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Exercices – Chapitre 05 – Fonctions polynômes de degré 2

1ère Bac Pro | Algèbre – Analyse | Mathématiques

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Rappels essentiels

sommetx₁x₂a > 0
Parabole : sommet, racines x₁ et x₂

Exercices guidés pas à pas

Exercice 1 Identifier les coefficients Socle

Pour chaque fonction, identifier les coefficients \(a\), \(b\) et \(c\), puis indiquer si la parabole est ouverte vers le haut ou vers le bas.

  1. \(f(x) = 3x^2 - 6x + 2\)
  2. \(g(x) = -x^2 + 5x\)
  3. \(h(x) = 4x^2 - 9\)
  4. \(k(x) = -0{,}5x^2 + 3x - 1\)
  1. \(a = 3\), \(b = -6\), \(c = 2\). \(a > 0\) : parabole ouverte vers le haut.
  2. \(a = -1\), \(b = 5\), \(c = 0\). \(a < 0\) : parabole ouverte vers le bas.
  3. \(a = 4\), \(b = 0\), \(c = -9\). \(a > 0\) : parabole ouverte vers le haut.
  4. \(a = -0{,}5\), \(b = 3\), \(c = -1\). \(a < 0\) : parabole ouverte vers le bas.
Exercice 2 Calcul du sommet Socle
sommetx₁x₂a > 0
Parabole : sommet, racines x₁ et x₂

Pour chaque fonction, calculer les coordonnées du sommet \(S\) de la parabole.

  1. \(f(x) = x^2 - 4x + 7\)
  2. \(g(x) = -2x^2 + 12x - 10\)
  3. \(h(x) = 3x^2 + 6x - 1\)
  1. \(x_S = \dfrac{4}{2} = 2\). \(f(2) = 4 - 8 + 7 = 3\). Sommet \(S(2\;;\;3)\). C'est un minimum (\(a > 0\)).
  2. \(x_S = \dfrac{-12}{-4} = 3\). \(g(3) = -18 + 36 - 10 = 8\). Sommet \(S(3\;;\;8)\). C'est un maximum (\(a < 0\)).
  3. \(x_S = \dfrac{-6}{6} = -1\). \(h(-1) = 3 - 6 - 1 = -4\). Sommet \(S(-1\;;\;-4)\). C'est un minimum (\(a > 0\)).
Exercice 3 Discriminant et racines Socle

Résoudre chaque équation en calculant le discriminant.

  1. \(x^2 - 5x + 6 = 0\)
  2. \(2x^2 + 4x + 2 = 0\)
  3. \(x^2 + x + 1 = 0\)
  1. \(\Delta = 25 - 24 = 1 > 0\). \(x_1 = \dfrac{5-1}{2} = 2\) et \(x_2 = \dfrac{5+1}{2} = 3\).
  2. \(\Delta = 16 - 16 = 0\). Solution double : \(x_0 = \dfrac{-4}{4} = -1\).
  3. \(\Delta = 1 - 4 = -3 < 0\). Pas de solution réelle.
Exercice 4 Étude complète d'une fonction (guidé) Socle
sommetx₁x₂a > 0
Parabole : sommet, racines x₁ et x₂

On considère la fonction \(f(x) = -x^2 + 6x - 5\).

