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Exercices – Chapitre 05 – Fonctions polynômes de degré 2

1ère Bac Pro | Algèbre – Analyse | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 16:15

Rappel : le sommet s’obtient au milieu des racines de la forme factorisée : xS = (x1 + x2) / 2. La formule xS = −b/(2a) n’est pas au programme : elle n’est utilisée que dans l’exercice 3-3, marqué « Pour aller plus loin ».
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Rappels essentiels

sommetx₁x₂a > 0
Parabole : sommet, racines x₁ et x₂

Exercices guidés pas à pas

Exercice 1-1 Identifier les coefficients Socle

Pour chaque fonction, identifier les coefficients \(a\), \(b\) et \(c\), puis indiquer si la parabole est ouverte vers le haut ou vers le bas.

  1. \(f(x) = 3x^2 - 6x + 2\)
  2. \(g(x) = -x^2 + 5x\)
  3. \(h(x) = 4x^2 - 9\)
  4. \(k(x) = -0{,}5x^2 + 3x - 1\)
  1. \(a = 3\), \(b = -6\), \(c = 2\). \(a > 0\) : parabole ouverte vers le haut.
  2. \(a = -1\), \(b = 5\), \(c = 0\). \(a < 0\) : parabole ouverte vers le bas.
  3. \(a = 4\), \(b = 0\), \(c = -9\). \(a > 0\) : parabole ouverte vers le haut.
  4. \(a = -0{,}5\), \(b = 3\), \(c = -1\). \(a < 0\) : parabole ouverte vers le bas.
Exercice 1-2 Calcul du sommet Socle
sommetx₁x₂a > 0
Parabole : sommet, racines x₁ et x₂

Pour chaque fonction, donner les racines, puis calculer les coordonnées du sommet \(S\) de la parabole.

  1. \(f(x) = (x - 1)(x - 3)\)
  2. \(g(x) = -2(x - 1)(x - 5)\)
  3. \(h(x) = 3x(x + 2)\)
  1. Racines 1 et 3. \(x_S = \dfrac{1 + 3}{2} = 2\). \(f(2) = 1 \times (-1) = -1\). Sommet \(S(2\;;\;-1)\). C'est un minimum (\(a = 1 > 0\)).
  2. Racines 1 et 5. \(x_S = \dfrac{1 + 5}{2} = 3\). \(g(3) = -2 \times 2 \times (-2) = 8\). Sommet \(S(3\;;\;8)\). C'est un maximum (\(a = -2 < 0\)).
  3. Racines 0 et \(-2\). \(x_S = \dfrac{0 + (-2)}{2} = -1\). \(h(-1) = 3 \times (-1) \times 1 = -3\). Sommet \(S(-1\;;\;-3)\). C'est un minimum (\(a = 3 > 0\)).
Exercice 1-3 Résoudre des équations du second degré Socle

Résoudre chaque équation en utilisant une factorisation lorsque c'est possible. Pour la troisième, utiliser un outil numérique ou la courbe de la fonction pour vérifier l'absence de solution réelle.

  1. \(x^2 - 5x + 6 = 0\)
  2. \(2x^2 + 4x + 2 = 0\)
  3. \(x^2 + x + 1 = 0\)
  1. \(x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)\). Donc \(x=2\) ou \(x=3\).
  2. \(2x^2 + 4x + 2 = 2(x+1)^2\). Donc \(x=-1\) est une solution double.
  3. La courbe de la fonction \(x \mapsto x^2+x+1\) ne coupe pas l'axe des abscisses ; un outil numérique confirme qu'il n'y a pas de solution réelle.
Exercice 1-4 Étude complète d'une fonction (guidé) Socle

On considère la fonction \(f(x) = -x^2 + 6x - 5\).

