Ch06 – Exercices : Inéquations du premier degré

Exercice 1 Comprendre les intervalles Socle

Représentation de la solution sur une droite graduée

Pour chaque inégalité, écrire la solution sous forme d'intervalle.

a) \(x \geq 4\) b) \(x < -2\) c) \(x \leq 7\) d) \(-1 \leq x < 5\)

Mes calculs :

a) \(x \geq 4\) → \([4 ; +\infty[\) — crochet fermé en 4 (inclus).

b) \(x < -2\) → \(]-\infty ; -2[\) — crochet ouvert en −2 (exclu).

c) \(x \leq 7\) → \(]-\infty ; 7]\) — crochet fermé en 7 (inclus).

d) \(-1 \leq x < 5\) → \([-1 ; 5[\) — fermé en −1, ouvert en 5.

📌 Rappel : [ ou ] = valeur incluse (≤ ou ≥). Crochet inversé ] ou [ = valeur exclue (< ou >). Les infinis sont toujours avec un crochet ouvert.

Exercice 2 Lire et compléter un tableau d'intervalles Socle

Compléter le tableau :

Condition sur \(x\)	Intervalle	Crochet en a ou b
\(x > 3\)	…	…
\(x \leq -1\)	…	…
\(2 \leq x < 8\)	…	…
\(-5 < x \leq 0\)	…	…
\(x \geq 0\)	…	…

Mes calculs :

Condition	Intervalle	Crochet
\(x > 3\)	\(]3 ; +\infty[\)	Ouvert en 3 (exclu)
\(x \leq -1\)	\(]-\infty ; -1]\)	Fermé en −1 (inclus)
\(2 \leq x < 8\)	\([2 ; 8[\)	Fermé en 2, ouvert en 8
\(-5 < x \leq 0\)	\(]-5 ; 0]\)	Ouvert en −5, fermé en 0
\(x \geq 0\)	\([0 ; +\infty[\)	Fermé en 0 (inclus)

Exercice 3 Résoudre une inéquation — méthode détaillée Socle

Méthode : Comme pour une équation, on isole \(x\) — mais attention :
• Si on multiplie ou divise par un nombre négatif, le sens de l’inégalité s’inverse.
• \(\leq\) devient \(\geq\), et < devient >.

Exemple guidé : Résoudre \(2x + 3 \leq 11\)

Étape 1 : \(2x \leq 11 - 3 = \) ……
Étape 2 : \(x \leq \dfrac{\ldots}{2} = \) ……
Solution : intervalle \(]-\infty ; \ldots]\)

À toi :
a) \(3x - 6 \leq 9\)
Étape 1 : \(3x \leq 9 + 6 = \) ……
Étape 2 : \(x \leq \dfrac{\ldots}{3} = \) ……
Solution : …………

b) \(5x + 2 > 17\)
Étape 1 : \(5x > 17 - 2 = \) ……
Étape 2 : \(x > \dfrac{\ldots}{5} = \) ……
Solution : …………

c) \(4x - 8 \geq 0\)
Étape 1 : …………
Étape 2 : …………

Mes calculs :

Exemple : \(2x \leq 8\) → \(x \leq 4\). Solution : \(]-\infty ; 4]\).

a) \(3x \leq 15\) → \(x \leq 5\). Solution : \(]-\infty ; 5]\).

b) \(5x > 15\) → \(x > 3\). Solution : \(]3 ; +\infty[\).

c) \(4x \geq 8\) → \(x \geq 2\). Solution : \([2 ; +\infty[\).

Représentation des solutions sur la droite graduée — cercle plein = valeur incluse, cercle vide = valeur exclue.

Exercice 4 Division par un négatif — guidé Socle

⚠ Règle importante : si on divise par un nombre négatif, on inverse le signe :
\(-3x \geq 12\) donne \(x \leq \dfrac{12}{-3} = -4\) — le \(\geq\) est devenu \(\leq\) !

a) \(-2x \leq 8\)
On divise par …… (négatif → on inverse) → \(x \) …… \(\dfrac{8}{\ldots} = \) ……

b) \(-4x + 12 > 0\)
Étape 1 : \(-4x > 0 - 12 = \) ……
Étape 2 : \(x\) …… \(\dfrac{-12}{-4} = \) …… (on inverse le signe)

c) \(-x + 5 \leq 2\)
Étape 1 : \(-x \leq \) ……
Étape 2 : \(x \) …… ……

Mes calculs :

a) \(-2x \leq 8\) → on divise par \(-2\) (négatif) → \(x \geq -4\). Solution : \([-4 ; +\infty[\).

b) \(-4x > -12\) → on divise par \(-4\) (négatif) → \(x < 3\). Solution : \(]-\infty ; 3[\).

c) \(-x \leq -3\) → on divise par \(-1\) (négatif) → \(x \geq 3\). Solution : \([3 ; +\infty[\).

⚠ La division par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité — repère le changement de direction de la flèche colorée.

Exercice 5 Problème de budget guidé Socle

Atelier d'agencement

Un apprenti agenceur dispose d’un budget de 300 € pour acheter des planches. Chaque planche coûte 18 € et il faut payer 12 € de livraison.

Étape 1 — Mise en inéquation :
On appelle \(x\) le nombre de planches. La dépense totale doit être ≤ 300 € :
…… × \(x\) + …… \(\leq\) ……

Étape 2 — Résolution :
\(18x \leq 300 - 12 = \) ……
\(x \leq \dfrac{\ldots}{18} \approx \) ……

Étape 3 — Conclusion :
Il peut acheter au maximum …… planches entières.

Mes calculs :

Inéquation : \(18x + 12 \leq 300\)

Résolution : \(18x \leq 288\) → \(x \leq 16\)

Conclusion : Il peut acheter au maximum 16 planches. Vérif : \(18 \times 16 + 12 = 288 + 12 = 300\) € ✓

Exercice 6 Résoudre des inéquations simples — guidé Socle

Résoudre chaque inéquation en complétant les étapes.

a) \(7x + 4 \leq 25\)
Étape 1 : \(7x \leq 25 - 4 = \) ……
Étape 2 : \(x \leq \dfrac{\ldots}{7} = \) ……
Solution en intervalle : ……

b) \(6x - 9 > 15\)
Étape 1 : \(6x > 15 + 9 = \) ……
Étape 2 : \(x > \dfrac{\ldots}{6} = \) ……
Solution en intervalle : ……

c) \(2x + 10 \geq 4\)
Étape 1 : \(2x \geq 4 - 10 = \) ……
Étape 2 : \(x \geq \dfrac{\ldots}{2} = \) ……
Solution en intervalle : ……

Mes calculs :

a) \(7x \leq 21\) → \(x \leq 3\). Solution : \(]-\infty ; 3]\).

b) \(6x > 24\) → \(x > 4\). Solution : \(]4 ; +\infty[\).

c) \(2x \geq -6\) → \(x \geq -3\). Solution : \([-3 ; +\infty[\).

Solutions visualisées sur la droite graduée.

