Chapitre 6 – Vecteurs et problèmes de géométrie

Chapitre 6 | Seconde générale et technologique | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 09:30

Objectifs du chapitre

Représenter un vecteur, reconnaître l'égalité de deux vecteurs et la translation associée
Construire la somme de deux vecteurs (relation de Chasles, règle du parallélogramme)
Utiliser le produit d'un vecteur par un réel et la notion de vecteurs colinéaires
Lire et calculer les coordonnées d'un vecteur, sa norme, la distance entre deux points
Caractériser alignement et parallélisme par le déterminant
Déterminer les coordonnées du milieu d'un segment et résoudre des problèmes de géométrie

Les vecteurs constituent un outil puissant : ils permettent de démontrer des propriétés de géométrie (alignement, parallélisme, milieu) et de modéliser des situations de physique (déplacements, vitesses, forces). Dans tout ce chapitre, le plan est muni d'un repère orthonormé \((O\,;\vec{i}, \vec{j})\), ce qui permet de traduire tout raisonnement vectoriel en calculs sur des coordonnées.

I. Notion de vecteur et translation

1. Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\)

Définition — Vecteur \(\overrightarrow{AB}\)

Soient \(A\) et \(B\) deux points du plan. Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est caractérisé par trois données :

une direction : celle de la droite \((AB)\) ;
un sens : de \(A\) vers \(B\) ;
une norme (ou longueur) : la distance \(AB\), notée \(\|\overrightarrow{AB}\|\).

Le point \(A\) est l'origine du vecteur, \(B\) son extrémité. \(\overrightarrow{AB}\) indique « comment aller » de \(A\) jusqu'à \(B\) : c'est le vecteur déplacement de \(A\) à \(B\). De même, si \(O\) est choisie comme origine du plan, \(\overrightarrow{OM}\) peut être appelé vecteur position du point \(M\) (relativement à \(O\)) — vocabulaire utilisé notamment en physique.

Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) : direction de la droite \((AB)\), sens de \(A\) vers \(B\), longueur \(AB\).

Définition — Notation \(\vec{u}\) et vecteur nul

On peut désigner un vecteur par une seule lettre surmontée d'une flèche, par exemple \(\vec{u}\), sans préciser d'origine.

Le vecteur nul, noté \(\vec{0}\), est le vecteur dont l'origine et l'extrémité sont confondues : pour tout point \(A\), \(\overrightarrow{AA} = \vec{0}\). Sa norme est nulle ; il n'a ni direction ni sens définis.

2. Égalité de deux vecteurs

Définition — Égalité

Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont égaux lorsqu'ils ont la même direction, le même sens et la même norme. On note \(\vec{u} = \vec{v}\).

Autrement dit, \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) signifie que l'on passe de \(A\) à \(B\) « exactement comme » on passe de \(C\) à \(D\).

Propriété — Caractérisation par le parallélogramme

Pour quatre points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) non alignés :

\[\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \iff ABDC \text{ est un parallélogramme.}\]

De façon équivalente, \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \iff \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD}\).

Attention — Ordre des sommets

C'est bien \(ABDC\) (et non \(ABCD\)) qui est un parallélogramme : les côtés \([AB]\) et \([CD]\) sont parallèles et de même longueur, donc les diagonales sont \([AD]\) et \([BC]\). Vérifiez toujours sur une figure.

3. Représentants et translation

Définition — Représentant

Étant donné un vecteur \(\vec{u}\) et un point \(A\), il existe un unique point \(B\) tel que \(\overrightarrow{AB} = \vec{u}\). La flèche \(\overrightarrow{AB}\) est un représentant de \(\vec{u}\).

Un même vecteur possède une infinité de représentants : on peut le « poser » à partir de n'importe quel point. Tous sont parallèles, de même sens et de même longueur.

Propriété — Translation

Le vecteur \(\vec{u}\) définit une translation : le point \(M\) se transforme en \(M'\) tel que \(\overrightarrow{MM'} = \vec{u}\). Ainsi \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) signifie que la translation qui envoie \(A\) sur \(B\) envoie aussi \(C\) sur \(D\).

\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} = \vec{u}\) : deux représentants du même vecteur, parallèles, de même sens et de même longueur.

Exercice d'application 1. \(A(1\,;1)\), \(B(4\,;3)\), \(C(-2\,;0)\). Le point \(D\) est tel que \(\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}\). Décrire le déplacement associé à \(\overrightarrow{AB}\), puis en déduire les coordonnées de \(D\).