  1. Étape 1 — Identifier les coefficients.
    Compléter : \(a = \ldots\), \(b = \ldots\), \(c = \ldots\).
    Rappel : si \(a > 0\), la parabole est ouverte vers le haut ; si \(a < 0\), vers le bas.
  2. Étape 2 — Vérifier une racine connue.
    Calculer \(f(1)\). Que constate-t-on ?
  3. Étape 3 — Trouver l'autre racine.
    Écrire \(f(x) = -(x - 1)(x - r)\) et comparer le terme constant pour trouver \(r\).
  4. Étape 4 — Forme factorisée.
    Écrire \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\).
  5. Étape 5 — Calculer le sommet.
    L'abscisse du sommet est le milieu des racines : \(x_S = \dfrac{x_1 + x_2}{2}\). Calculer ensuite \(y_S = f(x_S)\).
  6. Étape 6 — Tableau de signes et inéquation.
    Compléter le tableau de signes ci-dessous (les bornes en pointillés sont à trouver). En déduire les valeurs de \(x\) pour lesquelles \(f(x) \geq 0\).
    x−∞……+∞
    Signe de f(x)
  1. \(a = -1\), \(b = 6\), \(c = -5\). \(a < 0\) : parabole ouverte vers le bas.
  2. \(f(1) = -1 + 6 - 5 = 0\) : \(1\) est une racine.
  3. Le terme constant de \(-(x - 1)(x - r)\) vaut \(-1 \times (-1) \times (-r) = -r\) ; il doit valoir \(-5\), donc \(r = 5\). Contrôle : \(f(5) = -25 + 30 - 5 = 0\).
  4. La forme factorisée est donc \(f(x)=-(x-1)(x-5)\).
  5. \(x_S = \dfrac{1 + 5}{2} = 3\). \(f(3) = -(3 - 1)(3 - 5) = -2 \times (-2) = 4\). Sommet \(S(3\;;\;4)\), c'est un maximum (\(a < 0\)).
  6. \(a < 0\) : négatif à l'extérieur des racines, positif entre les racines.
    \(f(x) \geq 0\) pour \(x \in [1\;;\;5]\).
Exercice 1-5 Arche de pont — Charpentier (guidé) Socle

Un charpentier conçoit une arche de pont dont le profil est modélisé par \(h(x) = -0{,}5x^2 + 3x\) où \(x\) est la distance horizontale (en mètres) et \(h(x)\) la hauteur (en mètres).

  1. Étape 1 — Points au sol.
    Résoudre \(h(x) = 0\). Factoriser : \(-0{,}5x^2 + 3x = x(\ldots) = 0\).
  2. Étape 2 — Largeur.
    La largeur au sol est la distance entre les deux solutions trouvées à l'étape 1.
  3. Étape 3 — Hauteur maximale.
    L'abscisse du sommet est le milieu des deux solutions de l'étape 1. Calculer \(x_S\), puis \(h(x_S)\).
  4. Étape 4 — Le bateau passe-t-il ?
    Un bateau de 3 m de large (centré sous l'arche) et de 3,5 m de haut veut passer. Ses bords sont en \(x = 1{,}5\) et \(x = 4{,}5\). Calculer \(h(1{,}5)\) et comparer à 3,5.
  1. \(h(x) = 0 \iff -0{,}5x^2 + 3x = 0 \iff x(-0{,}5x + 3) = 0\), soit \(x = 0\) ou \(x = 6\).
    L'arche touche le sol en \(x = 0\) m et \(x = 6\) m.
  2. Largeur au sol : \(6 - 0 = 6\) m.
  3. \(x_S = \dfrac{0 + 6}{2} = 3\). \(h(3) = -0{,}5 \times 9 + 9 = -4{,}5 + 9 = 4{,}5\) m.
    La hauteur maximale est de 4,5 mètres.
  4. Le bateau (3 m de large) est centré en \(x = 3\), donc ses bords sont en \(x = 1{,}5\) et \(x = 4{,}5\).
    \(h(1{,}5) = -0{,}5(2{,}25) + 4{,}5 = -1{,}125 + 4{,}5 = 3{,}375\) m.
    Comme \(3{,}375 < 3{,}5\), le bateau ne passe pas sous l'arche (il manque 12,5 cm).
Exercice 1-6 Bénéfice d'un artisan menuisier (guidé) Socle

