Devoir Surveillé – Chapitre 5

Fonctions polynômes de degré 2 | 1^ère Bac Pro

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 15:45

Rappel : pour f(x) = a(x − x₁)(x − x₂), l’axe de symétrie passe au milieu des racines : x_S = (x₁ + x₂) / 2, et le sommet est le point (x_S ; f(x_S)). Le discriminant n’est pas au programme.

Nom : Prénom : Classe : Date : Note : / 20

🎯 Objectifs du chapitre cliquer pour développer

C1 — Visualiser sur la courbe le nombre de solutions de f(x) = 0
C2 — Donner l’allure de la parabole d’une forme factorisée
C3 — Associer une parabole à une expression de degré 2
C4 — Tester si un nombre réel est racine d’un polynôme de degré 2
C5 — Factoriser un polynôme dont les racines sont connues
C6 — Déterminer les racines et le signe d’un polynôme sous forme factorisée
C7 — Déterminer la deuxième solution lorsqu’une solution est connue

🕑 Durée : 1 heure

🧮 Calculatrice : autorisée

✍ Barème : 20 points

📄 Documents : non autorisés

APP – S'Approprier ANA – Analyser REA – Réaliser VAL – Valider COM – Communiquer

Socle

Exercice 1 – Identifier et étudier un polynôme de degré 2 10 points

Éléments caractéristiques d'une parabole : sommet et racines — schéma de principe, ce n'est pas la courbe de la fonction étudiée.

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\(f(x) = x^2 - 6x + 5\)

1. APP Identifier les coefficients \(a\), \(b\) et \(c\) en complétant : (1 pt)

Aide : On compare \(f(x) = x^2 - 6x + 5\) avec la forme générale \(ax^2 + bx + c\).

\(a = \ldots\ldots\) \(b = \ldots\ldots\) \(c = \ldots\ldots\)

2. ANA Le coefficient \(a\) est-il positif ou négatif ? En déduire si la parabole est ouverte vers le haut ou vers le bas. (1 pt)

Aide : Si \(a > 0\), la parabole est ouverte vers le haut (forme de « U »). Si \(a < 0\), elle est ouverte vers le bas.

3. REA On admet que \(f(x) = (x - 1)(x - 5)\) : ses racines sont 1 et 5 (on le vérifiera à la question 5). Calculer les coordonnées du sommet \(S\) de la parabole. (3 pts)

Étape 1 : L'axe de symétrie passe au milieu des racines :

\(x_S = \dfrac{\ldots + \ldots}{2} = \dfrac{\ldots}{2} = \ldots\)

Étape 2 : Calculer \(f(x_S)\) :

\(f(\ldots) = (\ldots - 1)(\ldots - 5) = \ldots \times \ldots = \ldots\)

Étape 3 : Écrire les coordonnées du sommet : \(S(\ldots\;;\;\ldots)\)

4. COM Calculer \(f(0)\) et donner les coordonnées du point où la parabole coupe l'axe des ordonnées. (2 pts)

5. VAL Vérifier que \(x = 1\) est une racine de \(f\), puis que \(x = 5\) est aussi une racine. (3 pts)

Étape 1 : Calculer \(f(1)\) :

\(f(1) = (1)^2 - 6 \times 1 + 5 = 1 - \ldots + 5 = \ldots\)

Étape 2 : Calculer \(f(5)\) :

\(f(5) = (5)^2 - 6 \times 5 + 5 = \ldots - \ldots + 5 = \ldots\)

Étape 3 : Conclure : \(f(1) = \ldots\) et \(f(5) = \ldots\), donc \(x = 1\) et \(x = 5\) ........................ des racines de \(f\).

Exercice 2 – Arche en bois d'un charpentier 10 points

Éléments caractéristiques d'une parabole : sommet et racines — schéma de principe, ce n'est pas la courbe de la fonction étudiée.

Un charpentier fabrique l'arche en bois du porche d'une grange. Le profil de l'arche est modélisé par la fonction \(g\) définie sur \([0\;;\;6]\) par :

\(g(x) = -x^2 + 6x\)

où \(x\) est la distance horizontale (en mètres) et \(g(x)\) la hauteur (en mètres).

1. APP Identifier les coefficients \(a\), \(b\) et \(c\) de \(g\). (1 pt)

Aide : On compare \(g(x) = -x^2 + 6x\) avec la forme générale \(ax^2 + bx + c\). Un terme absent correspond à un coefficient nul.