Exercice 7 Inéquation avec terme négatif — guidé Socle

⚠ Rappel : Quand on divise par un nombre négatif, on inverse le sens de l'inégalité.

a) \(-5x \geq 20\)
On divise par …… (négatif → on inverse) → \(x\) …… \(\dfrac{20}{\ldots} = \) ……
Solution en intervalle : ……

b) \(-3x + 6 < 15\)
Étape 1 : \(-3x < 15 - 6 = \) ……
Étape 2 : on divise par …… (négatif → on inverse) → \(x\) …… ……
Solution en intervalle : ……

c) \(-6x - 12 \leq 0\)
Étape 1 : \(-6x \leq \) ……
Étape 2 : \(x\) …… ……
Solution en intervalle : ……

Mes calculs :

a) \(-5x \geq 20\) → on divise par \(-5\) (négatif) → \(x \leq -4\). Solution : \(]-\infty ; -4]\).

b) \(-3x < 9\) → on divise par \(-3\) (négatif) → \(x > -3\). Solution : \(]-3 ; +\infty[\).

c) \(-6x \leq 12\) → on divise par \(-6\) (négatif) → \(x \geq -2\). Solution : \([-2 ; +\infty[\).

⚠ Dans (a), (b) et (c), l'inégalité s'est inversée à cause de la division par un nombre négatif.

Exercice 8 Représenter sur une droite graduée — guidé Socle

Pour chaque inéquation, résoudre puis représenter la solution sur la droite graduée.

Rappel : on colorie la partie de la droite qui correspond aux solutions. Un rond plein ● = valeur incluse (≤ ou ≥). Un rond vide ○ = valeur exclue (< ou >).

a) \(3x - 3 \leq 12\)
Résolution : \(x \leq\) ……
Droite : tracer de …… vers la gauche avec un rond …… en ……

b) \(2x + 1 > 7\)
Résolution : \(x >\) ……
Droite : tracer de …… vers la droite avec un rond …… en ……

Mes calculs :

a) \(3x \leq 15\) → \(x \leq 5\). Intervalle : \(]-\infty ; 5]\).
Sur la droite : rond plein ● en 5, on colorie vers la gauche (flèche vers \(-\infty\)).

b) \(2x > 6\) → \(x > 3\). Intervalle : \(]3 ; +\infty[\).
Sur la droite : rond vide ○ en 3, on colorie vers la droite (flèche vers \(+\infty\)).

Exercice 9 Budget pour des pots de peinture — guidé Socle

🏠 Quotidien — Décoration

Tu veux repeindre ta chambre. Chaque pot de peinture coûte 14 € et tu dois aussi acheter un rouleau à 8 €. Tu disposes de 80 €.

Étape 1 — Mise en inéquation :
On appelle \(x\) le nombre de pots. La dépense totale doit être ≤ 80 € :
…… × \(x\) + …… \(\leq\) ……

Étape 2 — Résolution :
\(14x \leq 80 - 8 = \) ……
\(x \leq \dfrac{\ldots}{14} \approx \) ……

Étape 3 — Conclusion :
Tu peux acheter au maximum …… pots de peinture.

Mes calculs :

Inéquation : \(14x + 8 \leq 80\)

Résolution : \(14x \leq 72\) → \(x \leq \dfrac{72}{14} \approx 5{,}14\)

Conclusion : Tu peux acheter au maximum 5 pots. Vérif : \(14 \times 5 + 8 = 78 \leq 80\) ✔

Exercice 10 Double inéquation — guidé Socle

Résoudre la double inéquation en complétant les étapes.

\(-4 \leq 2x + 6 \leq 14\)

Étape 1 : soustraire 6 partout :
\(-4 - 6 \leq 2x \leq 14 - 6\)
…… \(\leq 2x \leq\) ……

Étape 2 : diviser par 2 partout :
\(\dfrac{\ldots}{2} \leq x \leq \dfrac{\ldots}{2}\)
…… \(\leq x \leq\) ……

Solution en intervalle : \([\ldots ; \ldots]\)

Mes calculs :

Étape 1 : \(-10 \leq 2x \leq 8\)

Étape 2 : \(-5 \leq x \leq 4\)

Solution : \([-5 ; 4]\)

📌 Astuce : dans une double inéquation, on applique la même opération aux trois parties.

Exercice 11 Score minimum au sport — guidé Socle

🏃 Sport — Course à pied

En course à pied, un athlète parcourt chaque tour de piste en 4 minutes. Il a déjà couru pendant 12 minutes et il veut courir au moins 40 minutes au total.

Étape 1 — Mise en inéquation :
On appelle \(x\) le nombre de tours restants. Le temps total doit être ≥ 40 :
…… × \(x\) + …… \(\geq\) ……

Étape 2 — Résolution :
\(4x \geq 40 - 12 = \) ……
\(x \geq \dfrac{\ldots}{4} = \) ……

Étape 3 — Conclusion :
Il doit encore courir au minimum …… tours.

Mes calculs :

Inéquation : \(4x + 12 \geq 40\)

Résolution : \(4x \geq 28\) → \(x \geq 7\)

Conclusion : Il doit encore courir au minimum 7 tours. Vérif : \(4 \times 7 + 12 = 40 \geq 40\) ✔

Exercice 12 Inéquations simples — entraînement guidé Socle

Résoudre chaque inéquation en complétant les étapes, puis donner la solution en intervalle.

a) \(8x - 4 \leq 20\)
Étape 1 : \(8x \leq 20 + 4 = \) ……
Étape 2 : \(x \leq \dfrac{\ldots}{8} = \) ……
Solution en intervalle : ……

b) \(5x + 3 > 28\)
Étape 1 : \(5x > 28 - 3 = \) ……
Étape 2 : \(x > \dfrac{\ldots}{5} = \) ……
Solution en intervalle : ……

c) \(10x - 15 \geq 35\)
Étape 1 : \(10x \geq 35 + 15 = \) ……
Étape 2 : \(x \geq \dfrac{\ldots}{10} = \) ……
Solution en intervalle : ……

Mes calculs :

a) \(8x \leq 24\) → \(x \leq 3\). Solution : \(]-\infty ; 3]\).

b) \(5x > 25\) → \(x > 5\). Solution : \(]5 ; +\infty[\).

c) \(10x \geq 50\) → \(x \geq 5\). Solution : \([5 ; +\infty[\).

Exercice 13 Division par un négatif — entraînement guidé Socle

⚠ Rappel : Quand on divise par un nombre négatif, on inverse le sens de l'inégalité.

a) \(-7x \leq 21\)
On divise par …… (négatif → on inverse) → \(x\) …… \(\dfrac{21}{\ldots} = \) ……
Solution en intervalle : ……

b) \(-2x + 10 > 16\)
Étape 1 : \(-2x > 16 - 10 = \) ……
Étape 2 : on divise par …… (négatif → on inverse) → \(x\) …… ……
Solution en intervalle : ……

c) \(-4x - 8 \geq -20\)
Étape 1 : \(-4x \geq -20 + 8 = \) ……
Étape 2 : on divise par …… → \(x\) …… ……
Solution en intervalle : ……

Mes calculs :

a) \(-7x \leq 21\) → on divise par \(-7\) (négatif) → \(x \geq -3\). Solution : \([-3 ; +\infty[\).

b) \(-2x > 6\) → on divise par \(-2\) (négatif) → \(x < -3\). Solution : \(]-\infty ; -3[\).

c) \(-4x \geq -12\) → on divise par \(-4\) (négatif) → \(x \leq 3\). Solution : \(]-\infty ; 3]\).