Un artisan menuisier fabrique des tables en bois massif. Le bénéfice pour la fabrication de \(x\) tables par mois est modélisé par :

\(B(x) = -3x^2 + 48x - 180\)

  1. Étape 1 — Identifier les coefficients.
    Compléter : \(a = \ldots\), \(b = \ldots\), \(c = \ldots\).
  2. Étape 2 — Factorisation et racines.
    Vérifier que \(6\) est une racine en calculant \(B(6)\), puis factoriser \(B(x)\) par \((x-6)\) pour trouver l'autre racine.
  3. Étape 3 — Rentabilité.
    Rappel : si \(a < 0\), \(B(x) \geq 0\) entre les racines. En déduire pour combien de tables l'artisan est rentable.
  4. Étape 4 — Bénéfice maximal.
    Calculer \(x_S\), milieu des racines, puis \(B(x_S)\).
  1. \(a = -3\), \(b = 48\), \(c = -180\).
  2. \(B(6)=-3\times 36+48\times 6-180=0\). La factorisation donne \(B(x)=-3(x^2-16x+60)=-3(x-6)(x-10)\). Les racines sont donc \(x_1=6\) et \(x_2=10\).
  3. \(a < 0\), donc \(B(x) \geq 0\) entre les racines : l'artisan est rentable pour \(x \in [6\;;\;10]\), soit entre 6 et 10 tables par mois.
  4. \(x_S = \dfrac{6 + 10}{2} = 8\). \(B(8) = -3(8 - 6)(8 - 10) = -3 \times 2 \times (-2) = 12\) €.
    Le bénéfice maximal est de 12 euros, atteint pour 8 tables.

Exercices d'application

Exercice 2-1 Coefficients, sommet et allure de la parabole Standard

On considère la fonction \(f(x) = 2x^2 - 8x + 6\), dont la forme factorisée est \(f(x) = 2(x - 1)(x - 3)\).

  1. Identifier les coefficients \(a\), \(b\) et \(c\). La parabole est-elle ouverte vers le haut ou vers le bas ?
  2. Donner les racines, puis calculer les coordonnées du sommet \(S\) de la parabole.
  3. Le sommet correspond-il à un minimum ou un maximum ? Justifier.
  4. Calculer \(f(0)\) et \(f(4)\). Placer les points \((0\;;\;f(0))\), \(S\) et \((4\;;\;f(4))\) dans un repère et tracer l'allure de la parabole.
  1. \(a = 2\), \(b = -8\), \(c = 6\). \(a = 2 > 0\) : la parabole est ouverte vers le haut.
  2. Les racines sont 1 et 3. \(x_S = \dfrac{1 + 3}{2} = 2\). \(f(2) = 2 \times 1 \times (-1) = -2\).
    Sommet \(S(2\;;\;-2)\).
  3. \(a > 0\), donc le sommet correspond à un minimum : la valeur minimale de \(f\) est \(-2\), atteinte en \(x = 2\).
  4. \(f(0) = 6\) et \(f(4) = 2(16) - 32 + 6 = 6\).
    On place \((0\;;\;6)\), \(S(2\;;\;-2)\) et \((4\;;\;6)\), ainsi que les racines \((1\;;\;0)\) et \((3\;;\;0)\). La parabole descend jusqu'au sommet puis remonte (forme en U).
Exercice 2-2 Racines, forme factorisée et étude de signe Standard

On considère la fonction \(g(x) = x^2 - 2x - 8\).