\(a = \ldots\ldots\) \(b = \ldots\ldots\) \(c = \ldots\ldots\)

2. REA Calculer \(g(0)\) et \(g(6)\). Que représentent ces résultats pour l'arche ? (2 pts)

Étape 1 : \(g(0) = -(0)^2 + 6 \times 0 = \ldots\)

Étape 2 : \(g(6) = -(6)^2 + 6 \times 6 = -\ldots + \ldots = \ldots\)

Étape 3 : Interprétation : ces résultats signifient que l'arche ........................

3. REA Calculer la hauteur maximale de l'arche. (3 pts)

Étape 1 : D'après la question 2, les racines de \(g\) sont 0 et 6. L'axe de symétrie passe au milieu : \(x_S = \dfrac{\ldots + \ldots}{2} = \ldots\)

Étape 2 : Calculer \(g(x_S)\) :

\(g(\ldots) = -(\ldots)^2 + 6 \times (\ldots) = -\ldots + \ldots = \ldots\) m

Étape 3 : La hauteur maximale de l'arche est de \(\ldots\) mètres, atteinte à \(x = \ldots\) m.

4. VAL Vérifier que \(x = 0\) et \(x = 6\) sont les racines de \(g\) en montrant que \(g(x) = -x(x - 6)\). (2 pts)

Aide : Développer \(-x(x - 6)\) :

\(-x(x - 6) = -x \times x + (-x) \times (-6) = \ldots + \ldots = \ldots\)

On retrouve bien \(g(x)\), donc les racines sont \(x = \ldots\) et \(x = \ldots\).

5. ANA Un panneau de bois de 4 m de large et 2,5 m de haut doit passer sous l'arche (centré). Est-ce possible ? (2 pts)

Aide : Le panneau est centré sous l'arche : son milieu est à l'abscisse du sommet, trouvée à la question 3. Il occupe donc l'espace entre \(x = \ldots\) et \(x = \ldots\).

Étape 1 : Calculer la hauteur de l'arche au bord du panneau : \(g(\ldots) = -(\ldots)^2 + 6 \times (\ldots) = -\ldots + \ldots = \ldots\) m

Étape 2 : Comparer cette hauteur à la hauteur du panneau (2,5 m), puis conclure : le panneau ........................ passer.

Standard

Formulaire fourni Pour \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\), forme factorisée de \(ax^2 + bx + c\) :

abscisse du sommet : \(\displaystyle x_S = \frac{x_1 + x_2}{2}\), au milieu des racines ; l'axe de symétrie a pour équation \(x = x_S\)
une racine \(x_1\) étant connue : le terme constant du développement vaut \(a \times x_1 \times x_2\), et il est égal à \(c\) ; la seconde racine se lit aussi par symétrie : \(x_2 = 2x_S - x_1\)

Exercice 1 – Étude d'une fonction du second degré 8 points

Éléments caractéristiques d'une parabole : sommet et racines — schéma de principe, ce n'est pas la courbe de la fonction étudiée.

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\(f(x) = 2x^2 - 8x + 6\)

1. APP Identifier les coefficients \(a\), \(b\) et \(c\). La parabole est-elle ouverte vers le haut ou vers le bas ? (1 pt)

2. REA Vérifier que \(x = 1\) est une racine de \(f\), puis déterminer la seconde racine de \(f(x) = 0\). (2,5 pts)

3. REA En déduire les coordonnées du sommet \(S\) de la parabole. (2 pts)

4. COM Donner l'équation de l'axe de symétrie de la parabole. (1 pt)

5. VAL À partir des racines trouvées à la question 2, écrire \(f(x)\) sous la forme factorisée \(a(x - x_1)(x - x_2)\), puis vérifier par développement que l'on retrouve bien \(2x^2 - 8x + 6\). (1,5 pt)

Exercice 2 – Tableau de signes 7 points

Éléments caractéristiques d'une parabole : sommet et racines — schéma de principe, ce n'est pas la courbe de la fonction étudiée.

On reprend la fonction \(f(x) = 2x^2 - 8x + 6\) de l'exercice 1.

