🎯 Objectifs du chapitre cliquer pour développer

C1 — Visualiser sur la courbe le nombre de solutions de f(x) = 0
C2 — Donner l’allure de la parabole d’une forme factorisée
C3 — Associer une parabole à une expression de degré 2
C4 — Tester si un nombre réel est racine d’un polynôme de degré 2
C5 — Factoriser un polynôme dont les racines sont connues
C6 — Déterminer les racines et le signe d’un polynôme sous forme factorisée
C7 — Déterminer la deuxième solution lorsqu’une solution est connue

Calculer les racines d'un polynôme du 2nd degré

Fiche méthode — 1ère Bac Pro

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 18:10

Parabole (\(a > 0\)) : les racines sont les abscisses où la courbe coupe l'axe.

1. Définition

Un polynôme du second degré s'écrit :

\( ax^2 + bx + c \)

avec \( a \neq 0 \).

2. Objectif

On cherche les racines : les solutions de

\( ax^2 + bx + c = 0 \)

Ce sont les abscisses où la parabole coupe l'axe.

3. Les trois méthodes du programme

Tester une valeur simple — 0, 1, −1, 2, −2… Si \( f(x_0) = 0 \), alors \( x_0 \) est une racine. C'est par là qu'on commence.
Une racine connue — chercher une factorisation contenant son facteur, puis vérifier le développement et résoudre le facteur restant.
Forme factorisée — si le polynôme s'écrit \( a(x - x_1)(x - x_2) \), les racines se lisent directement.

4. Si aucune racine n'est évidente

Tracer la parabole avec un outil numérique ou utiliser un solveur pour obtenir une valeur approchée des abscisses où la courbe coupe l'axe horizontal. Un tableau de valeurs permet de préciser un encadrement lorsque l'on sait qu'une racine existe sur l'intervalle étudié.

Écrire \(x\approx\ldots\) pour une valeur approchée, puis vérifier en calculant \(f(x)\).

5. Exemple — une racine connue

Résoudre \( x^2 - 3x + 2 = 0 \) : \( a = 1 \), \( b = -3 \), \( c = 2 \).

Par le programme : \( f(1) = 1 - 3 + 2 = 0 \), donc 1 est racine. On vérifie \((x-1)(x-2)=x^2-3x+2\), donc l’autre racine est 2.

Les racines sont 1 et 2. Vérification : \(f(1)=0\) et \(f(2)=0\).

6. Mini-exercice

Résoudre : \( 2x^2 - 4x - 6 = 0 \)

Correction

\( f(-1) = 2 + 4 - 6 = 0 \) : \(-1\) est racine. On vérifie \(2(x+1)(x-3)=2x^2-4x-6\), donc l’autre racine est 3.

Racines : \(-1\) et \(3\). Vérification : \(f(3)=18-12-6=0\).

7. À retenir

Commencer par chercher une racine évidente (0, 1, −1, 2…) : c'est la méthode attendue.
Une racine trouvée, vérifier une factorisation et résoudre le facteur restant.
Le graphique montre s'il y a 0, 1 ou 2 racines réelles.
Un solveur donne une valeur approchée quand aucun calcul direct n'est possible.

8. Erreurs fréquentes

Confondre racine et ordonnée à l’origine : une racine vérifie \(f(x)=0\).
Oublier de vérifier une racine proposée en remplaçant \(x\) dans le polynôme.
Donner une valeur approchée comme exacte : utiliser le signe \(\approx\).
Oublier le coefficient devant la forme factorisée : le coefficient de degré 2 doit rester identique.