Exercice 14 Budget de fournitures scolaires — guidé Socle

🛒 Quotidien — Achats

Tu veux acheter des cahiers pour la rentrée. Chaque cahier coûte 3,50 € et tu dois aussi acheter une trousse à 9 €. Tu disposes de 40 €.

Étape 1 — Mise en inéquation :
On appelle \(x\) le nombre de cahiers. La dépense totale doit être ≤ 40 € :
…… × \(x\) + …… \(\leq\) ……

Étape 2 — Résolution :
\(3{,}5x \leq 40 - 9 = \) ……
\(x \leq \dfrac{\ldots}{3{,}5} \approx \) ……

Étape 3 — Conclusion :
Tu peux acheter au maximum …… cahiers.

Mes calculs :

Inéquation : \(3{,}5x + 9 \leq 40\)

Résolution : \(3{,}5x \leq 31\) → \(x \leq \dfrac{31}{3{,}5} \approx 8{,}86\)

Conclusion : Tu peux acheter au maximum 8 cahiers. Vérif : \(3{,}5 \times 8 + 9 = 28 + 9 = 37 \leq 40\) ✔

Exercice 15 Inéquation avec \(x\) des deux côtés — guidé Socle

Méthode : Quand il y a des \(x\) des deux côtés, on regroupe les \(x\) d'un côté et les nombres de l'autre.

a) \(5x + 2 \leq 3x + 10\)
Étape 1 : on regroupe les \(x\) à gauche : \(5x - 3x \leq 10 - 2\) → \(\ldots x \leq \ldots\)
Étape 2 : \(x \leq \dfrac{\ldots}{\ldots} = \) ……
Solution en intervalle : ……

b) \(2x - 4 > 6x + 8\)
Étape 1 : \(2x - 6x > 8 + 4\) → \(\ldots x > \ldots\)
Étape 2 : on divise par …… (négatif → on inverse) → \(x\) …… ……
Solution en intervalle : ……

c) \(7x + 1 \geq 4x + 16\)
Étape 1 : \(\ldots x \geq \ldots\)
Étape 2 : \(x \geq \ldots\)
Solution en intervalle : ……

Mes calculs :

a) \(2x \leq 8\) → \(x \leq 4\). Solution : \(]-\infty ; 4]\).

b) \(-4x > 12\) → on divise par \(-4\) (négatif) → \(x < -3\). Solution : \(]-\infty ; -3[\).

c) \(3x \geq 15\) → \(x \geq 5\). Solution : \([5 ; +\infty[\).

Exercice 16 Quantité minimale de panneaux — guidé Socle

🔨 Menuiserie — Atelier

Un menuisier doit couvrir une surface d'au moins 15 m² avec des panneaux de bois. Chaque panneau couvre 1,2 m².

Étape 1 — Mise en inéquation :
On appelle \(x\) le nombre de panneaux. La surface couverte doit être ≥ 15 m² :
…… × \(x\) \(\geq\) ……

Étape 2 — Résolution :
\(x \geq \dfrac{\ldots}{1{,}2} = \) ……

Étape 3 — Conclusion :
Il faut au minimum …… panneaux.

Mes calculs :

Inéquation : \(1{,}2x \geq 15\)

Résolution : \(x \geq \dfrac{15}{1{,}2} = 12{,}5\)

Conclusion : Il faut au minimum 13 panneaux (on arrondit au-dessus car on ne peut pas acheter un demi-panneau). Vérif : \(1{,}2 \times 13 = 15{,}6 \geq 15\) ✔

Exercice 17 Double inéquation — température guidée Socle

🌡 Science — Température

La température \(T\) dans un atelier de séchage du bois est régulée par la formule \(T = 3h + 12\) (en °C), où \(h\) est le nombre d'heures de fonctionnement du chauffage.

La température doit rester entre 18 °C et 30 °C.

Étape 1 — Double inéquation :
…… \(\leq 3h + 12 \leq\) ……

Étape 2 — Soustraire 12 partout :
…… \(\leq 3h \leq\) ……

Étape 3 — Diviser par 3 partout :
…… \(\leq h \leq\) ……

Conclusion : Le chauffage doit fonctionner entre …… et …… heures.

Mes calculs :

Étape 1 : \(18 \leq 3h + 12 \leq 30\)

Étape 2 : \(18 - 12 \leq 3h \leq 30 - 12\) → \(6 \leq 3h \leq 18\)

Étape 3 : \(2 \leq h \leq 6\)

Conclusion : Le chauffage doit fonctionner entre 2 h et 6 h. Solution : \([2 ; 6]\).

📌 Vérif : \(T(2) = 3 \times 2 + 12 = 18\) ✔ et \(T(6) = 3 \times 6 + 12 = 30\) ✔

Exercice 18 Budget fournitures scolaires — guidé Socle

🛒 Vie quotidienne — Budget

Un élève dispose de 50 € pour acheter des fournitures scolaires. Chaque cahier coûte 3,50 € et il a déjà dépensé 15 € en stylos.

On note \(x\) le nombre de cahiers achetés.

Étape 1 — Écrire l'inéquation :
Dépense totale \(\leq\) Budget → \(3{,}5x + \ldots \leq \ldots\)

Étape 2 — Isoler \(x\) :
\(3{,}5x \leq \ldots - \ldots = \ldots\)

Étape 3 — Diviser :
\(x \leq \dfrac{\ldots}{3{,}5} = \ldots\)

Conclusion : L'élève peut acheter au maximum …… cahiers.

Mes calculs :

Étape 1 : \(3{,}5x + 15 \leq 50\)

Étape 2 : \(3{,}5x \leq 50 - 15 = 35\)

Étape 3 : \(x \leq \dfrac{35}{3{,}5} = 10\)

Conclusion : L'élève peut acheter au maximum 10 cahiers. Solution : \(x \in [0 ; 10]\) (valeurs entières).

📌 Vérif : \(3{,}5 \times 10 + 15 = 50\) ✔ — le budget est exactement atteint.

Exercice 19 Distance de freinage — sécurité routière — guidé Socle

🚗 Science — Sécurité routière

La distance de freinage \(d\) (en mètres) d'un véhicule est modélisée par \(d = 0{,}5v + 2\), où \(v\) est la vitesse en km/h.
Pour s'arrêter avant un obstacle situé à 40 m, on doit avoir \(d \leq 40\).

