🎯 Objectifs du chapitre cliquer pour développer

Reconnaître et définir une fonction polynôme de degré 2 de la forme \(ax^2 + bx + c\)
Représenter graphiquement une parabole et identifier ses caractéristiques (signe de \(a\), sommet, axe de symétrie)
Déterminer les variations d'une fonction polynôme de degré 2
Définir une racine et tester si un nombre réel est racine d'un polynôme de degré 2
Visualiser graphiquement le nombre de solutions de \(f(x) = 0\) (0, 1 ou 2 racines)
Utiliser la forme factorisée \(a(x - x_1)(x - x_2)\) et factoriser quand les racines sont connues
Déterminer la seconde racine quand une première est connue
Étudier le signe d'un polynôme de degré 2 donné sous forme factorisée
Encadrer une racine par un algorithme de balayage

Calculer les racines d'un polynôme du 2nd degré

Fiche méthode — 1ère Bac Pro

Dernière mise à jour : 22 août 2026, 18:10

Parabole (\(a > 0\)) : les racines sont les abscisses où la courbe coupe l'axe.

1. Définition

Un polynôme du second degré s'écrit :

\( ax^2 + bx + c \)

avec \( a \neq 0 \).

2. Objectif

On cherche les racines : les solutions de

\( ax^2 + bx + c = 0 \)

Ce sont les abscisses où la parabole coupe l'axe.

3. Les trois méthodes du programme

Tester une valeur simple — 0, 1, −1, 2, −2… Si \( f(x_0) = 0 \), alors \( x_0 \) est une racine. C'est par là qu'on commence.
Somme et produit — une fois une racine \( x_1 \) trouvée, la seconde vient sans calcul : \( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} \quad\text{et}\quad x_1 \times x_2 = \dfrac{c}{a} \)
Forme factorisée — si le polynôme s'écrit \( a(x - x_1)(x - x_2) \), les racines se lisent directement.

4. Pour aller plus loin — le discriminant

Cette méthode ne figure pas au programme du Bac Pro, mais elle est indispensable en poursuite d'études (BTS) et fonctionne dans tous les cas, même quand aucune racine n'est évidente.

\( \Delta = b^2 - 4ac \)

Si…	Nombre de racines	Valeurs
\( \Delta > 0 \)	2 racines	\( x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \)
\( \Delta = 0 \)	1 racine double	\( x = \dfrac{-b}{2a} \)
\( \Delta < 0 \)	aucune racine réelle	—

5. Exemple — les deux chemins

Résoudre \( x^2 - 3x + 2 = 0 \) : \( a = 1 \), \( b = -3 \), \( c = 2 \).

Par le programme : \( f(1) = 1 - 3 + 2 = 0 \), donc 1 est racine. Le produit des racines vaut \( \frac{c}{a} = 2 \), donc \( x_2 = 2 \).

Par le discriminant :

\( \Delta = (-3)^2 - 4 \times 1 \times 2 = 1 \)

\( x = \dfrac{3 \pm 1}{2} \)

Les racines sont 1 et 2. Les deux chemins donnent le même résultat.

6. Mini-exercice

Résoudre : \( 2x^2 - 4x - 6 = 0 \)

Correction

\( f(-1) = 2 + 4 - 6 = 0 \) : \(-1\) est racine. Le produit vaut \( \frac{c}{a} = -3 \), donc \( x_2 = 3 \).

Au discriminant : \( \Delta = 16 + 48 = 64 \), \( x = \frac{4 \pm 8}{4} \). Racines : \(-1\) et \(3\).

7. À retenir

Commencer par chercher une racine évidente (0, 1, −1, 2…) : c'est la méthode attendue.
Une racine trouvée, la seconde vient par le produit \( \frac{c}{a} \) ou la somme \( -\frac{b}{a} \).
Le discriminant est un outil de secours, hors programme mais toujours valable.
Le signe de \( \Delta \) donne le nombre de racines.

8. Erreurs fréquentes

Oublier le carré sur \( b \) dans \( \Delta \).
Se tromper de signe dans \( -b \) : pour \( b = -3 \), \( -b = +3 \).
Oublier le \( 2a \) au dénominateur (et non \( 2 \) seul).
Confondre somme et produit : la somme vaut \( -\frac{b}{a} \), le produit \( \frac{c}{a} \).