacs peut-on stocker dans ce cas ?
1. Charge totale = charge par m² × surface :
\[150 \times 18 = \mathbf{2\,700} \text{ kg}\]
2. La masse stockée est \(35x\) kg ; elle ne doit pas dépasser 2 700 kg :
3. Le nombre de sacs est un nombre entier : on arrondit à l'entier inférieur, car dépasser la limite est interdit. On peut stocker 77 sacs au maximum.
Vérification : \(77 \times 35 = 2\,695\) kg \(\leq 2\,700\) kg ✓ et \(78 \times 35 = 2\,730\) kg \(\gt 2\,700\) kg ✗ — 78 sacs feraient dépasser la charge admissible de 30 kg.
4. Charge retenue : \(0{,}80 \times 2\,700 = \mathbf{2\,160}\) kg. L'inéquation devient :
Vérification : \(61 \times 35 = 2\,135\) kg \(\leq 2\,160\) kg ✓ et \(62 \times 35 = 2\,170\) kg \(\gt 2\,160\) kg ✗.
La marge de sécurité coûte 16 sacs de stockage : il faudra prévoir une seconde zone de dépôt, ou approvisionner le chantier en plusieurs fois.
Exercice 2-15Batterie domestique — jusqu'à quelle heure ?Standard
Une maison équipée de panneaux photovoltaïques stocke son électricité dans une batterie. À 18 h, la batterie est chargée à 90 %. Le soir, elle se décharge de 12 points de pourcentage par heure. Pour préserver la batterie, le fabricant demande de ne jamais descendre en dessous de 30 % de charge.
La charge de la batterie, \(h\) heures après 18 h, est donnée par \(C(h) = 90 - 12h\) (en %).
Charge à 18 h
90 %
Décharge horaire
12 points de pourcentage par heure
Charge minimale imposée
30 %
1. Écrire l'inéquation qui traduit la consigne du fabricant.
2. Résoudre cette inéquation et donner l'ensemble solution sous forme d'intervalle.
3. Vérifier le résultat en calculant \(C(4)\) et \(C(6)\).
4. Jusqu'à quelle heure la maison peut-elle utiliser sa batterie ? Interpréter.
1. La charge doit rester supérieure ou égale à 30 % :
\(C(6) = 90 - 12 \times 6 = 90 - 72 = \mathbf{18\,\%}\) : \(18 \lt 30\), la consigne n'est plus respectée ✗
Les deux essais encadrent bien la valeur 5 trouvée à la question 2.
4. La durée maximale d'utilisation est de 5 heures à partir de 18 h : la maison peut puiser dans la batterie jusqu'à 23 h. Au-delà, il faut basculer sur le réseau, sous peine d'abîmer la batterie. À 23 h, il reste exactement \(90 - 12 \times 5 = 30\,\%\) de charge.
Exercice 2-16Escalier droit — hauteur de marche conformeStandard
Un technicien d'études du bâtiment vérifie le tracé d'un escalier droit. Pour qu'un escalier soit confortable, la règle de Blondel impose que la hauteur de marche \(h\) et le giron \(g\) (la profondeur sur laquelle on pose le pied) vérifient :
\[60 \leq 2h + g \leq 64 \qquad (h \text{ et } g \text{ en cm})\]
Sur ce chantier, le giron est imposé par la place disponible : \(g = 28\) cm.
Profil de l'escalier (schéma de principe, non à l'échelle) : giron \(g = 28\) cm, hauteur de marche \(h\) à déterminer.
Donnée
Valeur
Règle de Blondel
\(60 \leq 2h + g \leq 64\) (cm)
Giron imposé
\(g = 28\) cm
Hauteur à franchir
2,72 m
1. Écrire la double inéquation d'inconnue \(h\) traduisant la règle de Blondel pour ce chantier.
2. Résoudre cette double inéquation et donner l'ensemble des hauteurs de marche acceptables sous forme d'intervalle.
3. Le fournisseur propose des marches de 15,5 cm, 16,8 cm, 17,5 cm et 18,4 cm. Lesquelles sont conformes ? Justifier.
4. L'escalier doit franchir une hauteur de 2,72 m. Combien de hauteurs de marche faut-il si l'on retient \(h = 17\) cm ? Un apprenti propose de n'en faire que 15 : calculer la hauteur de marche correspondante et dire si l'escalier resterait conforme.
✔ Seules les marches de 16,8 cm et 17,5 cm conviennent.
4. Hauteur à franchir : 2,72 m = 272 cm.
\[\frac{272}{17} = \mathbf{16}\]
Il faut 16 hauteurs de marche de 17 cm. Contrôle : \(2 \times 17 + 28 = 62\), et \(60 \leq 62 \leq 64\) ✓ conforme.
Avec 15 marches seulement :
\[h = \frac{272}{15} \approx 18{,}13 \text{ cm}\]
Or \(18{,}13 \gt 18\) : la hauteur sort de l'intervalle \([16\,;\,18]\). Contrôle : \(2 \times 18{,}13 + 28 \approx 64{,}3 \gt 64\).
✔ La proposition de l'apprenti n'est pas conforme : enlever une marche oblige à monter plus haut à chaque pas. Il faut conserver 16 marches de 17 cm.
Exercice 2-17Circuit de chauffage — combien de convecteurs ?Standard
Un électricien câble le circuit de chauffage d'un logement. La norme électrique limite la puissance totale que l'on peut raccorder sur un même circuit, selon le calibre du disjoncteur qui le protège. Sur ce circuit, un sèche-serviettes est déjà raccordé ; l'électricien y ajoute des convecteurs identiques.
Donnée
Valeur
Puissance maximale — circuit protégé en 16 A
3 500 W
Puissance maximale — circuit protégé en 20 A
4 500 W
Puissance d'un convecteur
750 W
Puissance du sèche-serviettes déjà raccordé
500 W
On note \(x\) le nombre de convecteurs raccordés sur le circuit.
1. Exprimer la puissance totale du circuit en fonction de \(x\), puis écrire l'inéquation traduisant la limite du circuit protégé en 16 A.
2. Résoudre cette inéquation et donner l'ensemble solution sous forme d'intervalle.
3. Combien de convecteurs l'électricien peut-il raccorder au maximum ? Vérifier la réponse par le calcul de la puissance totale.