Étape 1 — Écrire l'inéquation :
\(0{,}5v + 2 \leq \ldots\)

Étape 2 — Soustraire 2 :
\(0{,}5v \leq \ldots\)

Étape 3 — Diviser par 0,5 :
\(v \leq \ldots\)

Conclusion : La vitesse maximale est de …… km/h. Solution en intervalle : ……

Mes calculs :

Étape 1 : \(0{,}5v + 2 \leq 40\)

Étape 2 : \(0{,}5v \leq 38\)

Étape 3 : \(v \leq \dfrac{38}{0{,}5} = 76\)

Conclusion : La vitesse maximale est de 76 km/h. Solution : \(v \in ]0 ; 76]\).

📌 Vérif : \(d(76) = 0{,}5 \times 76 + 2 = 40\) ✔ — pile la distance limite.

Exercice 20 Résoudre des inéquations du premier degré Standard

Résoudre chaque inéquation et exprimer la solution sous forme d'intervalle.

a) \(4x - 6 > 10\)
b) \(2x + 5 \leq 13\)
c) \(-3x + 9 \geq 0\)
d) \(-5x - 4 < 11\)

Mes calculs :

a) \[4x - 6 > 10 \implies 4x > 16 \implies x > 4\]

Solution : \(]4 ; +\infty[\)

b) \[2x + 5 \leq 13 \implies 2x \leq 8 \implies x \leq 4\]

Solution : \(]-\infty ; 4]\)

c) \[-3x + 9 \geq 0 \implies -3x \geq -9\] On divise par −3 (négatif → on inverse le signe) : \[x \leq 3\]

Solution : \(]-\infty ; 3]\)

⚠ On a divisé par −3 (nombre négatif) → le symbole ≥ est devenu ≤ !

d) \[-5x - 4 < 11 \implies -5x < 15\] On divise par −5 (négatif → on inverse le signe) : \[x > -3\]

Solution : \(]-3 ; +\infty[\)

⚠ En (c) et (d), la division par un nombre négatif a inversé le sens de l'inégalité.

Exercice 21 Inéquations avec termes des deux côtés Standard

Résoudre et exprimer la solution sous forme d'intervalle.

a) \(5x - 3 \geq 2x + 9\)
b) \(3x + 7 < 8x - 3\)
c) \(-2x + 1 \leq x - 5\)
d) \(4(x - 1) > 2x + 6\)

Mes calculs :

a) \[5x - 3 \geq 2x + 9 \implies 3x \geq 12 \implies x \geq 4\]

Solution : \([4 ; +\infty[\)

b) \[3x + 7 < 8x - 3 \implies 10 < 5x \implies x > 2\]

Solution : \(]2 ; +\infty[\)

c) \[-2x + 1 \leq x - 5 \implies 1 + 5 \leq x + 2x \implies 6 \leq 3x \implies x \geq 2\]

Solution : \([2 ; +\infty[\)

d) \[4(x-1) > 2x + 6 \implies 4x - 4 > 2x + 6 \implies 2x > 10 \implies x > 5\]

Solution : \(]5 ; +\infty[\)

Solutions des quatre inéquations — cercle plein = valeur incluse, cercle vide = valeur exclue.

Exercice 22 Budget pour l'achat de lames de parquet Standard

🏠 Agencement – Revêtement de sol

Un artisan doit poser du parquet dans une chambre. Il dispose d'un budget de 650 €. Les lames de parquet coûtent 24 € le m², la colle 35 € (forfait fixe).

Quelle surface maximale peut-il couvrir avec ce budget ? Exprimer la réponse sous forme d'intervalle.

Mes calculs :

Inéquation : \(24x + 35 \leq 650\)
Résolution : \(24x \leq 615 \implies x \leq \dfrac{615}{24} = 25{,}625 \text{ m}^2\)

✔ Surface max : 25,625 m² — soit en pratique 25 m².
Solution : \(x \in ]0 ; 25{,}625]\)

Vérif : \(24 \times 25 + 35 = 635 \leq 650\) ✔

Exercice 23 Contrainte de dimension pour un meuble Standard

📐 Agencement – Ameublement

Un artisan fabrique une bibliothèque sur mesure. La hauteur totale \(H\) de la bibliothèque en fonction du nombre de rayons \(n\) est donnée par : \(H(n) = 32n\) (en cm).

La bibliothèque doit avoir une hauteur entre 160 cm et 220 cm.

1. Écrire la double inéquation qui traduit cette contrainte.
2. Résoudre cette inéquation.
3. Combien de configurations entières (nombre de rayons) sont possibles ?

Mes calculs :

1. Inéquation : \(160 \leq 32n \leq 220\) 2. Résolution : \[\frac{160}{32} \leq n \leq \frac{220}{32}\] \[5 \leq n \leq 6{,}875\] 3. Valeurs entières :

\(n = 5\) : \(H = 32 \times 5 = 160\) cm ✔
\(n = 6\) : \(H = 32 \times 6 = 192\) cm ✔
\(n = 7\) : \(H = 32 \times 7 = 224\) cm ✗ (trop grand)

✔ Il y a 2 configurations possibles : 5 rayons (H = 160 cm) ou 6 rayons (H = 192 cm).

Exercice 24 Rentabilité d'un atelier Standard

💶 Gestion – Menuiserie

Un artisan menuisier fabrique des étagères en bois.

Charges fixes mensuelles : 420 €
Coût matériaux par étagère : 28 €
Prix de vente : 75 €

1. Exprimer le bénéfice \(B(x)\) en fonction du nombre \(x\) d'étagères vendues.
2. À partir de combien d'étagères l'artisan est-il bénéficiaire (bénéfice strictement positif) ?
3. Combien doit-il en vendre pour réaliser au minimum 500 € de bénéfice ?

Mes calculs :

1. \(B(x) = 75x - (420 + 28x) = 47x - 420\) 2. Condition bénéficiaire : \[47x - 420 > 0 \implies 47x > 420 \implies x > \frac{420}{47} \approx 8{,}9\]

✔ À partir de 9 étagères. Vérif : \(47 \times 9 - 420 = 3 > 0\) ✔

3. Bénéfice ≥ 500 € : \[47x - 420 \geq 500 \implies 47x \geq 920 \implies x \geq \frac{920}{47} \approx 19{,}6\]

✔ Il doit vendre au minimum 20 étagères. Vérif : \(47 \times 20 - 420 = 520 \geq 500\) ✔

Exercice 25 Inéquations avec parenthèses et fractions Standard

Résoudre chaque inéquation et exprimer la solution sous forme d'intervalle.

a) \(3(2x - 1) \leq 5x + 4\)
b) \(-(x + 6) > 2x - 3\)
c) \(\dfrac{x + 5}{2} \geq 4\)
d) \(\dfrac{3x - 1}{4} < 2\)

Mes calculs :

a) \[3(2x - 1) \leq 5x + 4 \implies 6x - 3 \leq 5x + 4 \implies x \leq 7\]