  1. Étape 1 — Identifier les coefficients.
    Compléter : \(a = \ldots\), \(b = \ldots\), \(c = \ldots\).
    Rappel : si \(a > 0\), la parabole est ouverte vers le haut ; si \(a < 0\), vers le bas.
  2. Étape 2 — Calculer le sommet.
    Utiliser la formule \(x_S = \dfrac{-b}{2a}\). Calculer ensuite \(y_S = f(x_S)\).
  3. Étape 3 — Calculer le discriminant.
    Appliquer \(\Delta = b^2 - 4ac = (\ldots)^2 - 4 \times (\ldots) \times (\ldots)\).
  4. Étape 4 — Trouver les racines.
    Puisque \(\Delta > 0\), calculer \(x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\) et \(x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\).
  5. Étape 5 — Forme factorisée.
    Écrire \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\).
  6. Étape 6 — Tableau de signes et inéquation.
    Compléter le tableau de signes. En déduire les valeurs de \(x\) pour lesquelles \(f(x) \geq 0\).
  1. \(a = -1\), \(b = 6\), \(c = -5\). \(a < 0\) : parabole ouverte vers le bas.
  2. \(x_S = \dfrac{-6}{2 \times (-1)} = \dfrac{-6}{-2} = 3\). \(f(3) = -(3)^2 + 6(3) - 5 = -9 + 18 - 5 = 4\). Sommet \(S(3\;;\;4)\), c'est un maximum.
  3. \(\Delta = 6^2 - 4 \times (-1) \times (-5) = 36 - 20 = 16 > 0\). \(\sqrt{\Delta} = 4\).
  4. \(x_1 = \dfrac{-6 + 4}{-2} = \dfrac{-2}{-2} = 1\) et \(x_2 = \dfrac{-6 - 4}{-2} = \dfrac{-10}{-2} = 5\).
  5. \(f(x) = -(x-1)(x-5)\).
  6. \(x\)\(-\infty\)\(1\)\(5\)\(+\infty\)
    Signe de \(f(x)\)\(-\)\(0\)\(+\)\(0\)\(-\)
    \(a < 0\) : négatif à l'extérieur des racines, positif entre les racines.
    \(f(x) \geq 0\) pour \(x \in [1\;;\;5]\).
Exercice 5 Arche de pont — Charpentier (guidé) Socle
sommetx₁x₂a > 0
Parabole : sommet, racines x₁ et x₂

Un charpentier conçoit une arche de pont dont le profil est modélisé par \(h(x) = -0{,}5x^2 + 3x\) où \(x\) est la distance horizontale (en mètres) et \(h(x)\) la hauteur (en mètres).

  1. Étape 1 — Points au sol.
    Résoudre \(h(x) = 0\). Factoriser : \(-0{,}5x^2 + 3x = x(\ldots) = 0\).
  2. Étape 2 — Largeur.
    La largeur au sol est la distance entre les deux solutions trouvées à l'étape 1.
  3. Étape 3 — Hauteur maximale.
    Calculer \(x_S = \dfrac{-b}{2a}\) avec \(a = -0{,}5\) et \(b = 3\), puis \(h(x_S)\).
  4. Étape 4 — Le bateau passe-t-il ?
    Un bateau de 3 m de large (centré sous l'arche) et de 3,5 m de haut veut passer. Ses bords sont en \(x = 1{,}5\) et \(x = 4{,}5\). Calculer \(h(1{,}5)\) et comparer à 3,5.
  1. \(h(x) = 0 \iff -0{,}5x^2 + 3x = 0 \iff x(-0{,}5x + 3) = 0\), soit \(x = 0\) ou \(x = 6\).
    L'arche touche le sol en \(x = 0\) m et \(x = 6\) m.
  2. Largeur au sol : \(6 - 0 = 6\) m.
  3. \(x_S = \dfrac{-3}{2 \times (-0{,}5)} = \dfrac{-3}{-1} = 3\). \(h(3) = -0{,}5 \times 9 + 9 = -4{,}5 + 9 = 4{,}5\) m.
    La hauteur maximale est de 4,5 mètres.
  4. Le bateau (3 m de large) est centré en \(x = 3\), donc ses bords sont en \(x = 1{,}5\) et \(x = 4{,}5\).
    \(h(1{,}5) = -0{,}5(2{,}25) + 4{,}5 = -1{,}125 + 4{,}5 = 3{,}375\) m.
    Comme \(3{,}375 < 3{,}5\), le bateau ne passe pas sous l'arche (il manque 12,5 cm).
Exercice 6 Bénéfice d'un artisan menuisier (guidé) Socle
sommetx₁x₂a > 0
Parabole : sommet, racines x₁ et x₂

Un artisan menuisier fabrique des tables en bois massif. Le bénéfice pour la fabrication de \(x\) tables par mois est modélisé par :