Le déplacement \(\overrightarrow{AB}\) « avance de \(3\) et monte de \(2\) » (de \(A(1\,;1)\) à \(B(4\,;3)\)).

À partir de \(C(-2\,;0)\), le même déplacement donne \(D(-2+3\,;\,0+2) = D(1\,;2)\).

II. Somme de vecteurs et produit par un réel

1. Somme de deux vecteurs — relation de Chasles

Définition — Relation de Chasles

Pour trois points \(A\), \(B\), \(C\) quelconques :

\[\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}.\]

« Aller de \(A\) à \(B\) puis de \(B\) à \(C\), c'est aller de \(A\) à \(C\). » On additionne deux vecteurs en mettant leurs représentants bout à bout.

Relation de Chasles : mis bout à bout, \(\overrightarrow{AB}\) puis \(\overrightarrow{BC}\) ont pour somme \(\overrightarrow{AC}\) (en rouge), qui ferme le trajet de \(A\) à \(C\).

Propriété — Règle du parallélogramme

Pour additionner deux vecteurs représentés à partir d'une même origine \(A\) : si \(\overrightarrow{AB} = \vec{u}\) et \(\overrightarrow{AD} = \vec{v}\), alors

\[\vec{u} + \vec{v} = \overrightarrow{AC},\]

où \(C\) est le quatrième sommet du parallélogramme \(ABCD\). La somme est portée par la diagonale issue de \(A\).

Règle du parallélogramme : à partir d'une même origine \(A\), la somme \(\vec{u}+\vec{v}\) est portée par la diagonale \(\overrightarrow{AC}\).

Propriété — Règles de calcul et vecteur opposé

Pour tous vecteurs \(\vec{u}\), \(\vec{v}\), \(\vec{w}\) :

\[\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}, \qquad (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w}), \qquad \vec{u} + \vec{0} = \vec{u}.\]

L'opposé de \(\vec{u} = \overrightarrow{AB}\) est \(-\vec{u} = \overrightarrow{BA}\) : même direction, même norme, sens contraire. On a \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \vec{0}\). La différence se définit par \(\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v})\).

Exercice d'application 2. Simplifier l'expression \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}\) à l'aide de la relation de Chasles.

\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\), puis \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}\).

Donc \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}\).

2. Produit d'un vecteur par un réel

Définition — Produit \(k\vec{u}\)

Soit \(\vec{u}\) un vecteur et \(k\) un réel. Le produit \(k\vec{u}\) est le vecteur défini ainsi :

si \(k = 0\) ou \(\vec{u} = \vec{0}\), alors \(k\vec{u} = \vec{0}\) ;
sinon, \(k\vec{u}\) a la même direction que \(\vec{u}\), le même sens si \(k \gt 0\) et le sens contraire si \(k \lt 0\), et sa norme vaut \(\|k\vec{u}\| = |k| \times \|\vec{u}\|\).

Exemple

\(2\vec{u}\) pointe dans le même sens que \(\vec{u}\) mais est deux fois plus long. \(-\tfrac{1}{2}\vec{u}\) pointe dans le sens opposé et est deux fois plus court.

Propriété — Règles de calcul

Pour tous réels \(k\), \(k'\) et tous vecteurs \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) :

\[k(\vec{u} + \vec{v}) = k\vec{u} + k\vec{v}, \qquad (k + k')\vec{u} = k\vec{u} + k'\vec{u}, \qquad k(k'\vec{u}) = (kk')\vec{u}, \qquad 1\vec{u} = \vec{u}.\]

3. Vecteurs colinéaires

Définition — Colinéarité

Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires lorsqu'il existe un réel \(k\) tel que \(\vec{v} = k\vec{u}\) (ou \(\vec{u} = k\vec{v}\)).

Géométriquement, deux vecteurs colinéaires non nuls ont la même direction : ils sont « parallèles ». Par convention, \(\vec{0}\) est colinéaire à tout vecteur.

\(\vec{u}\), \(2\vec{u}\) et \(-\vec{u}\) ont tous la même direction : ils sont colinéaires (le facteur \(k\) change la longueur et éventuellement le sens).

Propriété — Alignement et parallélisme

Les points \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés \(\iff \overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.
Les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles \(\iff \overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires.

Attention — Colinéarité \(\neq\) égalité

Deux vecteurs colinéaires ont la même direction, mais pas forcément la même norme ni le même sens. La colinéarité teste le parallélisme, pas l'égalité.