4. Le client demande un convecteur de plus. L'électricien envisage de remplacer le disjoncteur par un modèle 20 A. Reprendre les questions 1 à 3 avec cette nouvelle limite, puis conclure : ce changement suffit-il à raccorder beaucoup plus d'appareils ?
1. La puissance totale est celle des \(x\) convecteurs plus celle du sèche-serviettes :
\[P = 750x + 500 \quad \text{(en watts)}\]
Elle ne doit pas dépasser 3 500 W :
\[750x + 500 \leq 3\,500\]
2. On isole le terme en \(x\) :
\[750x \leq 3\,500 - 500 = 3\,000\]
On divise par 750, qui est positif : le sens de l'inégalité ne change pas.
\[x \leq \frac{3\,000}{750} = \mathbf{4}\]
Ensemble solution : \(S = \left]-\infty\,;\,4\right]\). Dans le contexte, \(x\) est un nombre entier positif : \(x \in \{0\,;\,1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\}\).
3. L'électricien peut raccorder 4 convecteurs.
Vérification : \(750 \times 4 + 500 = 3\,000 + 500 = \mathbf{3\,500}\) W — la limite est atteinte exactement, elle n'est pas dépassée ✓ ;
avec 5 convecteurs, \(750 \times 5 + 500 = 4\,250\) W \(\gt 3\,500\) W ✗ — le disjoncteur finirait par couper.
4. Avec un disjoncteur 20 A, la limite passe à 4 500 W :
Le nombre de convecteurs est entier et la contrainte est « au plus » : on arrondit à l'entier inférieur, soit 5 convecteurs.
Vérification : \(750 \times 5 + 500 = \mathbf{4\,250}\) W \(\leq 4\,500\) W ✓ ; avec 6, \(750 \times 6 + 500 = 5\,000\) W \(\gt 4\,500\) W ✗.
✔ Passer de 16 A à 20 A ne permet d'ajouter qu'un seul convecteur (4 → 5). Pour en installer davantage, il faut créer un second circuit, pas augmenter le calibre du disjoncteur.
📌 En 3., la puissance atteint exactement la limite : c'est bien une solution, car l'inéquation s'écrit avec \(\leq\) (« ne doit pas dépasser ») et non avec \(\lt\). En pratique, un installateur garde toutefois une marge et n'exploite pas un circuit à 100 %.
Exercice 2-18Activité physique — combien de séances par semaine ?Standard
L'Organisation mondiale de la santé (OMS) recommande aux adultes de pratiquer au moins 150 minutes d'activité physique d'endurance d'intensité modérée par semaine, et indique que des bénéfices supplémentaires apparaissent au-delà de 300 minutes par semaine.
Karim, 42 ans, va au travail à pied : 12 minutes de marche rapide à l'aller et 12 minutes au retour, 5 jours par semaine. Il complète avec des séances de vélo toutes identiques, de 25 minutes chacune.
On note \(x\) le nombre de séances de vélo faites dans la semaine (\(x\) est un nombre entier positif).
1. Montrer que la durée hebdomadaire d'activité de Karim, en minutes, est \(120 + 25x\).
2. Écrire l'inéquation traduisant « atteindre au moins les 150 minutes recommandées », la résoudre et donner l'ensemble solution sous forme d'intervalle.
3. En déduire le nombre minimal de séances de vélo. Vérifier la réponse par le calcul de la durée totale.
4. Karim décide de viser les 300 minutes et allonge ses séances de vélo à 40 minutes (la marche ne change pas). Combien de séances lui faut-il au minimum ?
1. Marche : \(12 + 12 = 24\) min par jour, sur 5 jours, soit \(24 \times 5 = 120\) min par semaine.
Vélo : \(x\) séances de 25 min, soit \(25x\) min.
\[D = 120 + 25x \quad \text{(en minutes)}\]
2. « Au moins 150 minutes » se traduit par \(\geq 150\) :
\[120 + 25x \geq 150\]
On retranche 120 aux deux membres :
\[25x \geq 30\]
On divise par 25, qui est positif : le sens de l'inégalité ne change pas.
3. Le nombre de séances est un entier. Le plus petit entier supérieur ou égal à 1,2 est 2 : il faut 2 séances de vélo par semaine.
Vérification : \(120 + 25 \times 2 = 120 + 50 = \mathbf{170}\) min \(\geq 150\) min ✓ ;
avec une seule séance, \(120 + 25 \times 1 = 145\) min \(\lt 150\) min ✗ — la recommandation n'est pas atteinte.
4. La marche apporte toujours 120 min, les séances valent maintenant 40 min :
Le plus petit entier supérieur ou égal à 4,5 est 5.
Vérification : \(120 + 40 \times 5 = \mathbf{320}\) min \(\geq 300\) min ✓ ; avec 4 séances, \(120 + 40 \times 4 = 280\) min \(\lt 300\) min ✗.
✔ 2 séances de 25 min suffisent pour atteindre les 150 min recommandées ; il en faut 5 de 40 min pour viser les 300 min. Les déplacements quotidiens à pied comptent : ils fournissent ici déjà 120 des 150 minutes.
📌 Attention au sens de l'arrondi. Ici la contrainte est « au moins » (\(\geq\)) : on arrondit à l'entier supérieur (1,2 → 2). Dans un problème « au plus » (\(\leq\)), on arrondirait à l'entier inférieur. C'est le sens de l'inégalité qui décide, pas la règle d'arrondi habituelle.
Exercices d'approfondissement
Exercice 3-1Découpe de tasseaux avec contrainte de longueurApprofondissement
🔨 Charpente – Menuiserie
Un artisan dispose d'une barre de bois de 3,60 m.
Il veut y découper des tasseaux de longueur égale. Chaque découpe entraîne une perte de 3 mm = 0,3 cm (le trait de scie).
Il souhaite obtenir 8 tasseaux et accepte une chute de moins de 10 cm.
Quelle doit être la longueur minimale de chaque tasseau pour que la chute soit inférieure à 10 cm ?
(Barre de 360 cm, 7 traits de scie à 0,3 cm chacun.)