Solution : \(]-\infty ; 7]\)

b) \[-(x + 6) > 2x - 3 \implies -x - 6 > 2x - 3 \implies -3x > 3 \implies x < -1\]

Solution : \(]-\infty ; -1[\)

⚠ On a divisé par −3 (négatif) → le symbole > est devenu < !

c) \[\frac{x + 5}{2} \geq 4 \implies x + 5 \geq 8 \implies x \geq 3\]

Solution : \([3 ; +\infty[\)

d) \[\frac{3x - 1}{4} < 2 \implies 3x - 1 < 8 \implies 3x < 9 \implies x < 3\]

Solution : \(]-\infty ; 3[\)

Exercice 26 Choix d'un abonnement sportif Standard

🏃 Sport — Abonnement

Un lycéen hésite entre deux abonnements de salle de sport :

Formule	Abonnement mensuel	Prix par séance
Formule A	25 €	2 € / séance
Formule B	0 €	6 € / séance

1. Écrire le coût mensuel de chaque formule en fonction du nombre de séances \(x\).
2. Résoudre l'inéquation qui détermine à partir de combien de séances la Formule A est plus avantageuse.
3. S'il fait 8 séances par mois, quelle formule choisir ? Calculer l'économie.

Mes calculs :

1.

Formule A : \(A(x) = 25 + 2x\)
Formule B : \(B(x) = 6x\)

2. Formule A plus avantageuse : \[25 + 2x < 6x \implies 25 < 4x \implies x > 6{,}25\]

✔ La Formule A est plus avantageuse à partir de 7 séances par mois.

3. Pour 8 séances : \[A(8) = 25 + 2 \times 8 = 41 \text{ €}\] \[B(8) = 6 \times 8 = 48 \text{ €}\]

✔ Pour 8 séances, choisir la Formule A. Économie : \(48 - 41 = 7\) €.

Exercice 27 Encadrement d'une température Standard

🌡 Énergie — Chauffage

Dans un local technique, la température \(T\) (en °C) évolue selon la formule \(T = -2h + 28\) où \(h\) est le nombre d'heures après l'arrêt du chauffage.

La température doit rester entre 14 °C et 24 °C pour le bon fonctionnement du matériel.

1. Écrire la double inéquation correspondante.
2. Résoudre et donner les valeurs de \(h\) compatibles.
3. Pendant combien de temps (en heures) la température est-elle dans la plage acceptable ?

Mes calculs :

1. \(14 \leq -2h + 28 \leq 24\) 2. Résolution : \[14 - 28 \leq -2h \leq 24 - 28\] \[-14 \leq -2h \leq -4\] On divise par \(-2\) (négatif → on inverse les deux sens) : \[2 \leq h \leq 7\]

Solution : \(h \in [2 ; 7]\)

⚠ En divisant par un nombre négatif dans une double inéquation, les deux inégalités s'inversent et les bornes s'échangent.

3. La température est dans la plage pendant \(7 - 2 = \) 5 heures.

La température reste entre 14 °C et 24 °C pendant 5 h (cercles pleins : bornes incluses).

Exercice 28 Devis de pose de parquet Standard

📐 Agencement — Revêtement de sol

Un artisan menuisier propose deux formules de pose de parquet :

Formule Éco : 15 € / m² + 200 € de déplacement
Formule Pro : 22 € / m² sans frais de déplacement

1. Exprimer le prix de chaque formule en fonction de la surface \(x\) (en m²).
2. Pour quelles surfaces la Formule Éco est-elle moins chère ?
3. Le client veut faire poser 35 m². Quelle formule lui conseiller et combien paiera-t-il ?

Mes calculs :

1.

Éco : \(E(x) = 15x + 200\)
Pro : \(P(x) = 22x\)

2. Formule Éco moins chère : \[15x + 200 < 22x \implies 200 < 7x \implies x > \frac{200}{7} \approx 28{,}6 \text{ m}^2\]

✔ La Formule Éco est moins chère pour les surfaces supérieures à 28,6 m², soit à partir de 29 m².

3. Pour 35 m² : \[E(35) = 15 \times 35 + 200 = 725 \text{ €}\] \[P(35) = 22 \times 35 = 770 \text{ €}\]

✔ Choisir la Formule Éco. Le client paiera 725 € (économie de 45 €).

Exercice 29 Contrainte de poids pour une étagère Standard

📐 Menuiserie — Mobilier

Un fabricant de mobilier conçoit une étagère murale. Chaque livre posé pèse en moyenne 0,8 kg. L'étagère elle-même pèse 3 kg et le support mural supporte au maximum 15 kg.

1. Écrire l'inéquation qui traduit la contrainte de poids en fonction du nombre de livres \(x\).
2. Résoudre l'inéquation.
3. Combien de livres peut-on poser au maximum ?
4. Si on ajoute un pot de fleurs de 1,5 kg, combien de livres peut-on encore poser ?

Mes calculs :

1. \(0{,}8x + 3 \leq 15\) 2. \(0{,}8x \leq 12 \implies x \leq \dfrac{12}{0{,}8} = 15\)

Solution : \(x \in [0 ; 15]\)

3. On peut poser au maximum 15 livres. Vérif : \(0{,}8 \times 15 + 3 = 15\) kg ✔ 4. Avec le pot de fleurs : \(0{,}8x + 3 + 1{,}5 \leq 15\) → \(0{,}8x \leq 10{,}5\) → \(x \leq 13{,}125\)

✔ On peut encore poser 13 livres. Vérif : \(0{,}8 \times 13 + 3 + 1{,}5 = 14{,}9 \leq 15\) ✔

Exercice 30 Abonnement salle de sport Standard

🏋️ Sport — Budget

Deux salles de sport proposent des tarifs différents :

Salle A : 8 € par séance, sans abonnement.
Salle B : abonnement de 45 € par mois + 3 € par séance.

1. Exprimer le coût mensuel de chaque salle en fonction du nombre de séances \(x\).
2. Pour combien de séances la Salle B est-elle plus avantageuse ? (Résoudre l'inéquation \(C_B(x) < C_A(x)\).)
3. Un sportif fait 12 séances par mois. Quelle salle lui conseiller ? Calculer l'économie réalisée.

Mes calculs :

1. \(C_A(x) = 8x\) et \(C_B(x) = 3x + 45\). 2. \(3x + 45 < 8x \implies 45 < 5x \implies x > 9\)

La Salle B est plus avantageuse à partir de 10 séances par mois.

3. Pour 12 séances : \(C_A(12) = 96\) € et \(C_B(12) = 81\) €.

✔ La Salle B est préférable. Économie : \(96 - 81 = \mathbf{15}\) € par mois.

Exercice 31 Température minimale — énergie Standard

⚡ Énergie — Bâtiment

La température \(T\) (en °C) dans un local non chauffé évolue selon \(T(t) = -2t + 18\), où \(t\) est le temps en heures après 8 h du matin.