III. Coordonnées, norme et distance

1. Décomposition et coordonnées d'un vecteur

Définition — Base et décomposition

Deux vecteurs \(\vec{i}\) et \(\vec{j}\) non colinéaires forment une base du plan. Alors tout vecteur \(\vec{u}\) s'écrit de façon unique :

\[\vec{u} = x\,\vec{i} + y\,\vec{j}.\]

La base est orthonormée lorsque \(\vec{i}\) et \(\vec{j}\) sont orthogonaux et de norme \(1\). Les réels \((x\,;y)\) sont alors les coordonnées de \(\vec{u}\), notées \(\vec{u}(x\,;y)\) ou \(\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\).

Décomposition \(\vec{u}=3\vec{i}+2\vec{j}\) : on parcourt \(3\) fois \(\vec{i}\) puis \(2\) fois \(\vec{j}\) ; \((3\,;2)\) sont les coordonnées de \(\vec{u}\).

Propriété — Opérations sur les coordonnées

Soient \(\vec{u}(x\,;y)\), \(\vec{v}(x'\,;y')\) et \(k\) un réel :

\[\vec{u} + \vec{v} \ \begin{pmatrix} x + x' \\ y + y' \end{pmatrix}, \qquad k\vec{u} \ \begin{pmatrix} kx \\ ky \end{pmatrix}, \qquad \vec{u} = \vec{v} \iff \begin{cases} x = x' \\ y = y' \end{cases}.\]

Propriété — Coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\)

Si \(A(x_A\,;y_A)\) et \(B(x_B\,;y_B)\), alors

\[\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}.\]

Démonstration. Par Chasles, \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}\) ; or \(\overrightarrow{OA}(x_A\,;y_A)\) et \(\overrightarrow{OB}(x_B\,;y_B)\). Par soustraction, \(\overrightarrow{AB}(x_B - x_A\,;\,y_B - y_A)\).

Moyen mnémotechnique

Coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) = « extrémité moins origine » = coordonnées de \(B\) moins coordonnées de \(A\).

Exercice d'application 3. On donne \(\vec{u}(3\,;-2)\) et \(\vec{v}(-1\,;4)\). Calculer les coordonnées de \(\vec{w} = 2\vec{u} - 3\vec{v}\).

\(2\vec{u}(6\,;-4)\) et \(3\vec{v}(-3\,;12)\).

Donc \(\vec{w}\big(6-(-3)\,;\,-4-12\big) = \vec{w}(9\,;-16)\).

2. Norme d'un vecteur et distance

Propriété — Norme et distance

Dans une base orthonormée, la norme de \(\vec{u}(x\,;y)\) vaut \(\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}\).

En particulier, la distance entre \(A(x_A\,;y_A)\) et \(B(x_B\,;y_B)\) est :

\[AB = \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}.\]

Démonstration. En traçant le représentant \(\overrightarrow{OM}\) de \(\vec{u}\) avec \(M(x\,;y)\), on obtient un triangle rectangle de côtés \(|x|\) et \(|y|\), d'hypoténuse \(OM\). Le théorème de Pythagore donne \(OM^2 = x^2 + y^2\), d'où \(\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}\).

Attention

Ne pas oublier la racine carrée : \(\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}\), et non \(x^2 + y^2\). Une norme est toujours positive ou nulle. Ces formules supposent une base orthonormée.

Exercice d'application 4. Avec \(A(-1\,;2)\) et \(B(3\,;5)\), calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) puis la distance \(AB\).

\(\overrightarrow{AB}\big(3-(-1)\,;\,5-2\big) = \overrightarrow{AB}(4\,;3)\).

\(AB = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\).

IV. Déterminant, colinéarité et milieu

1. Déterminant et critère de colinéarité

Définition — Déterminant

Dans une base orthonormée, le déterminant des vecteurs \(\vec{u}(x\,;y)\) et \(\vec{v}(x'\,;y')\) est le réel

\[\det(\vec{u}, \vec{v}) = \begin{vmatrix} x & x' \\ y & y' \end{vmatrix} = xy' - x'y \quad (\text{produit en croix}).\]

Théorème — Critère de colinéarité

Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul :

\[\vec{u} \text{ et } \vec{v} \text{ colinéaires} \iff xy' - x'y = 0.\]

Démonstration (vecteurs non nuls). Si \(\vec{v} = k\vec{u}\), alors \(x' = kx\), \(y' = ky\), donc \(xy' - x'y = x(ky) - (kx)y = 0\). Réciproquement, si \(xy' - x'y = 0\) et \(x \neq 0\), on pose \(k = \tfrac{x'}{x}\) : alors \(x' = kx\) et \(y' = ky\), donc \(\vec{v} = k\vec{u}\).