Inconnue : \(x\) = longueur d'un tasseau (en cm).
Chute : \(360 - (8x + 2{,}1) < 10\)
\[360 - 8x - 2{,}1 < 10\]
\[357{,}9 - 8x < 10\]
\[- 8x < 10 - 357{,}9 = -347{,}9\]
On divise par −8 → on inverse le signe :
\[x > \frac{347{,}9}{8} \approx 43{,}5 \text{ cm}\]
Condition max (les tasseaux doivent tenir dans la barre) :
\[8x + 2{,}1 \leq 360 \implies x \leq 44{,}7 \text{ cm}\]
✔ Les tasseaux doivent mesurer entre 43,5 cm et 44,7 cm.
En pratique : 44 cm est une bonne longueur. Vérif : \(8 \times 44 + 2{,}1 = 354{,}1\) ; chute = \(360 - 354{,}1 = 5{,}9\) cm < 10 cm ✔
Exercice 3-2Comparaison de deux tarifs de locationApprofondissement
💼 Gestion – Atelier
Un artisan hésite entre deux formules de location d'une camionnette de livraison :
Formule
Coût fixe
Prix au km
Formule A
40 €
0,15 € / km
Formule B
0 €
0,35 € / km
1. Écrire le coût de chaque formule en fonction du nombre de km parcourus \(x\). 2. À partir de combien de km la Formule A est-elle moins chère que la Formule B ? 3. Si l'artisan prévoit 180 km, quelle formule choisir ? Calculer l'économie.
1.
Formule A : \(A = 40 + 0{,}15x\)
Formule B : \(B = 0{,}35x\)
2. Formule A moins chère :
\[40 + 0{,}15x < 0{,}35x\]
\[40 < 0{,}35x - 0{,}15x\]
\[40 < 0{,}20x\]
\[x > \frac{40}{0{,}20} = 200 \text{ km}\]
✔ La Formule A est moins chère au-delà de 200 km. À 200 km exactement, les deux formules reviennent au même prix : \(40 + 0{,}15 \times 200 = 70\) € et \(0{,}35 \times 200 = 70\) €. Un kilométrage n'étant pas un nombre entier, c'est bien un seuil qu'on donne, pas un premier entier.
✔ Pour 180 km, choisir la Formule B. Économie : \(67 - 63 = 4\) €.
Exercice 3-3Optimisation d'un devis de menuiserieApprofondissement
💶 Gestion — Devis
Un métreur doit préparer un devis pour la fabrication de portes sur mesure. Le coût de production d'une porte est de 85 € (matériaux + main-d'œuvre). Les charges fixes mensuelles de l'atelier sont de 1 200 €. Chaque porte est vendue 165 €.
1. Exprimer le bénéfice mensuel \(B\) en fonction du nombre \(x\) de portes fabriquées et vendues. 2. Résoudre \(B > 0\). À partir de combien de portes l'atelier est-il rentable ? 3. L'artisan souhaite un bénéfice d'au moins 2 000 € par mois. Combien de portes doit-il vendre ? 4. S'il ne peut produire que 30 portes par mois, quel doit être le prix de vente minimal pour atteindre 2 000 € de bénéfice ?
4. Avec 30 portes et un prix de vente \(p\) :
\[30p - (85 \times 30 + 1200) \geq 2000\]
\[30p - 3750 \geq 2000 \implies 30p \geq 5750 \implies p \geq 191{,}67\]
✔ Le prix de vente minimal est de 192 € par porte (arrondi au-dessus).
Exercice 3-4Encadrement de dimensions — Norme de sécuritéApprofondissement
📐 Agencement — Normes
Un artisan menuisier fabrique des garde-corps en bois. La norme NF P01-012 impose que la hauteur \(H\) d'un garde-corps soit comprise entre 100 cm et 110 cm.
Le garde-corps est composé d'un socle de 8 cm, de barreaux de hauteur \(x\) et d'une main courante de 5 cm.
1. Exprimer \(H\) en fonction de \(x\). 2. Écrire et résoudre la double inéquation correspondant à la norme. 3. Donner l'ensemble des valeurs possibles de \(x\) sous forme d'intervalle. 4. Le fournisseur propose des barreaux de 85 cm, 88 cm, 90 cm et 95 cm. Lesquels sont conformes ?
1. \(H = x + 8 + 5 = x + 13\)
2. \(100 \leq x + 13 \leq 110\)
\[100 - 13 \leq x \leq 110 - 13\]
\[87 \leq x \leq 97\]
3.
Solution : \(x \in [87 ; 97]\) cm
4.
85 cm → \(85 < 87\) ✗ Non conforme
88 cm → \(87 \leq 88 \leq 97\) ✔ Conforme
90 cm → \(87 \leq 90 \leq 97\) ✔ Conforme
95 cm → \(87 \leq 95 \leq 97\) ✔ Conforme
✔ Les barreaux de 88 cm, 90 cm et 95 cm sont conformes.
Exercice 3-5Comparaison de deux fournisseurs de boisApprofondissement
💶 Gestion — Achat de matériaux
Un artisan menuisier commande régulièrement des planches de chêne. Deux fournisseurs proposent :
Fournisseur
Prix par planche
Frais de livraison
Remise
Fournisseur A
12 €
50 €
Aucune
Fournisseur B
15 €
Gratuite
−10 % sur le total si plus de 20 planches
On note \(x\) le nombre de planches commandées (\(x > 20\)).
1. Écrire le coût chez le Fournisseur A : \(C_A\). 2. Écrire le coût chez le Fournisseur B (avec remise) : \(C_B\). 3. Résoudre \(C_A < C_B\). Pour combien de planches le Fournisseur A est-il moins cher ? 4. Pour une commande de 40 planches, quel fournisseur choisir ? Calculer la différence.
Exercice 3-6Performance énergétique et isolationApprofondissement
🔋 Énergie — Isolation thermique
La déperdition thermique \(D\) (en watts) à travers une paroi est modélisée par :
\[D = \frac{S \times \Delta T}{R}\]
où \(S = 12\) m² est la surface de la paroi, \(\Delta T = 20\) °C est l'écart de température, et \(R\) est la résistance thermique de l'isolant (en m²·K/W).