1. ANA Calculer \(f(0)\) et donner les coordonnées du point où la parabole coupe l'axe des ordonnées. (2 pts)

2. REA Compléter le tableau de signes de \(f(x)\) sur \(\mathbb{R}\). (2 pts)

\(x\)	\(-\infty\)		\(\ldots\)		\(\ldots\)		\(+\infty\)
Signe de \(f(x)\)

3. ANA Résoudre l'inéquation \(f(x) \geq 0\). (1,5 pt)

4. VAL Vérifier le résultat en calculant \(f(0)\), \(f(2)\) et \(f(4)\). (1,5 pt)

Exercice 3 – Arche parabolique 5 points

Un charpentier conçoit une arche en bois pour l'entrée d'un jardin. La forme de l'arche est modélisée par la fonction \(h\) définie sur \([0\;;\;4]\) par :

\(h(x) = -x^2 + 4x\)

où \(x\) est la distance horizontale (en mètres) depuis le pied gauche de l'arche et \(h(x)\) la hauteur (en mètres).

1. APP Vérifier que \(h(0) = 0\) et \(h(4) = 0\). Interpréter ces résultats. (1 pt)

2. REA Calculer la hauteur maximale de l'arche. Pour quelle distance horizontale est-elle atteinte ? (2 pts)

3. ANA Un camion de livraison mesure 2,5 m de haut et 2 m de large (centré sous l'arche). Le camion peut-il passer sous l'arche ? Justifier par un calcul. (2 pts)

Approfondissement

Formulaire fourni Pour \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\), forme factorisée de \(ax^2 + bx + c\) :

abscisse du sommet : \(\displaystyle x_S = \frac{x_1 + x_2}{2}\), au milieu des racines ; l'axe de symétrie a pour équation \(x = x_S\)
une racine \(x_1\) étant connue : le terme constant du développement vaut \(a \times x_1 \times x_2\), et il est égal à \(c\) ; la seconde racine se lit aussi par symétrie : \(x_2 = 2x_S - x_1\)

Exercice 1 – Forme factorisée et étude de signe 8 points

Soit \(f(x) = -3x^2 + 12x - 9\).

1. REA Montrer que \(x = 1\) est racine de \(f\), puis déterminer la seconde racine à l'aide du terme constant. (2 pts)

2. REA En déduire les coordonnées du sommet de la parabole. Ce sommet est-il le point le plus haut ou le plus bas de la courbe ? (2 pts)

3. ANA Écrire la forme factorisée \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\) puis dresser le tableau de signes de \(f(x)\) sur \(\mathbb{R}\) en complétant le tableau ci-dessous. (2 pts)

\(x\)	\(-\infty\)		\(\ldots\)		\(\ldots\)		\(+\infty\)
Signe de \(f(x)\)

4. ANA Résoudre les inéquations \(f(x) \geq 0\) puis \(f(x) > -9\). (2 pts)

Exercice 2 – Optimisation d'un cadre en menuiserie 12 points

Un menuisier agenceur dispose d'une planche de longueur totale 6 m. Il souhaite fabriquer un cadre rectangulaire ouvert (trois côtés) pour un habillage mural. Le cadre est constitué de deux montants verticaux de longueur \(x\) (en mètres) et d'une traverse horizontale de longueur \(L\) (en mètres).

La contrainte de matière impose : \(2x + L = 6\), soit \(L = 6 - 2x\) avec \(0 < x < 3\).

Cadre ouvert à trois côtés — schéma sans échelle.

1. APP Exprimer l'aire \(A(x) = x \times L\) en fonction de \(x\) seul. Montrer que \(A(x)\) est un polynôme de degré 2 et identifier ses coefficients. (2 pts)

2. REA Déterminer les coordonnées du sommet de la parabole représentant \(A\). (2 pts)

3. ANA En déduire les dimensions du cadre qui maximisent l'aire. Quelle est cette aire maximale ? (2 pts)

4. ANA Le menuisier agenceur souhaite un cadre d'aire au moins égale à 4 m². On admet que \(A(x) - 4 = -2(x - 1)(x - 2)\). Résoudre \(A(x) \geq 4\) en utilisant cette forme factorisée et le tableau de signes ci-dessous. Donner l'ensemble des valeurs de \(x\) possibles. (3 pts)

\(x\)	\(-\infty\)		\(\ldots\)		\(\ldots\)		\(+\infty\)
Signe

5. COM Proposer des dimensions entières (en cm) qui rendent l'aire maximale. Rédiger la réponse en une phrase complète. (1 pt)

6. VAL Le menuisier agenceur dispose maintenant d'une planche de 8 m au lieu de 6 m pour le même type de cadre. Déterminer la nouvelle aire maximale et comparer avec le résultat précédent. (2 pts)