Applications

Alignement de \(A\), \(B\), \(C\) : \(\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 0\).
Parallélisme de \((AB)\) et \((CD)\) : \(\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}) = 0\).

Exemple

\(A(1\,;1)\), \(B(3\,;2)\), \(C(7\,;4)\). On a \(\overrightarrow{AB}(2\,;1)\) et \(\overrightarrow{AC}(6\,;3)\), donc \(\det = 2\times 3 - 6 \times 1 = 0\). Les points sont alignés.

Exercice d'application 5. Déterminer le réel \(m\) pour que les vecteurs \(\vec{u}(m\,;3)\) et \(\vec{v}(4\,;6)\) soient colinéaires.

Colinéarité \(\iff \det = 0 \iff m\times 6 - 4\times 3 = 0 \iff 6m - 12 = 0 \iff m = 2\).

2. Milieu d'un segment

Propriété — Milieu d'un segment

\(I\) est le milieu de \([AB]\) si et seulement si \(\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}\) (c'est-à-dire \(\overrightarrow{AI} = \tfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)). Ses coordonnées sont alors :

\[I\left( \frac{x_A + x_B}{2} \,;\, \frac{y_A + y_B}{2} \right).\]

Démonstration. \(\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}\) donne \(x_I - x_A = x_B - x_I\), soit \(2x_I = x_A + x_B\) ; de même pour \(y\).

À retenir

Les coordonnées du milieu sont les moyennes des coordonnées des extrémités.

Méthode — Trouver le 4ᵉ sommet d'un parallélogramme

\(ABCD\) est un parallélogramme \(\iff \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\). Pour trouver \(D\), on résout \(\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}\), soit \(x_D = x_C - x_{AB}\) et \(y_D = y_C - y_{AB}\).

Exemple. \(A(1\,;2)\), \(B(4\,;3)\), \(C(5\,;6)\) : \(\overrightarrow{AB}(3\,;1)\), donc \(5 - x_D = 3\) et \(6 - y_D = 1\), d'où \(D(2\,;5)\).

Exercice d'application 6. On donne \(A(2\,;-1)\) et \(B(5\,;3)\). Déterminer les coordonnées du milieu \(I\) de \([AB]\).

\(I\left(\dfrac{2+5}{2}\,;\,\dfrac{-1+3}{2}\right) = I(3{,}5\,;1)\).

Erreurs fréquentes / points de vigilance

Les pièges du chapitre

❌ Inverser les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\).

✅ C'est \(B\) moins \(A\) (extrémité moins origine) ; \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BA}\) sont opposés.

❌ Se tromper d'ordre des sommets d'un parallélogramme.

✅ \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) (et non \(\overrightarrow{CD}\)) pour que \(ABCD\) soit un parallélogramme.

❌ Oublier la racine carrée dans la norme.

✅ \(\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}\), toujours positive ou nulle.

❌ Se tromper dans le déterminant.

✅ Produit en croix \(\det = xy' - x'y\) ; attention à l'ordre et au signe.

❌ Oublier la valeur absolue dans \(\|k\vec{u}\|\).

✅ \(\|k\vec{u}\| = |k|\times\|\vec{u}\|\), même si \(k \lt 0\).

L'essentiel à retenir

À retenir :

Coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) : \((x_B - x_A\,;\,y_B - y_A)\) (« extrémité moins origine »).
Somme et produit : \(\vec{u}+\vec{v}(x+x'\,;y+y')\) ; \(k\vec{u}(kx\,;ky)\).
Norme : \(\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}\) ; distance \(AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\).
Relation de Chasles : \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\) ; règle du parallélogramme pour la somme.
Déterminant \(\det(\vec{u},\vec{v}) = xy' - x'y\) : outil clé pour la colinéarité.
Colinéarité \(\iff \det = 0\) ; alignement de \(A,B,C\) \(\iff \det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) = 0\) ; parallélisme de \((AB),(CD)\) \(\iff \det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}) = 0\).
Milieu de \([AB]\) : \(\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}\,;\,\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)\) (moyennes des coordonnées).

Simulation interactive

Vecteurs