1. Calculer la température à 8 h, à 11 h et à 14 h.
2. La réglementation impose que la température reste supérieure ou égale à 10 °C. Écrire et résoudre l'inéquation correspondante.
3. À partir de quelle heure faut-il déclencher le chauffage ? Écrire la solution en intervalle.
4. Si le chauffage augmente la température de 5 °C par heure, la nouvelle température suit \(T_2(t) = 3t + 18\). Quand \(T_2\) dépasse-t-elle 30 °C ?

Mes calculs :

1. \(T(0) = 18\) °C ; \(T(3) = -6 + 18 = 12\) °C ; \(T(6) = -12 + 18 = 6\) °C. 2. \(-2t + 18 \geq 10 \implies -2t \geq -8\). On divise par \(-2\) (négatif → on retourne) : \(t \leq 4\).

Solution : \(t \in [0 ; 4]\), c'est-à-dire de 8 h à 12 h.

3. Le chauffage doit être déclenché avant 12 h (soit au plus tard à \(t = 4\)). 4. \(3t + 18 > 30 \implies 3t > 12 \implies t > 4\).

✔ La température dépasse 30 °C après 4 heures, soit après 12 h.

📌 Attention au sens de l'inégalité quand on divise par un nombre négatif !

Exercice 32 Découpe de tasseaux avec contrainte de longueur Approfondissement

🔨 Charpente – Menuiserie

Un artisan dispose d'une barre de bois de 3,60 m. Il veut y découper des tasseaux de longueur égale. Chaque découpe entraîne une perte de 3 mm = 0,3 cm (le trait de scie). Il souhaite obtenir 8 tasseaux et accepte une chute de moins de 10 cm.

Quelle doit être la longueur minimale de chaque tasseau pour que la chute soit inférieure à 10 cm ? (Barre de 360 cm, 7 traits de scie à 0,3 cm chacun.)

Mes calculs :

Inconnue : \(x\) = longueur d'un tasseau (en cm).

Chute : \(360 - (8x + 2{,}1) < 10\) \[360 - 8x - 2{,}1 < 10\] \[357{,}9 - 8x < 10\] \[- 8x < 10 - 357{,}9 = -347{,}9\] On divise par −8 → on inverse le signe : \[x > \frac{347{,}9}{8} \approx 43{,}5 \text{ cm}\]
Condition max (les tasseaux doivent tenir dans la barre) : \[8x + 2{,}1 \leq 360 \implies x \leq 44{,}7 \text{ cm}\]

✔ Les tasseaux doivent mesurer entre 43,5 cm et 44,7 cm.
En pratique : 44 cm est une bonne longueur. Vérif : \(8 \times 44 + 2{,}1 = 354{,}1\) ; chute = \(360 - 354{,}1 = 5{,}9\) cm < 10 cm ✔

Exercice 33 Comparaison de deux tarifs de location Approfondissement

💼 Gestion – Atelier

Un artisan hésite entre deux formules de location d'une camionnette de livraison :

Formule	Coût fixe	Prix au km
Formule A	40 €	0,15 € / km
Formule B	0 €	0,35 € / km

1. Écrire le coût de chaque formule en fonction du nombre de km parcourus \(x\).
2. À partir de combien de km la Formule A est-elle moins chère que la Formule B ?
3. Si l'artisan prévoit 180 km, quelle formule choisir ? Calculer l'économie.

Mes calculs :

1.

Formule A : \(A(x) = 40 + 0{,}15x\)
Formule B : \(B(x) = 0{,}35x\)

2. Formule A moins chère : \[40 + 0{,}15x < 0{,}35x\] \[40 < 0{,}35x - 0{,}15x\] \[40 < 0{,}20x\] \[x > \frac{40}{0{,}20} = 200 \text{ km}\]

✔ La Formule A est moins chère à partir de 201 km.

3. Pour 180 km : \[A(180) = 40 + 0{,}15 \times 180 = 40 + 27 = 67 \text{ €}\] \[B(180) = 0{,}35 \times 180 = 63 \text{ €}\]

✔ Pour 180 km, choisir la Formule B. Économie : \(67 - 63 = 4\) €.

Exercice 34 Optimisation d'un devis de menuiserie Approfondissement

💶 Gestion — Devis

Un métreur doit préparer un devis pour la fabrication de portes sur mesure. Le coût de production d'une porte est de 85 € (matériaux + main-d'œuvre). Les charges fixes mensuelles de l'atelier sont de 1 200 €. Chaque porte est vendue 165 €.

1. Exprimer le bénéfice mensuel \(B(x)\) en fonction du nombre \(x\) de portes fabriquées et vendues.
2. Résoudre \(B(x) > 0\). À partir de combien de portes l'atelier est-il rentable ?
3. L'artisan souhaite un bénéfice d'au moins 2 000 € par mois. Combien de portes doit-il vendre ?
4. S'il ne peut produire que 30 portes par mois, quel doit être le prix de vente minimal pour atteindre 2 000 € de bénéfice ?

Mes calculs :

1. \(B(x) = 165x - (85x + 1200) = 80x - 1200\) 2. Rentabilité : \[80x - 1200 > 0 \implies 80x > 1200 \implies x > 15\]

✔ L'atelier est rentable à partir de 16 portes.

3. Bénéfice ≥ 2 000 € : \[80x - 1200 \geq 2000 \implies 80x \geq 3200 \implies x \geq 40\]

✔ Il doit vendre au minimum 40 portes.

4. Avec 30 portes et un prix de vente \(p\) : \[30p - (85 \times 30 + 1200) \geq 2000\] \[30p - 3750 \geq 2000 \implies 30p \geq 5750 \implies p \geq 191{,}67\]

✔ Le prix de vente minimal est de 192 € par porte (arrondi au-dessus).

Exercice 35 Encadrement de dimensions — Norme de sécurité Approfondissement

📐 Agencement — Normes

Un artisan menuisier fabrique des garde-corps en bois. La norme NF P01-012 impose que la hauteur \(H\) d'un garde-corps soit comprise entre 100 cm et 110 cm.

Le garde-corps est composé d'un socle de 8 cm, de barreaux de hauteur \(x\) et d'une main courante de 5 cm.

1. Exprimer \(H\) en fonction de \(x\).
2. Écrire et résoudre la double inéquation correspondant à la norme.
3. Donner l'ensemble des valeurs possibles de \(x\) sous forme d'intervalle.
4. Le fournisseur propose des barreaux de 85 cm, 88 cm, 90 cm et 95 cm. Lesquels sont conformes ?

Mes calculs :

1. \(H = x + 8 + 5 = x + 13\) 2. \(100 \leq x + 13 \leq 110\) \[100 - 13 \leq x \leq 110 - 13\] \[87 \leq x \leq 97\] 3.

Solution : \(x \in [87 ; 97]\) cm

4.

85 cm → \(85 < 87\) ✗ Non conforme
88 cm → \(87 \leq 88 \leq 97\) ✔ Conforme
90 cm → \(87 \leq 90 \leq 97\) ✔ Conforme
95 cm → \(87 \leq 95 \leq 97\) ✔ Conforme

✔ Les barreaux de 88 cm, 90 cm et 95 cm sont conformes.