1. Exprimer \(D\) en fonction de \(R\). 2. La norme impose que la déperdition soit inférieure à 60 W. Écrire et résoudre l'inéquation correspondante. 3. Quelle résistance thermique minimale faut-il choisir ? 4. Si un isolant de 10 cm d'épaisseur a une résistance \(R = 3\) m²·K/W, est-il suffisant ? Quelle épaisseur minimale (en cm) faut-il si \(R\) est proportionnel à l'épaisseur ?
3. L'inégalité est stricte : il n'existe donc pas de plus petite valeur acceptable. Avec \(R = 4\) exactement, \(D = \dfrac{240}{4} = 60\) W — la déperdition n'est pas inférieure à 60 W, la norme n'est pas respectée. Il faut choisir \(R\) strictement supérieure à 4 m²·K/W : en pratique un isolant de résistance \(R = 4{,}5\) m²·K/W convient, avec \(D = 240 \div 4{,}5 \approx 53\) W.
4. Avec \(R = 3\) : \(D = \dfrac{240}{3} = 80\) W > 60 W → insuffisant.
Si \(R\) est proportionnel à l'épaisseur \(e\) : \(R = \dfrac{3}{10} \times e = 0{,}3e\).
\[0{,}3e > 4 \implies e > \frac{4}{0{,}3} \approx 13{,}3 \text{ cm}\]
✔ Il faut au minimum 14 cm d'épaisseur d'isolant.
Exercice 3-7Système de deux inéquationsApprofondissement
Résoudre chaque système d'inéquations. Donner la solution sous forme d'intervalle et représenter sur une droite graduée.
a) \(\begin{cases} 3x - 2 \leq 10 \\ x + 4 > 1 \end{cases}\)
Exercice 3-8Optimisation d'un emballageApprofondissement
Atelier — Conception d’emballage
Un fabricant de mobilier conçoit un carton d'emballage rectangulaire de longueur \(L\), largeur \(\ell = 40\) cm et hauteur \(h = 30\) cm.
Pour fermer un carton, l'atelier ne dispose que de 2 m de ruban adhésif.
De plus, la longueur doit être au moins égale à 60 cm pour contenir le meuble.
La quantité totale de ruban adhésif utilisée est : \(Q = 2(L + \ell + h) = 2(L + 40 + 30) = 2L + 140\) cm.
1. Écrire le système d'inéquations traduisant les deux contraintes (ruban < 200 cm et longueur ≥ 60 cm). 2. Résoudre ce système. 3. Donner l'ensemble des longueurs possibles sous forme d'intervalle.
1. Système :
\[\begin{cases} 2L + 140 < 200 \\ L \geq 60 \end{cases}\]
2.
Inéq. 1 : \(2L < 60 \implies L < 30\)
Inéq. 2 : \(L \geq 60\)
Intersection de \(]-\infty ; 30[\) et \([60 ; +\infty[\) : ensemble vide.
3.
✔ Il n'existe aucune longueur satisfaisant les deux contraintes simultanément. Le fabricant doit revoir ses contraintes : soit utiliser plus de ruban, soit accepter un carton plus court.
📌 Un système d'inéquations peut ne pas avoir de solution ! C'est un résultat important : il faut toujours vérifier la compatibilité des contraintes.
Un artisan menuisier hésite entre acheter une machine-outil neuve ou continuer à sous-traiter.
Option 1 — Sous-traitance : chaque pièce usinée coûte 22 €. Option 2 — Machine neuve : achat de la machine à 8 500 €, coût d'usinage par pièce : 4 €, entretien annuel : 600 €.
On note \(x\) le nombre de pièces usinées sur une année.
1. Exprimer le coût annuel de chaque option en fonction de \(x\). 2. L'artisan amortit la machine sur 5 ans. Exprimer le coût annuel de l'option 2 en intégrant l'amortissement. 3. Résoudre l'inéquation : à partir de combien de pièces par an l'achat de la machine est-il rentable ? 4. L'artisan prévoit d'usiner entre 100 et 200 pièces par an. Que lui conseillez-vous ? Justifier par le calcul.
✔ L'achat est rentable à partir de 128 pièces par an.
4. Pour 100 pièces : \(C_1 = 2200\) € et \(C_2 = 2700\) € → sous-traitance moins chère.
Pour 200 pièces : \(C_1 = 4400\) € et \(C_2 = 3100\) € → machine moins chère.
✔ Si l'artisan usine régulièrement 128 pièces ou plus par an, l'achat de la machine est rentable. Entre 100 et 127 pièces, la sous-traitance reste préférable.
Exercice 3-10Optimisation d'un devis — double contrainteApprofondissement
🔨 Menuiserie — Devis
Un métreur prépare un devis pour la pose de parquet dans un couloir rectangulaire. La longueur du couloir est \(L\) mètres et la largeur est fixée à 1,20 m. Le client impose deux contraintes :
Le coût total ne doit pas dépasser 960 €. Le parquet coûte 35 €/m² et la pose 15 €/m².
La surface minimale est de 6 m² (en dessous, le poseur refuse le chantier).
1. Exprimer la surface \(S\) et le coût total \(C\) en fonction de \(L\). 2. Écrire le système de deux inéquations traduisant les contraintes. 3. Résoudre chaque inéquation séparément. 4. Déterminer l'ensemble des valeurs de \(L\) satisfaisant les deux contraintes. Écrire la solution sous forme d'intervalle. 5. Le client souhaite un couloir de 18 m. Est-ce réalisable dans le budget ?
1. \(S = 1{,}2L\) m² et \(C = (35 + 15) \times 1{,}2L = 60L\) €.
2. Système :
\[\begin{cases} 60L \leq 960 \\ 1{,}2L \geq 6 \end{cases}\]
3.
Inéq. 1 : \(60L \leq 960 \implies L \leq 16\)
Inéq. 2 : \(1{,}2L \geq 6 \implies L \geq 5\)
4. Intersection de \(]-\infty ; 16]\) et \([5 ; +\infty[\) :
✔ \(L \in [5 ; 16]\). Le couloir doit mesurer entre 5 m et 16 m.
Panneaux solaires : investissement de 4 200 €, puis un coût de fonctionnement de 0,05 €/kWh.
