Chapitre 5 – Fonctions polynômes de degré 2

Soit \(f(x) = 2(x - 1)(x - 3)\). Les racines sont \(x_1 = 1\) et \(x_2 = 3\), et \(a = 2\).

Axe de symétrie : \(x_S = \dfrac{1 + 3}{2} = 2\).

Ordonnée du sommet : \(f(2) = 2 \times (2 - 1) \times (2 - 3) = 2 \times 1 \times (-1) = -2\).

Le sommet est donc \(S(2\,;\,-2)\) et l'axe de symétrie a pour équation \(x = 2\).

Comme \(a = 2 > 0\), la parabole est tournée vers le haut et \(S\) est le point le plus bas : \(f\) admet un minimum égal à \(-2\).

Un ballon est frappé depuis le sol. Sa hauteur (en mètres) est modélisée par : \[h(x) = -0{,}02x(x - 40)\] où \(x\) est la distance horizontale parcourue (en mètres).

Racines : \(h(x) = -0{,}02(x - 0)(x - 40)\), donc \(x_1 = 0\) (départ) et \(x_2 = 40\) (retour au sol).

Sommet : \(x_S = \dfrac{0 + 40}{2} = 20\) m, puis \(h(20) = -0{,}02 \times 20 \times (20 - 40) = -0{,}02 \times 20 \times (-20) = 8\) m.

Le sommet est \(S(20\,;\,8)\). Comme \(a = -0{,}02 < 0\), le sommet est un maximum.

Interprétation : le ballon atteint sa hauteur maximale de 8 m à 20 m du point de frappe, à mi-chemin entre le départ et le retour au sol.

Exemple

Pour \(f(x)=(x-1)(x-5)\), les racines sont 1 et 5. L'axe est en \(x=(1+5)/2=3\). Le sommet est \((3\,;\,-4)\), car \(f(3)=2\times(-2)=-4\). L'ordonnée à l'origine vaut \(f(0)=(-1)\times(-5)=5\). Comme \(a = 1 > 0\), la parabole est tournée vers le haut.

On donne \(f(x) = x^2 - 4\), \(g(x) = -x^2 + 4\) et \(h(x) = x^2 + 1\).

\(g\) est la seule dont le coefficient \(a = -1\) est négatif : c'est la courbe 2, la seule tournée vers le bas.

\(f\) et \(h\) sont tournées vers le haut. \(f(0) = -4\) : c'est la courbe 1. \(h(0) = 1\) : c'est la courbe 3, qui ne rencontre jamais l'axe des abscisses, puisque \(x^2 + 1\) est toujours au moins égal à 1.

Soit \(f(x) = x^2 - x - 6\). Tester si \(x = 3\), \(x = -2\) et \(x = 1\) sont des racines.

Test de \(x = 3\) :

\(f(3) = 3^2 - 3 - 6 = 9 - 3 - 6 = 0\)

Comme \(f(3) = 0\), \(x = 3\) est bien une racine de \(f\).

Test de \(x = -2\) :

\(f(-2) = (-2)^2 - (-2) - 6 = 4 + 2 - 6 = 0\)

Comme \(f(-2) = 0\), \(x = -2\) est aussi une racine de \(f\).

Test de \(x = 1\) :

\(f(1) = 1^2 - 1 - 6 = 1 - 1 - 6 = -6 \neq 0\)

Comme \(f(1) \neq 0\), \(x = 1\) n'est pas une racine.

Soit \(f(x) = 2x^2 - 10x + 12\). On nous dit que \(x_1 = 2\) et \(x_2 = 3\) sont ses racines.

Ici \(a = 2\).

Forme factorisée : \(f(x) = 2(x - 2)(x - 3)\)

Vérification par développement :

\(2(x-2)(x-3) = 2(x^2 - 5x + 6) = 2x^2 - 10x + 12\) ✓

Vérification des racines :

\(f(2) = 2(2-2)(2-3) = 2 \times 0 \times (-1) = 0\) ✓

\(f(3) = 2(3-2)(3-3) = 2 \times 1 \times 0 = 0\) ✓

Un métreur modélise la surface perdue lors de la découpe d'un panneau par la fonction \(S(x) = x^2 - 7x + 10\) (en dm²), où \(x\) est la largeur de découpe en décimètres.

On lui indique que les racines sont \(x_1 = 2\) et \(x_2 = 5\). Ici \(a = 1\).

Forme factorisée : \(S(x) = (x - 2)(x - 5)\)

Interprétation : la surface perdue est nulle quand \(x = 2\) dm ou \(x = 5\) dm. Ce sont les largeurs de découpe qui ne produisent aucune chute.
⚠️ Entre 2 dm et 5 dm, le modèle donne une valeur négative : une surface perdue ne peut pas l'être. Le modèle n'est donc valide que pour \(x \leq 2\) ou \(x \geq 5\).

Exemple

Pour \(f(x)=x^2-5x+4\), on sait que 1 est racine. On cherche \(f(x)=(x-1)(x+k)\).

En développant : \((x-1)(x+k)=x^2+(k-1)x-k\). Le terme constant impose \(-k=4\), soit \(k=-4\). Le coefficient de \(x\) vaut bien \(-4-1=-5\).

