🎯 Objectifs du chapitre cliquer pour développer

Reconnaître et définir une fonction polynôme de degré 2 de la forme \(ax^2 + bx + c\)
Représenter graphiquement une parabole et identifier ses caractéristiques (signe de \(a\), sommet, axe de symétrie)
Déterminer les variations d'une fonction polynôme de degré 2
Définir une racine et tester si un nombre réel est racine d'un polynôme de degré 2
Visualiser graphiquement le nombre de solutions de \(f(x) = 0\) (0, 1 ou 2 racines)
Utiliser la forme factorisée \(a(x - x_1)(x - x_2)\) et factoriser quand les racines sont connues
Déterminer la seconde racine quand une première est connue
Étudier le signe d'un polynôme de degré 2 donné sous forme factorisée
Encadrer une racine par un algorithme de balayage

Calculer les racines d'un polynôme du 2nd degré

Fiche méthode — 1ère Bac Pro

1. Définition

Un polynôme du second degré s'écrit :

\( ax^2 + bx + c \)

avec \( a \neq 0 \).

2. Objectif

On cherche les racines du polynôme, c'est-à-dire les solutions de :

\( ax^2 + bx + c = 0 \)

3. Étape clé : calculer le discriminant

On calcule :

\( \Delta = b^2 - 4ac \)

4. Selon la valeur de \(\Delta\)

Cas 1 : \(\Delta > 0\)

Il y a 2 solutions :

\(\displaystyle x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \quad;\quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\)

Cas 2 : \(\Delta = 0\)

Il y a une seule solution (racine double) :

\(\displaystyle x = \frac{-b}{2a}\)

Cas 3 : \(\Delta < 0\)

Il n'y a pas de solution réelle.

5. Exemple

Résoudre \( x^2 - 3x + 2 = 0 \)

On identifie : \( a = 1 \), \( b = -3 \), \( c = 2 \).

On calcule le discriminant :

\( \Delta = (-3)^2 - 4 \times 1 \times 2 = 9 - 8 = 1 \)

Comme \( \Delta = 1 > 0 \), il y a deux solutions :

\(\displaystyle x_1 = \frac{-(-3) - \sqrt{1}}{2 \times 1} = \frac{3 - 1}{2} = 1 \quad;\quad x_2 = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2 \times 1} = \frac{3 + 1}{2} = 2\)

Les racines sont 1 et 2.

6. À retenir

Toujours commencer par calculer \( \Delta \).
Le signe de \( \Delta \) donne le nombre de solutions.
Bien identifier les valeurs de \( a \), \( b \) et \( c \).

7. Erreurs fréquentes

Oublier le carré sur \( b \).
Se tromper de signe dans \(-b\).
Oublier le \( 2a \) au dénominateur (et non \( 2 \) seul).
Mal calculer \( \sqrt{\Delta} \).

8. Mini-exercice

Résoudre : \( 2x^2 - 4x - 6 = 0 \)

Voir la correction

On identifie : \( a = 2 \), \( b = -4 \), \( c = -6 \).

\( \Delta = (-4)^2 - 4 \times 2 \times (-6) = 16 + 48 = 64 \)

\( \Delta = 64 > 0 \) donc deux solutions :

\(\displaystyle x_1 = \frac{-(-4) - \sqrt{64}}{2 \times 2} = \frac{4 - 8}{4} = -1 \quad;\quad x_2 = \frac{-(-4) + \sqrt{64}}{2 \times 2} = \frac{4 + 8}{4} = 3\)

Les racines sont \(-1\) et \(3\).