On note \(x\) la consommation annuelle en kWh.
1. Exprimer le coût annuel de chaque solution en fonction de \(x\). 2. Pour quelle consommation annuelle les panneaux solaires deviennent-ils rentables la première année ? Résoudre l'inéquation. 3. L'investissement est amorti sur 10 ans. Réécrire le coût annuel des panneaux en incluant l'amortissement \(\dfrac{4200}{10}\). Pour quelle consommation annuelle les panneaux sont-ils rentables sur 10 ans ? 4. L'atelier consomme 2 500 kWh par an. Calculer l'économie annuelle réalisée avec les panneaux (en incluant l'amortissement). Conclure.
✔ Économie : \(625 - 545 = \mathbf{80}\) € par an. L'installation est rentable car \(2500 > 2100\).
📌 L'amortissement transforme un investissement ponctuel en coût annuel constant. Sans amortissement, le solaire semble toujours trop cher la première année.
Exercice 3-12Rampe d'accès — la pente est-elle conforme ?Approfondissement
L'entrée d'un local associatif est surélevée : il faut franchir une hauteur de 42 cm. Pour être accessible à tous, la réglementation impose une pente inférieure ou égale à 5 %.
Pour une rampe de longueur au sol \(L\) (en mètres) franchissant une hauteur \(h\) (en mètres), la pente vaut \(p = \dfrac{h}{L}\). La rampe est donc conforme lorsque \(h \leq 0{,}05 \times L\).
Profil de la rampe d'accès (schéma non à l'échelle) : hauteur à franchir 42 cm, longueur au sol \(L\) à déterminer.
1. Traduire la condition de conformité par une inéquation d'inconnue \(L\), la résoudre, et donner la longueur minimale de la rampe.
2. Le hall ne permet d'installer qu'une rampe de 7,50 m de long. Calculer la pente obtenue, en pourcentage, et conclure.
3. Un apprenti propose de couper la rampe en deux volées de 3,75 m séparées par un palier. Que penser de cette proposition ? Justifier par un calcul.
4. Proposer une solution qui rende l'accès conforme, et la justifier par un calcul.
1. La hauteur à franchir est \(h = 42\) cm \(= 0{,}42\) m. La condition \(h \leq 0{,}05\,L\) s'écrit :
Ensemble solution : \(S = [8{,}40\,;\,+\infty[\). Il faut une longueur au sol d'au moins 8,40 m.
Vérification : pour \(L = 8{,}40\) m, \(0{,}05 \times 8{,}40 = 0{,}42\) m — la hauteur est exactement atteinte, la rampe est à la limite de conformité ✓
\(5{,}6 \gt 5\) : la rampe n'est pas conforme. Autre lecture : sur 7,50 m, la hauteur maximale autorisée est \(0{,}05 \times 7{,}50 = 0{,}375\) m, soit 37,5 cm — il manque \(42 - 37{,}5 = 4{,}5\) cm.
3. La proposition ne règle rien. Chaque volée franchit la moitié de la hauteur, soit \(0{,}42 \div 2 = 0{,}21\) m, et doit donc mesurer au moins :
Or \(3{,}75 \lt 4{,}20\) : chaque volée est toujours trop raide (sa pente vaut \(0{,}21 \div 3{,}75 = 5{,}6\,\%\), la même qu'avant). Il faudrait \(2 \times 4{,}20 = 8{,}40\) m de rampe, plus la longueur du palier : découper la rampe augmente l'encombrement au lieu de le réduire. Le palier sert au repos, pas à diminuer la pente.
4. Deux solutions possibles, chiffrées :
— Gagner de la longueur : implanter la rampe le long de la façade (tracé en L) pour disposer d'au moins 8,40 m, soit 0,90 m de plus que les 7,50 m actuels.
— Réduire la hauteur à franchir : reprendre le dallage extérieur pour le relever de 4,5 cm. La rampe ne franchit alors que 37,5 cm, et sur 7,50 m la pente devient \(0{,}375 \div 7{,}50 = 0{,}05 = 5\,\%\) : la conformité est tout juste atteinte. En pratique, on visera une marge (par exemple 4 % de pente) pour absorber les tolérances de mise en œuvre.
Exercice 3-13Quelle note viser au dernier devoir ?Approfondissement
Camille a passé trois devoirs de mathématiques et il en reste un quatrième, noté sur 20. Elle veut obtenir au moins 12 de moyenne sur l'ensemble des quatre devoirs.
Devoir
1
2
3
4
Note sur 20
9
14
11
\(x\)
1. Déterminer la note minimale que Camille doit obtenir au quatrième devoir. Vérifier la réponse.
2. Le professeur annonce finalement que le quatrième devoir comptera coefficient 2, les trois premiers restant en coefficient 1. Reprendre la question 1 et comparer les deux exigences.
3. Un camarade affirme : « pour avoir 12 de moyenne, il faut au moins 12 à chaque devoir. » Que penser de cette affirmation ? Justifier à l'aide des notes de Camille.
1. La moyenne des quatre notes doit être supérieure ou égale à 12 :
L'exigence baisse d'un point (13 au lieu de 14) : comme le dernier devoir pèse davantage, une bonne note y « tire » plus fort la moyenne. Attention : l'effet joue dans les deux sens, une mauvaise note y coûterait aussi plus cher.
3. L'affirmation est fausse. Il suffit d'un contre-exemple : avec 9 ; 14 ; 11 ; 14, la moyenne vaut exactement 12 alors que deux notes (9 et 11) sont inférieures à 12. Les notes au-dessus de 12 compensent celles qui sont en dessous : c'est la somme des notes qui compte, pas chaque note prise isolément. Ce qui est vrai, en revanche : si toutes les notes sont inférieures à 12, alors la moyenne l'est aussi.
Exercice 3-14Dérive d'une machine et tolérance d'usinageApprofondissement
Un tour à commande numérique usine des axes en acier de diamètre nominal 20,00 mm, avec une tolérance de ±0,20 mm : une pièce est acceptée si son diamètre reste compris entre 19,80 mm et 20,20 mm.