\(B(x) = -3x^2 + 48x - 180\)

  1. Étape 1 — Identifier les coefficients.
    Compléter : \(a = \ldots\), \(b = \ldots\), \(c = \ldots\).
  2. Étape 2 — Discriminant et racines.
    Calculer \(\Delta = b^2 - 4ac\). Puis les racines \(x_1\) et \(x_2\).
  3. Étape 3 — Rentabilité.
    Rappel : si \(a < 0\), \(B(x) \geq 0\) entre les racines. En déduire pour combien de tables l'artisan est rentable.
  4. Étape 4 — Bénéfice maximal.
    Calculer \(x_S = \dfrac{-b}{2a}\) et \(B(x_S)\).
  1. \(a = -3\), \(b = 48\), \(c = -180\).
  2. \(\Delta = 48^2 - 4 \times (-3) \times (-180) = 2\,304 - 2\,160 = 144\). \(\sqrt{\Delta} = 12\).
    \(x_1 = \dfrac{-48 + 12}{-6} = \dfrac{-36}{-6} = 6\) et \(x_2 = \dfrac{-48 - 12}{-6} = \dfrac{-60}{-6} = 10\).
  3. \(a < 0\), donc \(B(x) \geq 0\) entre les racines : l'artisan est rentable pour \(x \in [6\;;\;10]\), soit entre 6 et 10 tables par mois.
  4. \(x_S = \dfrac{-48}{2 \times (-3)} = \dfrac{-48}{-6} = 8\). \(B(8) = -3(64) + 48(8) - 180 = -192 + 384 - 180 = 12\) €.
    Le bénéfice maximal est de 12 euros, atteint pour 8 tables.

Exercices d'application

Exercice 7 Coefficients, sommet et allure de la parabole Standard

On considère la fonction \(f(x) = 2x^2 - 8x + 3\).

  1. Identifier les coefficients \(a\), \(b\) et \(c\). La parabole est-elle ouverte vers le haut ou vers le bas ?
  2. Calculer les coordonnées du sommet \(S\) de la parabole.
  3. Le sommet correspond-il à un minimum ou un maximum ? Justifier.
  4. Calculer \(f(0)\) et \(f(4)\). Placer les points \((0\;;\;f(0))\), \(S\) et \((4\;;\;f(4))\) dans un repère et tracer l'allure de la parabole.
  1. \(a = 2\), \(b = -8\), \(c = 3\). \(a = 2 > 0\) : la parabole est ouverte vers le haut.
  2. \(x_S = \dfrac{-(-8)}{2 \times 2} = \dfrac{8}{4} = 2\). \(f(2) = 2(4) - 8(2) + 3 = 8 - 16 + 3 = -5\).
    Sommet \(S(2\;;\;-5)\).
  3. \(a > 0\), donc le sommet correspond à un minimum : la valeur minimale de \(f\) est \(-5\), atteinte en \(x = 2\).
  4. \(f(0) = 3\) et \(f(4) = 2(16) - 32 + 3 = 3\).
    On place \((0\;;\;3)\), \(S(2\;;\;-5)\) et \((4\;;\;3)\). La parabole descend jusqu'au sommet puis remonte (forme en U).
Exercice 8 Racines, forme factorisée et étude de signe Standard

On considère la fonction \(g(x) = x^2 - 2x - 8\).

  1. Calculer le discriminant \(\Delta\).
  2. En déduire les racines de \(g\).
  3. Écrire la forme factorisée de \(g(x)\).
  4. Dresser le tableau de signes de \(g(x)\) sur \(\mathbb{R}\).
  5. Résoudre l'inéquation \(g(x) \leq 0\).
  1. \(\Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times (-8) = 4 + 32 = 36\). \(\sqrt{\Delta} = 6\).
  2. \(x_1 = \dfrac{2 - 6}{2} = \dfrac{-4}{2} = -2\) et \(x_2 = \dfrac{2 + 6}{2} = \dfrac{8}{2} = 4\).
  3. \(g(x) = (x + 2)(x - 4)\).
  4. \(x\)\(-\infty\)\(-2\)\(4\)\(+\infty\)
    Signe de \(g(x)\)\(+\)\(0\)\(-\)\(0\)\(+\)
    \(a = 1 > 0\) : positif à l'extérieur des racines, négatif entre les racines.
  5. \(g(x) \leq 0\) pour \(x \in [-2\;;\;4]\).
Exercice 9 Optimisation d'une surface de vitrine — Menuisier agenceur Standard