  1. Factoriser \(g(x)\).
  2. En déduire les racines de \(g\).
  3. Utiliser cette forme factorisée pour dresser le tableau de signes de \(g(x)\) sur \(\mathbb{R}\).
  4. Résoudre l'inéquation \(g(x) \leq 0\).
  1. \(g(x) = x^2-2x-8 = (x+2)(x-4)\).
  2. Les racines sont donc \(x_1=-2\) et \(x_2=4\).
  3. \(a = 1 > 0\) : positif à l'extérieur des racines, négatif entre les racines.
  4. \(g(x) \leq 0\) pour \(x \in [-2\;;\;4]\).
Exercice 2-3 Optimisation d'une surface de vitrine — Menuisier agenceur Standard

Un menuisier agenceur conçoit une vitrine rectangulaire dont le cadre utilise 20 mètres de profilé aluminium (périmètre = 20 m). Il souhaite maximiser la surface vitrée.

  1. On note \(x\) la largeur de la vitrine (en mètres). Exprimer la hauteur en fonction de \(x\) et montrer que la surface est \(S(x) = -x^2 + 10x\).
  2. Factoriser \(S(x)\) et en déduire les valeurs de \(x\) pour lesquelles la surface est nulle.
  3. Calculer les coordonnées du sommet. Quelles dimensions donnent la surface maximale ?
  4. Le client souhaite une vitrine d'au moins 24 m². Est-ce possible ? Résoudre \(S(x) \geq 24\).
  1. Périmètre : \(2(x + h) = 20\), soit \(h = 10 - x\).
    Surface : \(S(x) = x(10 - x) = 10x - x^2 = -x^2 + 10x\) (avec \(0 < x < 10\)).
  2. \(S(x) = 0 \iff -x^2 + 10x = x(10-x) = 0\), soit \(x = 0\) ou \(x = 10\).
  3. Au milieu des racines 0 et 10 : \(x_S = \dfrac{0 + 10}{2} = 5\). \(S(5) = -(25) + 50 = 25\) m².
    La surface maximale est de 25 m², obtenue pour une vitrine carrée de 5 m sur 5 m.
  4. \(S(x) \geq 24 \iff -x^2 + 10x - 24 \geq 0 \iff x^2 - 10x + 24 \leq 0\).
    \(x^2 - 10x + 24 = (x-4)(x-6)\), donc \(S(x) \geq 24\) pour \(x \in [4\;;\;6]\). Oui, c'est possible : la largeur doit être comprise entre 4 m et 6 m.

Exercices d'approfondissement

Exercice 3-1 Optimisation d'une aire Approfondissement

Un menuisier dispose d'un panneau de bois rectangulaire de périmètre 24 m. Il veut maximiser l'aire du panneau.

  1. Si \(x\) est la longueur du panneau, exprimer la largeur en fonction de \(x\). En déduire que l'aire est \(A(x) = -x^2 + 12x\).
  2. Pour quelles valeurs de \(x\) l'aire est-elle positive ?
  3. Déterminer les dimensions du rectangle d'aire maximale et cette aire maximale.
  1. Périmètre : \(2(x + \ell) = 24\), soit \(\ell = 12 - x\).
    Aire : \(A(x) = x \times (12 - x) = 12x - x^2 = -x^2 + 12x\).
  2. \(A(x) = 0 \iff x(-x + 12) = 0 \iff x = 0\) ou \(x = 12\).
    \(A(x) > 0\) pour \(x \in\;]0\;;\;12[\) (ce qui est cohérent : la longueur doit être entre 0 et 12 m).
  3. Au milieu des racines 0 et 12 : \(x_S = \dfrac{0 + 12}{2} = 6\) m. La largeur est \(12 - 6 = 6\) m.
    \(A(6) = -36 + 72 = 36\) m².
    Le rectangle d'aire maximale est un carré de 6 m de côté, d'aire 36 m².
Exercice 3-2 Trajectoire d'un projectile — Physique Approfondissement