Juste après le réglage, le premier axe mesure 19,90 mm. L'usure de l'outil fait ensuite augmenter le diamètre de 0,004 mm à chaque pièce usinée. Le diamètre obtenu après \(n\) pièces est donc \(d(n) = 19{,}90 + 0{,}004\,n\) (en mm).
Diamètre nominal
20,00 mm
Tolérance
±0,20 mm
Diamètre après réglage
19,90 mm
Dérive due à l'usure
0,004 mm par pièce
1. Écrire la double inéquation traduisant la conformité d'une pièce, puis la résoudre.
2. Combien de pièces la machine peut-elle usiner avant de sortir de la tolérance ? Vérifier.
3. L'atelier lance une série de 100 pièces sans réglage intermédiaire. Combien de pièces seront hors tolérance ?
4. Quelle fréquence de réglage conseiller au régleur ? Discuter les limites du modèle utilisé.
1. La pièce est conforme lorsque \(19{,}80 \leq d(n) \leq 20{,}20\), soit :
On divise par 0,004, qui est positif : le sens des inégalités ne change pas.
\[-25 \leq n \leq 75\]
Comme \(n\) est un nombre de pièces, \(n \geq 0\) : la condition de gauche est toujours vraie (le diamètre part de 19,90 mm, déjà au-dessus de la borne basse). Seule la borne haute contraint : \(n \in [0\,;\,75]\).
2. La machine peut usiner 75 pièces après le réglage.
Vérification : \(d(75) = 19{,}90 + 0{,}004 \times 75 = 19{,}90 + 0{,}30 = \mathbf{20{,}20}\) mm — exactement la borne haute, encore conforme ✓. \(d(76) = 19{,}90 + 0{,}304 = \mathbf{20{,}204}\) mm \(\gt 20{,}20\) mm — rebut ✗
3. Sur une série de 100 pièces, les pièces \(n = 76\) à \(n = 100\) sont hors tolérance :
\[100 - 75 = \mathbf{25} \text{ pièces}\]
Soit un quart de la série au rebut : le coût de la matière et du temps machine perdus dépasse largement celui d'un réglage.
4. Il ne faut pas attendre la 75e pièce, qui est exactement à la limite : on conseille un réglage toutes les 60 pièces environ. On a alors \(d(60) = 19{,}90 + 0{,}24 = \mathbf{20{,}14}\) mm, soit une marge de 0,06 mm avant la borne haute.
Limites du modèle : il suppose une usure parfaitement régulière (0,004 mm par pièce), ce qui n'est vrai qu'au début ; l'usure s'accélère quand l'outil s'émousse, et elle dépend de la matière, de la lubrification et de la vitesse de coupe. S'ajoute l'incertitude de mesure du contrôle. Le modèle donne un ordre de grandeur utile pour planifier les réglages, pas une garantie de conformité : il reste indispensable de contrôler des pièces en cours de série.
Exercice 3-15Test de course — tenir l'objectif sur la finApprofondissement
Lors d'un test d'endurance, il faut parcourir au moins 2 400 m en 12 minutes. Au bout de 7 minutes de course, Yanis a parcouru 1 350 m. On note \(v\) sa vitesse moyenne, en mètres par minute, sur les 5 minutes restantes.
Distance à parcourir
2 400 m
Durée du test
12 min
Distance parcourue en 7 min
1 350 m
1. Exprimer la distance totale parcourue en fonction de \(v\), puis écrire et résoudre l'inéquation traduisant la réussite au test.
2. Convertir cette vitesse minimale en kilomètres par heure.
3. Calculer la vitesse moyenne de Yanis sur les 7 premières minutes, en m/min puis en km/h. Que doit-il faire pour réussir ?
4. L'objectif vous paraît-il atteignable ? Justifier par un calcul et discuter.
1. Distance totale = distance déjà parcourue + distance des 5 dernières minutes :
Il court actuellement moins vite que les 12,6 km/h exigés : il doit accélérer. L'écart est de \(210 - 192{,}9 = 17{,}1\) m/min, soit \(17{,}1 \div 192{,}9 \approx 0{,}089\) : environ 9 % plus vite que son allure de départ.
soit \(2\,400 - 2\,314 = 86\) m de moins que l'objectif : le test serait échoué de peu. Pour finir à allure constante, il aurait fallu être à \(2\,400 \times \dfrac{7}{12} = 1\,400\) m au bout de 7 minutes : il a 50 m de retard sur le rythme régulier.
L'objectif reste atteignable : 9 % d'accélération, c'est peu sur le papier. Mais il faut le faire en fin d'effort, quand la fatigue s'installe : c'est le moment où l'allure a plutôt tendance à baisser. La leçon de course est là : partir au rythme cible (200 m par minute, soit 1 400 m au bout de 7 minutes) coûte moins cher que de devoir rattraper le retard sur la fin.
Exercice 3-16Tournée d'entretien — combien de chaudières par jour ?Approfondissement
Un technicien de maintenance enchaîne des visites d'entretien annuel de chaudières chez des particuliers. Le planificateur de l'entreprise doit décider combien de rendez-vous inscrire dans une journée. On compte, pour chaque entretien, la durée de l'intervention et le trajet qui y conduit.
Donnée
Valeur
Durée d'une journée de travail
7 h
Durée d'un entretien
45 min
Trajet moyen avant chaque entretien
20 min
1. On note \(x\) le nombre d'entretiens programmés dans la journée. Traduire par une inéquation le fait que la tournée doit tenir dans la journée de travail, la résoudre, et donner l'ensemble solution sous forme d'intervalle.
2. Le planificateur affirme : « une journée fait 420 min et un entretien 45 min ; comme \(420 \div 45 \approx 9{,}3\), je peux programmer 9 entretiens. » Ce raisonnement est faux : expliquer pourquoi et chiffrer l'erreur.
3. Le responsable d'agence impose par ailleurs au moins 5 entretiens par technicien et par jour. Déterminer l'ensemble des nombres d'entretiens qui respectent les deux contraintes, puis les valeurs entières possibles.
4. L'agence voudrait atteindre 8 entretiens par jour. Quel serait le trajet moyen maximal admissible ? Ce résultat vous paraît-il réaliste ? Proposer et chiffrer une autre piste, puis discuter.