Un menuisier agenceur conçoit une vitrine rectangulaire dont le cadre utilise 20 mètres de profilé aluminium (périmètre = 20 m). Il souhaite maximiser la surface vitrée.

  1. On note \(x\) la largeur de la vitrine (en mètres). Exprimer la hauteur en fonction de \(x\) et montrer que la surface est \(S(x) = -x^2 + 10x\).
  2. Calculer le discriminant de \(S(x) = 0\) et en déduire les valeurs de \(x\) pour lesquelles la surface est nulle.
  3. Calculer les coordonnées du sommet. Quelles dimensions donnent la surface maximale ?
  4. Le client souhaite une vitrine d'au moins 24 m². Est-ce possible ? Résoudre \(S(x) \geq 24\).
  1. Périmètre : \(2(x + h) = 20\), soit \(h = 10 - x\).
    Surface : \(S(x) = x(10 - x) = 10x - x^2 = -x^2 + 10x\) (avec \(0 < x < 10\)).
  2. \(S(x) = 0 \iff -x^2 + 10x = 0 \iff x(-x + 10) = 0\), soit \(x = 0\) ou \(x = 10\).
    (On peut aussi calculer \(\Delta = 100 - 0 = 100\), \(\sqrt{\Delta} = 10\), mêmes racines.)
  3. \(x_S = \dfrac{-10}{2 \times (-1)} = \dfrac{-10}{-2} = 5\). \(S(5) = -(25) + 50 = 25\) m².
    La surface maximale est de 25 m², obtenue pour une vitrine carrée de 5 m sur 5 m.
  4. \(S(x) \geq 24 \iff -x^2 + 10x - 24 \geq 0 \iff x^2 - 10x + 24 \leq 0\).
    \(\Delta = 100 - 96 = 4\). \(\sqrt{\Delta} = 2\).
    \(x_1 = \dfrac{10 - 2}{2} = 4\) et \(x_2 = \dfrac{10 + 2}{2} = 6\).
    \(S(x) \geq 24\) pour \(x \in [4\;;\;6]\). Oui, c'est possible : la largeur doit être comprise entre 4 m et 6 m.

Exercices d'approfondissement

Exercice 10 Optimisation d'une aire Approfondissement

Un menuisier dispose d'un panneau de bois rectangulaire de périmètre 24 m. Il veut maximiser l'aire du panneau.

  1. Si \(x\) est la longueur du panneau, exprimer la largeur en fonction de \(x\). En déduire que l'aire est \(A(x) = -x^2 + 12x\).
  2. Pour quelles valeurs de \(x\) l'aire est-elle positive ?
  3. Déterminer les dimensions du rectangle d'aire maximale et cette aire maximale.
  1. Périmètre : \(2(x + \ell) = 24\), soit \(\ell = 12 - x\).
    Aire : \(A(x) = x \times (12 - x) = 12x - x^2 = -x^2 + 12x\).
  2. \(A(x) = 0 \iff x(-x + 12) = 0 \iff x = 0\) ou \(x = 12\).
    \(A(x) > 0\) pour \(x \in\;]0\;;\;12[\) (ce qui est cohérent : la longueur doit être entre 0 et 12 m).
  3. \(x_S = \dfrac{-12}{-2} = 6\) m. La largeur est \(12 - 6 = 6\) m.
    \(A(6) = -36 + 72 = 36\) m².
    Le rectangle d'aire maximale est un carré de 6 m de côté, d'aire 36 m².
Exercice 11 Trajectoire d'un projectile — Physique Approfondissement

On lance un ballon depuis le sol. Sa hauteur (en mètres) en fonction de la distance horizontale \(x\) (en mètres) est :

