Fonctions polynômes de degré 2 | 1ère Bac Pro
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\(f(x) = x^2 - 6x + 5\)
1. APP Identifier les coefficients \(a\), \(b\) et \(c\) en complétant :
Aide : On compare \(f(x) = x^2 - 6x + 5\) avec la forme générale \(ax^2 + bx + c\).
\(a = \ldots\ldots\) \(b = \ldots\ldots\) \(c = \ldots\ldots\)
2. ANA Le coefficient \(a\) est-il positif ou négatif ? En déduire si la parabole est ouverte vers le haut ou vers le bas.
Aide : Si \(a > 0\), la parabole est ouverte vers le haut (forme de « U »). Si \(a < 0\), elle est ouverte vers le bas.
3. REA Calculer les coordonnées du sommet \(S\) de la parabole.
Étape 1 : Calculer \(x_S\) avec la formule \(x_S = \dfrac{-b}{2a}\) :
\(x_S = \dfrac{-(\ldots)}{2 \times \ldots} = \dfrac{\ldots}{\ldots} = \ldots\)
Étape 2 : Calculer \(f(x_S)\) :
\(f(\ldots) = (\ldots)^2 - 6 \times (\ldots) + 5 = \ldots - \ldots + 5 = \ldots\)
Étape 3 : Écrire les coordonnées du sommet : \(S(\ldots\;;\;\ldots)\)
4. COM Compléter le tableau de variations de \(f\) :
Aide : Comme \(a > 0\), la fonction est d'abord décroissante puis croissante. Le minimum est atteint au sommet.
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\ldots\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| Variations de \(f\) | \(\searrow\) | \(\ldots\) | \(\nearrow\) |
5. VAL Vérifier que \(x = 1\) est une racine de \(f\), puis que \(x = 5\) est aussi une racine.
Étape 1 : Calculer \(f(1)\) :
\(f(1) = (1)^2 - 6 \times 1 + 5 = 1 - \ldots + 5 = \ldots\)
Étape 2 : Calculer \(f(5)\) :
\(f(5) = (5)^2 - 6 \times 5 + 5 = \ldots - \ldots + 5 = \ldots\)
Étape 3 : Conclure : \(f(1) = \ldots\) et \(f(5) = \ldots\), donc \(x = 1\) et \(x = 5\) ........................ des racines de \(f\).
Un charpentier fabrique une arche décorative en bois. Le profil de l'arche est modélisé par la fonction \(g\) définie sur \([0\;;\;6]\) par :
\(g(x) = -x^2 + 6x\)
où \(x\) est la distance horizontale (en mètres) et \(g(x)\) la hauteur (en mètres).
1. APP Identifier les coefficients \(a\), \(b\) et \(c\) de \(g\).
Aide : On peut écrire \(g(x) = -1 \times x^2 + 6 \times x + 0\).
\(a = \ldots\ldots\) \(b = \ldots\ldots\) \(c = \ldots\ldots\)
2. REA Calculer \(g(0)\) et \(g(6)\). Que représentent ces résultats pour l'arche ?
Étape 1 : \(g(0) = -(0)^2 + 6 \times 0 = \ldots\)
Étape 2 : \(g(6) = -(6)^2 + 6 \times 6 = -\ldots + \ldots = \ldots\)
Étape 3 : Interprétation : ces résultats signifient que l'arche ........................
3. REA Calculer la hauteur maximale de l'arche.
Étape 1 : Calculer \(x_S = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{-(\ldots)}{2 \times (\ldots)} = \dfrac{\ldots}{\ldots} = \ldots\)
Étape 2 : Calculer \(g(x_S)\) :
\(g(\ldots) = -(\ldots)^2 + 6 \times (\ldots) = -\ldots + \ldots = \ldots\) m
Étape 3 : La hauteur maximale de l'arche est de \(\ldots\) mètres, atteinte à \(x = \ldots\) m.
4. VAL Vérifier que \(x = 0\) et \(x = 6\) sont les racines de \(g\) en montrant que \(g(x) = -x(x - 6)\).
Aide : Développer \(-x(x - 6)\) :
\(-x(x - 6) = -x \times x + (-x) \times (-6) = \ldots + \ldots = \ldots\)
On retrouve bien \(g(x)\), donc les racines sont \(x = \ldots\) et \(x = \ldots\).