1. On convertit la journée en minutes : \(7 \times 60 = 420\) min. Chaque entretien mobilise \(45 + 20 = 65\) min (intervention + trajet). La durée de la tournée est donc \(65x\), et elle ne doit pas dépasser la journée :
Ensemble solution : \(S = \left]-\infty\,;\,\dfrac{420}{65}\right]\), soit environ \(\left]-\infty\,;\,6{,}46\right]\). Un nombre d'entretiens étant un entier positif, on retient \(x \leq 6\).
Vérification : \(6 \times 65 = 390\) min \(= 6\) h 30 \(\leq\) 7 h ✓ ; \(7 \times 65 = 455\) min \(= 7\) h 35 \(\gt\) 7 h ✗.
2. Le planificateur oublie les trajets : il ne compte que le temps passé chez les clients, comme si le technicien se téléportait d'une chaudière à l'autre.
Chiffrage de son erreur : 9 entretiens demanderaient
soit 9 h 45 de travail, alors que la journée n'en compte que 7. Le dépassement vaut \(585 - 420 = \mathbf{165}\) min, près de 2 h 45 de travail en trop : son planning obligerait le technicien à déborder très largement de sa journée, ou laisserait 3 clients sans intervention (9 programmés pour 6 réalisables).
3. Il y a maintenant deux contraintes à respecter en même temps :
tenir dans la journée : \(65x \leq 420\), donc \(x \leq 6{,}46\) → \(\left]-\infty\,;\,6{,}46\right]\) ;
objectif de l'agence : \(x \geq 5\) → \([5\,;\,+\infty[\).
Les valeurs qui conviennent sont celles qui appartiennent aux deux intervalles à la fois : \(x \in [5\,;\,6{,}46]\).
✔ Seules deux valeurs entières conviennent : 5 ou 6 entretiens par jour.
\(5 \times 65 = 325\) min \(= 5\) h 25 (1 h 35 de marge) ; \(6 \times 65 = 390\) min \(= 6\) h 30 (30 min de marge).
4. On cherche cette fois le trajet : c'est le problème inverse. On note \(t\) le trajet moyen, en minutes, et on impose 8 entretiens dans la journée :
Il faudrait un trajet moyen d'au plus 7 min 30 entre deux clients. C'est irréaliste pour une tournée chez des particuliers dispersés : cela ne serait possible que si toutes les chaudières se trouvaient dans le même immeuble ou la même résidence — c'est-à-dire sur un contrat d'entretien collectif, pas sur des rendez-vous individuels.
Autre piste : raccourcir l'entretien. En gardant les 20 min de trajet et en notant \(e\) la durée d'un entretien :
\[8 \times (e + 20) \leq 420\]
\[e + 20 \leq 52{,}5 \implies e \leq \mathbf{32{,}5} \text{ min}\]
Il faudrait ramener l'entretien de 45 min à 32 min, soit près de 30 % de temps en moins. Or l'entretien annuel comprend le nettoyage du corps de chauffe, le contrôle de combustion, la mesure du monoxyde de carbone et la rédaction de l'attestation : le raccourcir revient à sacrifier des contrôles de sécurité.
📌 Conclusion du problème : l'objectif de 8 entretiens n'est pas atteignable en jouant sur une seule variable. Les leviers réalistes sont ailleurs — regrouper les rendez-vous par secteur géographique pour faire baisser le trajet moyen, et lisser la charge sur l'année plutôt que de tout concentrer avant l'hiver. Un modèle mathématique ne dit pas seulement ce qui est possible : il montre aussi ce qu'il faudrait changer pour que ça le devienne.
Exercice 3-17Extension de maison — jusqu'où peut-on aller ?Approfondissement
Un métreur d'un bureau d'études chiffre l'agrandissement de la maison d'un particulier. Le propriétaire déposera lui-même sa demande de permis de construire. Deux contraintes pèsent sur le projet, et elles doivent être satisfaites toutes les deux :
Règle d'urbanisme (PLU de la commune). L'emprise au sol de l'ensemble des constructions ne doit pas dépasser 30 % de la surface de la parcelle.
Exigence du client (seuil de l'architecte). Le code de l'urbanisme rend le recours à un architecte obligatoire dès que la surface de plancher totale après travaux dépasse 150 m². Le propriétaire ne souhaite pas financer cette mission : il demande de rester à 150 m² au plus.
⚠ Les deux contraintes ne sont pas de même nature. Dépasser les 30 % d'emprise au sol rend le permis refusable : c'est une interdiction. Dépasser les 150 m² de surface de plancher n'est pas interdit — cela oblige simplement à faire appel à un architecte, donc à payer une mission de plus. Un métreur doit savoir dire laquelle des deux se négocie.
Deux notions à ne pas confondre
L'emprise au sol est la projection verticale de la construction sur le terrain : c'est la place qu'elle occupe au sol. Une maison à étage a la même emprise qu'une maison de plain-pied de même forme. Elle se mesure débords compris : un débord de toiture ou un balcon en surplomb comptent dans l'emprise.
La surface de plancher est la somme des surfaces de chaque niveau clos et couvert, sous une hauteur de plafond supérieure à 1,80 m. Elle se cumule niveau par niveau : un étage ajoute sa propre surface. Dans cet exercice, on néglige l'épaisseur des murs : les deux surfaces se calculent sur les mêmes dimensions.
L'extension projetée est un rectangle de 6,00 m de large et de \(x\) mètres de long, construit sur deux niveaux (rez-de-chaussée + étage) de 2,50 m de hauteur sous plafond chacun.
Coupe de l'extension (schéma de principe, non à l'échelle) : la longueur \(x\), perpendiculaire au plan de coupe, n'y est pas visible. La toiture s'arrête à l'aplomb des murs — sans débord, l'emprise au sol se limite bien aux 6,00 m cotés.
Donnée
Valeur
Surface de la parcelle
420 m²
PLU — emprise au sol maximale
30 % de la parcelle
Seuil de recours obligatoire à un architecte
150 m² de surface de plancher
Maison existante (de plain-pied) — surface de plancher
78 m²
Maison existante (de plain-pied) — emprise au sol
78 m²
Extension — largeur
6,00 m
Extension — longueur
\(x\) m
Extension — nombre de niveaux
2 (2,50 m sous plafond chacun)
1. Calculer, en m², l'emprise au sol maximale autorisée par le PLU sur cette parcelle.
2. Exprimer en fonction de \(x\) : a. l'emprise au sol totale du projet ; b. la surface de plancher totale après travaux. Justifier pourquoi les deux expressions n'ont pas le même coefficient devant \(x\).