\(h(x) = -0{,}04x^2 + 2x\)

  1. À quelle distance horizontale le ballon retombe-t-il au sol ?
  2. Quelle est la hauteur maximale atteinte par le ballon ?
  3. Un mur de 8 m de haut est situé à 10 m. Le ballon passe-t-il au-dessus ?
  4. Pour quelles distances horizontales le ballon est-il à plus de 20 m de hauteur ?
  1. \(h(x) = 0 \iff x(-0{,}04x + 2) = 0\), soit \(x = 0\) ou \(x = 50\).
    Le ballon retombe à 50 m.
  2. \(x_S = \dfrac{-2}{2 \times (-0{,}04)} = \dfrac{-2}{-0{,}08} = 25\).
    \(h(25) = -0{,}04(625) + 50 = -25 + 50 = 25\) m.
    La hauteur maximale est de 25 m.
  3. \(h(10) = -0{,}04(100) + 20 = -4 + 20 = 16\) m. Comme \(16 > 8\), le ballon passe au-dessus du mur.
  4. \(h(x) > 20 \iff -0{,}04x^2 + 2x > 20 \iff -0{,}04x^2 + 2x - 20 > 0 \iff x^2 - 50x + 500 < 0\).
    \(\Delta = 2\,500 - 2\,000 = 500\). \(\sqrt{500} \approx 22{,}4\).
    \(x_1 \approx \dfrac{50 - 22{,}4}{2} \approx 13{,}8\) et \(x_2 \approx \dfrac{50 + 22{,}4}{2} \approx 36{,}2\).
    Le ballon dépasse 20 m pour \(x \in\;]13{,}8\;;\;36{,}2[\), soit sur environ 22,4 m de distance horizontale.
Exercice 12 Comparaison de deux systèmes — Technicien chauffagiste Approfondissement

Un technicien chauffagiste compare le rendement \(R\) (en %) de deux chaudières en fonction de la charge \(x\) (en %) :

Les deux fonctions sont définies pour \(x \in [0\;;\;100]\).

  1. Calculer le rendement maximal de chaque chaudière (coordonnées du sommet).
  2. Résoudre \(R_A(x) = R_B(x)\). Pour quelle(s) charge(s) les rendements sont-ils égaux ?
  3. Pour quelles charges la chaudière A est-elle plus performante que la B ?
  1. Chaudière A : \(x_S = \dfrac{-1{,}2}{2 \times (-0{,}008)} = \dfrac{-1{,}2}{-0{,}016} = 75\).
    \(R_A(75) = -0{,}008(5\,625) + 90 + 50 = -45 + 90 + 50 = 95\) %.
    Chaudière B : \(x_S = \dfrac{-0{,}9}{2 \times (-0{,}005)} = \dfrac{-0{,}9}{-0{,}01} = 90\).
    \(R_B(90) = -0{,}005(8\,100) + 81 + 55 = -40{,}5 + 81 + 55 = 95{,}5\) %.
    La chaudière A atteint 95 % à 75 % de charge. La chaudière B atteint 95,5 % à 90 % de charge.
  2. \(R_A(x) = R_B(x) \iff -0{,}008x^2 + 1{,}2x + 50 = -0{,}005x^2 + 0{,}9x + 55\)
    \(\iff -0{,}003x^2 + 0{,}3x - 5 = 0 \iff x^2 - 100x + 1\,666{,}7 = 0\).
    \(\Delta = 10\,000 - 6\,666{,}7 = 3\,333{,}3\). \(\sqrt{\Delta} \approx 57{,}7\).
    \(x_1 \approx \dfrac{100 - 57{,}7}{2} \approx 21\) % et \(x_2 \approx \dfrac{100 + 57{,}7}{2} \approx 79\) %.
    Les rendements sont égaux pour des charges d'environ 21 % et 79 %.
  3. La chaudière A est plus performante entre les deux intersections, soit pour une charge \(x \in\;]21\;;\;79[\) % environ. En-dessous de 21 % ou au-dessus de 79 %, la chaudière B est meilleure.