5. ANA Un panneau de bois de 2 m de large et 1,8 m de haut doit passer sous l'arche (centré). Est-ce possible ?
Aide : Le panneau est centré sous l'arche (milieu en \(x = 3\)). Il occupe l'espace entre \(x = \ldots\) et \(x = \ldots\).
Étape 1 : Calculer \(g(2)\) : \(g(2) = -(2)^2 + 6 \times 2 = -\ldots + \ldots = \ldots\) m
Étape 2 : Comparer : \(g(2) = \ldots\) m et la hauteur du panneau est 1,8 m. Comme \(\ldots > 1{,}8\), le panneau ........................ passer.
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\(f(x) = 2x^2 - 8x + 6\)
1. APP Identifier les coefficients \(a\), \(b\) et \(c\). La parabole est-elle ouverte vers le haut ou vers le bas ?
2. REA Calculer les coordonnées du sommet \(S\) de la parabole.
3. COM Donner l'équation de l'axe de symétrie de la parabole.
4. REA Calculer le discriminant \(\Delta\) et en déduire les racines de \(f(x) = 0\).
5. VAL Vérifier que \(f(x) = 2(x - 1)(x - 3)\) en développant cette expression.
On reprend la fonction \(f(x) = 2x^2 - 8x + 6 = 2(x-1)(x-3)\) de l'exercice 1.
1. ANA Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
2. REA Compléter le tableau de signes de \(f(x)\) sur \(\mathbb{R}\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\ldots\) | \(\ldots\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Signe de \(f(x)\) |
3. ANA Résoudre l'inéquation \(f(x) \geq 0\).
4. VAL Vérifier le résultat en calculant \(f(0)\), \(f(2)\) et \(f(4)\).
Un charpentier conçoit une arche en bois pour l'entrée d'un jardin. La forme de l'arche est modélisée par la fonction \(h\) définie sur \([0\;;\;4]\) par :
\(h(x) = -x^2 + 4x\)
où \(x\) est la distance horizontale (en mètres) depuis le pied gauche de l'arche et \(h(x)\) la hauteur (en mètres).
1. APP Vérifier que \(h(0) = 0\) et \(h(4) = 0\). Interpréter ces résultats.
2. REA Calculer la hauteur maximale de l'arche. Pour quelle distance horizontale est-elle atteinte ?
3. ANA Un camion de livraison mesure 2,5 m de haut et 2 m de large (centré sous l'arche). Le camion peut-il passer sous l'arche ? Justifier par un calcul.
Soit \(f(x) = -3x^2 + 12x - 9\).
1. REA Calculer les coordonnées du sommet de la parabole et déterminer le sens de variation de \(f\).
2. REA Montrer que \(x = 1\) est racine de \(f\), puis déterminer la seconde racine en utilisant la symétrie de la parabole.
3. ANA Écrire la forme factorisée \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\) puis dresser le tableau de signes de \(f(x)\) sur \(\mathbb{R}\).
4. ANA Résoudre les inéquations \(f(x) \geq 0\) puis \(f(x) > -9\).
Un menuisier agenceur dispose d'une planche de longueur totale 6 m. Il souhaite fabriquer un cadre rectangulaire ouvert (trois côtés) pour un habillage mural. Le cadre est constitué de deux montants verticaux de largeur \(x\) (en mètres) et d'une traverse horizontale de longueur \(L\) (en mètres).
La contrainte de matière impose : \(2x + L = 6\), soit \(L = 6 - 2x\) avec \(0 < x < 3\).
1. APP Exprimer l'aire \(A(x) = x \times L\) en fonction de \(x\) seul. Montrer que \(A(x)\) est un polynôme de degré 2 et identifier ses coefficients.
2. REA Déterminer les coordonnées du sommet de la parabole représentant \(A\).
3. ANA En déduire les dimensions du cadre qui maximisent l'aire. Quelle est cette aire maximale ?
4. ANA Le menuisier agenceur souhaite un cadre d'aire au moins égale à 4 m². Résoudre \(A(x) \geq 4\) en utilisant la forme factorisée et un tableau de signes. Donner l'ensemble des valeurs de \(x\) possibles.
5. COM Proposer des dimensions entières (en cm) qui rendent l'aire maximale. Rédiger la réponse en une phrase complète.
6. VAL Un charpentier dispose d'une planche de 8 m au lieu de 6 m pour le même type de cadre. Déterminer la nouvelle aire maximale et comparer avec le résultat précédent.