3. Écrire puis résoudre les deux inéquations traduisant les deux contraintes. Donner chaque ensemble solution sous forme d'intervalle.
4. Le client souhaite une extension de 7,00 m de long. Que doit lui répondre le métreur ? Quelle longueur maximale peut-il retenir sans faire appel à un architecte ? Laquelle des deux contraintes est ici la plus forte, et pourquoi ?
1. Sur une parcelle de 420 m², le PLU autorise au plus 30 % d'emprise au sol :
\[\text{emprise au sol max} = 0{,}30 \times 420 = \mathbf{126}\ \text{m}^2\]
Le plafond de surface de plancher, lui, n'est pas un pourcentage : c'est directement 150 m², le seuil au-delà duquel l'architecte devient obligatoire.
2. a. Au sol, l'extension occupe un rectangle de 6,00 m sur \(x\) m, soit \(6x\) m². Les deux niveaux se superposent : cette empreinte ne compte qu'une fois.
\[E(x) = 78 + 6x \quad \text{(en m}^2\text{)}\]
b. Chaque niveau apporte \(6x\) m² de plancher, et chacun a 2,50 m sous plafond, donc plus de 1,80 m : les deux niveaux comptent.
Le coefficient est 6 pour l'emprise et 12 pour la surface de plancher, parce que l'extension a deux niveaux empilés sur une seule empreinte au sol : chaque mètre de longueur gagné coûte deux fois plus cher en surface de plancher qu'en emprise.
3. Contrainte « emprise au sol » (PLU) :
\[78 + 6x \leq 126\]
\[6x \leq 126 - 78 = 48\]
On divise par 6, qui est positif : le sens de l'inégalité ne change pas.
\[x \leq \frac{48}{6} = \mathbf{8}\]
Ensemble solution : \(S_1 = \left]-\infty\,;\,8\right]\) ; une longueur étant positive, \(x \in \left]0\,;\,8\right]\).
Contrainte « surface de plancher » (seuil de l'architecte) :
Ensemble solution : \(S_2 = \left]-\infty\,;\,6\right]\) ; dans le contexte, \(x \in \left]0\,;\,6\right]\).
4. Pour \(x = 7\) :
emprise au sol : \(78 + 6 \times 7 = 120\) m² \(\leq 126\) m² ✓ — le PLU est respecté ;
surface de plancher : \(78 + 12 \times 7 = 162\) m² \(\gt 150\) m² ✗ — dépassement de 12 m², l'architecte devient obligatoire.
Les deux contraintes doivent être satisfaites en même temps : on garde les longueurs qui vérifient les deux inéquations, c'est-à-dire la partie commune aux deux intervalles :
✔ L'extension de 7,00 m ne tient pas dans la commande : elle est conforme au PLU, mais elle impose le recours à un architecte. Sans architecte, le métreur peut retenir une longueur d'au plus 6,00 m.
Contrôle à \(x = 6\) : surface de plancher \(78 + 12 \times 6 = \mathbf{150}\) m², qui ne dépasse pas 150 ✓ ; emprise au sol \(78 + 6 \times 6 = \mathbf{114}\) m² \(\leq 126\) ✓.
La contrainte la plus forte est celle de la surface de plancher (6 m contre 8 m), précisément parce que l'extension est à étage : elle consomme deux fois plus de surface de plancher que d'emprise au sol.
📌 Conseil de métier : le métreur ne se contente pas de répondre « non », il chiffre les options et laisse le client arbitrer. Option A — 7,00 m de plain-pied. Surface de plancher \(78 + 42 = 120\) m² \(\leq 150\) ✓, emprise \(78 + 42 = 120\) m² \(\leq 126\) ✓ : pas d'architecte, et le client garde la longueur qu'il voulait. Mais l'extension n'apporte alors que 42 m² habitables, contre 72 m² pour la solution à étage de 6,00 m : c'est 30 m² de moins. Le plain-pied conserve la longueur, pas la surface. Option B — 7,00 m sur deux niveaux. Rien ne l'interdit : côté PLU, c'est l'emprise qui est réglementée, et elle passe (120 m² \(\leq\) 126). Le client obtient ses 84 m² habitables ; mais avec 162 m² de surface de plancher, le recours à un architecte devient obligatoire, donc une mission à financer.
Autrement dit : si le client veut de la surface, il monte d'un niveau et prend un architecte ; s'il veut de la longueur à moindre coût, il reste de plain-pied et accepte 30 m² de moins. Le calcul ne choisit pas à sa place, il rend le choix visible.
📊 Bilan des compétences travaillées
Compétence
Exercices
Traduire une contrainte par une inéquation
Ex 1-4, 1-8, 1-10, 1-13, 1-15, 1-17, 1-18, 1-19, 1-20, 1-21 (socle) | Ex 2-10, 2-14, 2-15, 2-17 (standard) | Ex 3-12, 3-16, 3-17 (appro)
Interpréter la solution dans son contexte
Ex 1-15, 1-19, 1-20, 1-21 (socle) | Ex 2-14, 2-15, 2-17 (standard) | Ex 3-3, 3-11, 3-12, 3-17 (appro)
Inverser le sens de l'inégalité (division par un négatif)
Ex 1-2, 1-3, 1-6, 1-12, 1-20, 1-21 (socle) | Ex 2-1, 2-6, 2-12, 2-15, 2-17 (standard)
Résoudre une double inéquation / un encadrement
Ex 1-9, 1-16 (socle) | Ex 2-4, 2-8, 2-16 (standard) | Ex 3-4, 3-14 (appro)
Écrire une solution sous forme d'intervalle
Ex 0-1 (tronc commun), 1-2, 1-21 (socle) | Ex 2-1, 2-2, 2-3, 2-6, 2-13, 2-15, 2-16, 2-17 (standard) | Ex 3-4, 3-7, 3-8, 3-10, 3-16, 3-17 (appro)