Exercice 36 Comparaison de deux fournisseurs de bois Approfondissement

💶 Gestion — Achat de matériaux

Un artisan menuisier commande régulièrement des planches de chêne. Deux fournisseurs proposent :

Fournisseur	Prix par planche	Frais de livraison	Remise
Fournisseur A	12 €	50 €	Aucune
Fournisseur B	15 €	Gratuite	−10 % sur le total si plus de 20 planches

On note \(x\) le nombre de planches commandées (\(x > 20\)).

1. Écrire le coût chez le Fournisseur A : \(C_A(x)\).
2. Écrire le coût chez le Fournisseur B (avec remise) : \(C_B(x)\).
3. Résoudre \(C_A(x) < C_B(x)\). Pour combien de planches le Fournisseur A est-il moins cher ?
4. Pour une commande de 40 planches, quel fournisseur choisir ? Calculer la différence.

Mes calculs :

1. \(C_A(x) = 12x + 50\) 2. Avec remise de 10 % : \(C_B(x) = 0{,}9 \times 15x = 13{,}5x\) 3. \[12x + 50 < 13{,}5x \implies 50 < 1{,}5x \implies x > \frac{50}{1{,}5} \approx 33{,}3\]

✔ Le Fournisseur A est moins cher à partir de 34 planches (pour \(x > 20\)).

4. Pour 40 planches : \[C_A(40) = 12 \times 40 + 50 = 530 \text{ €}\] \[C_B(40) = 13{,}5 \times 40 = 540 \text{ €}\]

✔ Le Fournisseur A est moins cher de 10 €.

Exercice 37 Performance énergétique et isolation Approfondissement

🔋 Énergie — Isolation thermique

La déperdition thermique \(D\) (en watts) à travers une paroi est modélisée par : \[D = \frac{S \times \Delta T}{R}\] où \(S = 12\) m² est la surface de la paroi, \(\Delta T = 20\) °C est l'écart de température, et \(R\) est la résistance thermique de l'isolant (en m²·K/W).

1. Exprimer \(D\) en fonction de \(R\).
2. La norme impose que la déperdition soit inférieure à 60 W. Écrire et résoudre l'inéquation correspondante.
3. Quelle résistance thermique minimale faut-il choisir ?
4. Si un isolant de 10 cm d'épaisseur a une résistance \(R = 3\) m²·K/W, est-il suffisant ? Quelle épaisseur minimale (en cm) faut-il si \(R\) est proportionnel à l'épaisseur ?

Mes calculs :

1. \(D = \dfrac{12 \times 20}{R} = \dfrac{240}{R}\) 2. \(\dfrac{240}{R} < 60\). Comme \(R > 0\) : \[240 < 60R \implies R > \frac{240}{60} = 4\]

Solution : \(R \in \;]4 ; +\infty[\)

3. La résistance thermique minimale est \(R = 4\) m²·K/W (strictement supérieure). 4. Avec \(R = 3\) : \(D = \dfrac{240}{3} = 80\) W > 60 W → insuffisant.
Si \(R\) est proportionnel à l'épaisseur \(e\) : \(R = \dfrac{3}{10} \times e = 0{,}3e\). \[0{,}3e > 4 \implies e > \frac{4}{0{,}3} \approx 13{,}3 \text{ cm}\]

✔ Il faut au minimum 14 cm d'épaisseur d'isolant.

Exercice 38 Système de deux inéquations Approfondissement

Résoudre chaque système d'inéquations. Donner la solution sous forme d'intervalle et représenter sur une droite graduée.

a) \(\begin{cases} 3x - 2 \leq 10 \\ x + 4 > 1 \end{cases}\)

b) \(\begin{cases} -2x + 6 \geq 0 \\ 5x - 1 > 9 \end{cases}\)

c) \(\begin{cases} 4x + 3 \leq 2x + 11 \\ -x + 7 < 12 \end{cases}\)

Mes calculs :

a)

Inéq. 1 : \(3x \leq 12 \implies x \leq 4\) → \(]-\infty ; 4]\)
Inéq. 2 : \(x > -3\) → \(]-3 ; +\infty[\)

Intersection : \(]-3 ; 4]\)

✔ Solution : \(]-3 ; 4]\) — droite graduée : rond vide en −3, rond plein en 4, zone coloriée entre les deux.

b)

Inéq. 1 : \(-2x \geq -6 \implies x \leq 3\) → \(]-\infty ; 3]\)
Inéq. 2 : \(5x > 10 \implies x > 2\) → \(]2 ; +\infty[\)

Intersection : \(]2 ; 3]\)

✔ Solution : \(]2 ; 3]\)

c)

Inéq. 1 : \(2x \leq 8 \implies x \leq 4\) → \(]-\infty ; 4]\)
Inéq. 2 : \(-x < 5 \implies x > -5\) → \(]-5 ; +\infty[\)

Intersection : \(]-5 ; 4]\)

✔ Solution : \(]-5 ; 4]\)

Exercice 39 Optimisation d'un emballage Approfondissement

📐 Agencement — Conception

Un fabricant de mobilier conçoit un carton d'emballage rectangulaire de longueur \(L\), largeur \(\ell = 40\) cm et hauteur \(h = 30\) cm.

Le périmètre d'une section transversale (la coupe en largeur × hauteur) doit être inférieur à 2 m de ruban adhésif. De plus, la longueur doit être au moins égale à 60 cm pour contenir le meuble.

La quantité totale de ruban adhésif utilisée est : \(Q = 2(L + \ell + h) = 2(L + 40 + 30) = 2L + 140\) cm.

1. Écrire le système d'inéquations traduisant les deux contraintes (ruban < 200 cm et longueur ≥ 60 cm).
2. Résoudre ce système.
3. Donner l'ensemble des longueurs possibles sous forme d'intervalle.

Mes calculs :

1. Système : \[\begin{cases} 2L + 140 < 200 \\ L \geq 60 \end{cases}\] 2.

Inéq. 1 : \(2L < 60 \implies L < 30\)
Inéq. 2 : \(L \geq 60\)

Intersection de \(]-\infty ; 30[\) et \([60 ; +\infty[\) : ensemble vide. 3.

✔ Il n'existe aucune longueur satisfaisant les deux contraintes simultanément. Le fabricant doit revoir ses contraintes : soit utiliser plus de ruban, soit accepter un carton plus court.

📌 Un système d'inéquations peut ne pas avoir de solution ! C'est un résultat important : il faut toujours vérifier la compatibilité des contraintes.

Exercice 40 Problème ouvert — Choix d'investissement Approfondissement

💶 Gestion — Investissement

Un artisan menuisier hésite entre acheter une machine-outil neuve ou continuer à sous-traiter.

Option 1 — Sous-traitance : chaque pièce usinée coûte 22 €.
Option 2 — Machine neuve : achat de la machine à 8 500 €, coût d'usinage par pièce : 4 €, entretien annuel : 600 €.