On lance un ballon depuis le sol. Sa hauteur (en mètres) en fonction de la distance horizontale \(x\) (en mètres) est :

\(h(x) = -0{,}04x^2 + 2x\)

  1. À quelle distance horizontale le ballon retombe-t-il au sol ?
  2. Quelle est la hauteur maximale atteinte par le ballon ?
  3. Un mur de 8 m de haut est situé à 10 m. Le ballon passe-t-il au-dessus ?
  4. Pour quelles distances horizontales le ballon est-il à plus de 20 m de hauteur ?
  1. \(h(x) = 0 \iff x(-0{,}04x + 2) = 0\), soit \(x = 0\) ou \(x = 50\).
    Le ballon retombe à 50 m.
  2. Au milieu des racines 0 et 50 : \(x_S = \dfrac{0 + 50}{2} = 25\).
    \(h(25) = -0{,}04(625) + 50 = -25 + 50 = 25\) m.
    La hauteur maximale est de 25 m.
  3. \(h(10) = -0{,}04(100) + 20 = -4 + 20 = 16\) m. Comme \(16 > 8\), le ballon passe au-dessus du mur.
  4. \(h(x) > 20 \iff -0{,}04x^2 + 2x > 20 \iff -0{,}04x^2 + 2x - 20 > 0 \iff x^2 - 50x + 500 < 0\).
    Aucune racine n'est évidente : on passe par la calculatrice. La courbe de \(h\) a pour axe de symétrie \(x = 25\) (question 2) ; les deux distances cherchées sont donc symétriques par rapport à 25.
    Sur la NumWorks : application Fonctions, onglet Graphique, menu Calcul ▸ Rechercher ▸ Zéros — on lit \(x_1 \approx 13{,}8\) ; par symétrie, \(x_2 = 2 \times 25 - 13{,}8 \approx 36{,}2\).
    Le ballon dépasse 20 m pour \(x \in\;]13{,}8\;;\;36{,}2[\), soit sur environ 22,4 m de distance horizontale.
Exercice 3-3 Comparaison de deux générateurs — Électrotechnique Approfondissement

En TP, on modélise chaque générateur par une source de tension en série avec une résistance. La puissance \(P\) (en W) reçue par l'appareil branché dépend de l'intensité \(I\) (en A) du courant :

On étudie les deux fonctions pour \(I \in [0\;;\;6]\).

  1. Donner les racines de \(P_A\) et de \(P_B\). En déduire la puissance maximale de chaque générateur et l'intensité correspondante.
  2. Résoudre \(P_A(I) = P_B(I)\).
  3. Pour quelles intensités le générateur A fournit-il plus de puissance que le B ?
  1. Générateur A : \(I\,(12 - 2I) = 0\) pour \(I = 0\) ou \(I = 6\). Le sommet est au milieu des racines : \(I_S = \dfrac{0 + 6}{2} = 3\) A, et \(P_A(3) = 36 - 18 = \mathbf{18}\) W.
    Générateur B : \(I\,(9 - I) = 0\) pour \(I = 0\) ou \(I = 9\). \(I_S = \dfrac{0 + 9}{2} = 4{,}5\) A, et \(P_B(4{,}5) = 40{,}5 - 20{,}25 = \mathbf{20{,}25}\) W.
  2. \(12I - 2I^2 = 9I - I^2 \iff 3I - I^2 = 0 \iff I\,(3 - I) = 0\), donc \(I = 0\) ou \(I = \mathbf{3}\) A. Pour 3 A, les deux générateurs fournissent 18 W.
  3. \(P_A(I) - P_B(I) = I\,(3 - I)\). Sur \([0\;;\;6]\), \(I \geqslant 0\) et \(3 - I > 0\) pour \(I < 3\) : la différence est positive pour \(I \in\;]0\;;\;3[\). Le générateur A fournit plus de puissance entre 0 et 3 A ; au-delà de 3 A, c'est le B.