Ainsi \(f(x)=(x-1)(x-4)\). La seconde racine est 4 ; on vérifie \(f(4)=0\).

Soit \(f(x) = 2(x - 1)(x - 4)\). On a \(a = 2 > 0\), \(x_1 = 1\), \(x_2 = 4\).

Conclusion :

• \(f(x) > 0\) pour \(x \in ]-\infty\,;\,1[\) et pour \(x \in ]4\,;\,+\infty[\) (en dehors des racines : signe de \(a\), c'est-à-dire \(+\))
• \(f(x) = 0\) pour \(x = 1\) et \(x = 4\)
• \(f(x) < 0\) pour \(x \in ]1\,;\,4[\) (entre les racines)

Soit \(g(x) = -3(x + 2)(x - 5)\). On a \(a = -3 < 0\), \(x_1 = -2\), \(x_2 = 5\).

Quand \(a < 0\), le polynôme est positif entre les racines et négatif en dehors (c'est l'inverse du cas \(a > 0\)).

On cherche la racine positive de \(f(x) = x^2 - 3\), c'est-à-dire une valeur approchée de \(\sqrt{3}\).

On sait que \(f(1) = 1 - 3 = -2 < 0\) et \(f(2) = 4 - 3 = 1 > 0\), donc la racine est dans \([1\,;\,2]\).

Balayage avec un pas de 0,1 :

\(f(1{,}7) < 0\) et \(f(1{,}8) > 0\) : changement de signe ! La racine est dans \([1{,}7\,;\,1{,}8]\).

Soit \(\sqrt{3} \approx 1{,}7\) à \(0{,}1\) près.

Balayage avec un pas de 0,01 (sur \([1{,}7\,;\,1{,}8]\)) :

La racine est dans \([1{,}73\,;\,1{,}74]\), soit \(\sqrt{3} \approx 1{,}73\) à \(0{,}01\) près.

Situation : Un artisan menuisier réalise un cadre rectangulaire dont les dimensions sont \((x + 1)\) cm et \((x - 3)\) cm. Il veut savoir pour quelle valeur de \(x\) l'aire vaut 40 cm².

L'aire est : \(A(x) = (x+1)(x-3) = x^2 - 2x - 3\).

On résout \(x^2 - 2x - 3 = 40\), soit \(f(x) = x^2 - 2x - 43 = 0\).

Recherche d'une racine positive par balayage :

\(f(7) = 49 - 14 - 43 = -8 < 0\) et \(f(8) = 64 - 16 - 43 = 5 > 0\).

La racine positive est dans \([7\,;\,8]\).

La racine est entre 7,6 et 7,7, soit \(x \approx 7{,}6\) cm à 0,1 près.

Conclusion : le cadre a des dimensions d'environ \(8{,}6\) cm et \(4{,}6\) cm pour une aire d'environ 40 cm² (\(8{,}6 \times 4{,}6 \approx 39{,}56\) cm²).

Situation : Un technicien d'agencement modélise le coût de découpe (en euros) d'une bande de bois de longueur \(x\) mètres par la fonction \(C(x) = x^2 - 6x + 8\).

Étape 1 — Coefficients : \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 8\).

Étape 2 — Tester si \(x_1 = 2\) est une racine :

\(C(2) = 4 - 12 + 8 = 0\) ✓ — donc \(x_1 = 2\) est bien une racine.

Étape 3 — Trouver la seconde racine :

On développe \((x-2)(x-4)=x^2-6x+8\) : cette factorisation convient.

Le facteur \(x-4\) donne la seconde racine : \(x_2=4\).

Vérification : \(C(4) = 16 - 24 + 8 = 0\) ✓

Étape 4 — Forme factorisée : \(C(x) = (x - 2)(x - 4)\)

Étape 5 — Axe de symétrie et sommet :

\(x_S = \dfrac{2 + 4}{2} = 3\), au milieu des racines.

\(C(3) = 9 - 18 + 8 = -1\)

Le sommet est \(S(3\,;\,-1)\). Comme \(a = 1 > 0\), c'est un minimum.

Étape 6 — Tableau de signes :

Interprétation : le coût modélisé est négatif pour \(x \in ]2\,;\,4[\), ce qui n'a pas de sens physique (un coût ne peut pas être négatif). Cela signifie que le modèle \(C(x)\) n'est valide qu'en dehors de \([2\,;\,4]\) mètres.

Situation : En physique, la hauteur \(h\) (en mètres) d'un objet lancé verticalement depuis le sol est modélisée par : \[h(t) = -5t^2 + 20t\] où \(t\) est le temps en secondes.

1. Forme factorisée : \(t\) se met en facteur : \(h(t) = -5t(t - 4)\). Les racines sont \(t = 0\) (le lancer) et \(t = 4\) (le retour au sol).

2. Sommet : \(t_S = \dfrac{0 + 4}{2} = 2\) s, puis \(h(2) = -5 \times 2 \times (2 - 4) = -5 \times 2 \times (-2) = 20\) m.

Comme \(a = -5 < 0\), le sommet \(S(2\,;\,20)\) est un maximum.

Interprétation : l'objet atteint sa hauteur maximale de 20 m au bout de 2 secondes, et retombe au sol au bout de 4 secondes.