On note \(x\) le nombre de pièces usinées sur une année.

1. Exprimer le coût annuel de chaque option en fonction de \(x\).
2. L'artisan amortit la machine sur 5 ans. Exprimer le coût annuel de l'option 2 en intégrant l'amortissement.
3. Résoudre l'inéquation : à partir de combien de pièces par an l'achat de la machine est-il rentable ?
4. L'artisan prévoit d'usiner entre 100 et 200 pièces par an. Que lui conseillez-vous ? Justifier par le calcul.

Mes calculs :

1.

Option 1 : \(C_1(x) = 22x\)
Option 2 (sans amortissement) : \(C_2(x) = 4x + 600\)

2. Amortissement annuel : \(\dfrac{8500}{5} = 1700\) €.
Coût annuel complet : \(C_2(x) = 4x + 600 + 1700 = 4x + 2300\) 3. \[4x + 2300 < 22x \implies 2300 < 18x \implies x > \frac{2300}{18} \approx 127{,}8\]

✔ L'achat est rentable à partir de 128 pièces par an.

4. Pour 100 pièces : \(C_1 = 2200\) € et \(C_2 = 2700\) € → sous-traitance moins chère.
Pour 200 pièces : \(C_1 = 4400\) € et \(C_2 = 3100\) € → machine moins chère.

✔ Si l'artisan usine régulièrement 128 pièces ou plus par an, l'achat de la machine est rentable. Entre 100 et 127 pièces, la sous-traitance reste préférable.

Exercice 41 Optimisation d'un devis — double contrainte Approfondissement

🔨 Menuiserie — Devis

Un métreur prépare un devis pour la pose de parquet dans un couloir rectangulaire. La longueur du couloir est \(L\) mètres et la largeur est fixée à 1,20 m. Le client impose deux contraintes :

Le coût total ne doit pas dépasser 960 €. Le parquet coûte 35 €/m² et la pose 15 €/m².
La surface minimale est de 6 m² (en dessous, le poseur refuse le chantier).

1. Exprimer la surface \(S\) et le coût total \(C\) en fonction de \(L\).
2. Écrire le système de deux inéquations traduisant les contraintes.
3. Résoudre chaque inéquation séparément.
4. Déterminer l'ensemble des valeurs de \(L\) satisfaisant les deux contraintes. Écrire la solution sous forme d'intervalle.
5. Le client souhaite un couloir de 18 m. Est-ce réalisable dans le budget ?

Mes calculs :

1. \(S = 1{,}2L\) m² et \(C = (35 + 15) \times 1{,}2L = 60L\) €. 2. Système : \[\begin{cases} 60L \leq 960 \\ 1{,}2L \geq 6 \end{cases}\] 3.

Inéq. 1 : \(60L \leq 960 \implies L \leq 16\)
Inéq. 2 : \(1{,}2L \geq 6 \implies L \geq 5\)

4. Intersection de \(]-\infty ; 16]\) et \([5 ; +\infty[\) :

✔ \(L \in [5 ; 16]\). Le couloir doit mesurer entre 5 m et 16 m.

5. Pour \(L = 18\) : \(C = 60 \times 18 = 1080\) € > 960 €.

✔ Non, un couloir de 18 m dépasse le budget de 120 €. Il faudrait réduire à 16 m maximum.

📌 Un système d'inéquations peut donner un intervalle borné : ici, les deux contraintes limitent \(L\) par le haut ET par le bas.

Exercice 42 Bilan énergétique — panneaux solaires vs réseau Approfondissement

☀️ Énergie — Développement durable

Un particulier compare deux solutions pour alimenter son atelier :

Réseau EDF : 0,25 €/kWh (pas d'investissement initial).
Panneaux solaires : investissement de 4 200 €, puis un coût de fonctionnement de 0,05 €/kWh.

On note \(x\) la consommation annuelle en kWh.

1. Exprimer le coût annuel de chaque solution en fonction de \(x\).
2. Pour quelle consommation annuelle les panneaux solaires deviennent-ils rentables la première année ? Résoudre l'inéquation.
3. L'investissement est amorti sur 10 ans. Réécrire le coût annuel des panneaux en incluant l'amortissement \(\dfrac{4200}{10}\). Pour quelle consommation annuelle les panneaux sont-ils rentables sur 10 ans ?
4. L'atelier consomme 2 500 kWh par an. Calculer l'économie annuelle réalisée avec les panneaux (en incluant l'amortissement). Conclure.

Mes calculs :

1.

EDF : \(C_1(x) = 0{,}25x\)
Solaire (1re année) : \(C_2(x) = 0{,}05x + 4200\)

2. \(0{,}05x + 4200 < 0{,}25x \implies 4200 < 0{,}20x \implies x > \dfrac{4200}{0{,}20} = 21\,000\) kWh.

✔ Les panneaux ne sont pas rentables dès la première année pour une consommation réaliste (il faudrait plus de 21 000 kWh).

3. Amortissement annuel : \(\dfrac{4200}{10} = 420\) €. Coût annuel : \(C_3(x) = 0{,}05x + 420\). \[0{,}05x + 420 < 0{,}25x \implies 420 < 0{,}20x \implies x > 2100\]

✔ Sur 10 ans, les panneaux sont rentables dès 2 100 kWh/an.

4. Pour 2 500 kWh : \(C_1 = 0{,}25 \times 2500 = 625\) € et \(C_3 = 0{,}05 \times 2500 + 420 = 545\) €.

✔ Économie : \(625 - 545 = \mathbf{80}\) € par an. L'installation est rentable car \(2500 > 2100\).

📌 L'amortissement transforme un investissement ponctuel en coût annuel constant. Sans amortissement, le solaire semble toujours trop cher la première année.

Compétence	Exercices
Écrire une solution sous forme d'intervalle	Ex 1, 2
Résoudre une inéquation du premier degré	Ex 3, 6, 12, 15 (socle) \| Ex 20, 21, 25 (standard)
Inverser le sens de l'inégalité (division par négatif)	Ex 4, 7, 13 (socle) \| Ex 20, 25, 27 (standard) \| Ex 32 (appro)
Résoudre une double inéquation	Ex 10, 17 (socle) \| Ex 23, 27 (standard) \| Ex 35 (appro)
Résoudre un système d'inéquations	Ex 38, 39, 41 (appro)
Traduire une contrainte par une inéquation	Ex 5, 9, 11, 14, 16, 18, 19 (socle) \| Ex 22, 24, 26, 28–31 (standard) \| Ex 32–34, 36, 37, 40, 42 (appro)
Interpréter la solution dans son contexte	Ex 5, 9, 11, 14, 16, 18, 19 (socle) \| Ex 22, 24, 26, 28–31 (standard) \| Ex 32–34, 36, 37, 40, 42 (appro)
Représenter sur une droite graduée	Ex 8 (socle) \| Ex 38 (appro)

Exercices – Inéquations du premier degré

Exercices guidés pas à pas

Exercices d'application

Exercices d'approfondissement