Exercices – Chapitre 6

Vecteurs et problèmes de géométrie | Seconde générale et technologique | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Rappels utiles :

Coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) : \((x_B - x_A\,;\,y_B - y_A)\) (« extrémité moins origine »).
\(\vec{u}+\vec{v}(x+x'\,;y+y')\) ; \(k\vec{u}(kx\,;ky)\).
Norme : \(\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}\) ; distance \(AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\).
Colinéarité \(\iff \det(\vec{u},\vec{v}) = xy' - x'y = 0\).
Milieu de \([AB]\) : \(\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}\,;\,\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)\).

Exercice 1 — Coordonnées d'un vecteur

On donne \(A(2\,;-1)\) et \(B(5\,;3)\).

1. Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\).

2. Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{BA}\). Que remarque-t-on ?

1. \(\overrightarrow{AB}\big(5-2\,;\,3-(-1)\big) = \overrightarrow{AB}(3\,;4)\).

2. \(\overrightarrow{BA}\big(2-5\,;\,-1-3\big) = \overrightarrow{BA}(-3\,;-4)\). On remarque que \(\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}\) : ce sont des vecteurs opposés.

Exercice 2 — Relation de Chasles

Simplifier les expressions suivantes.

1. \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\).

2. \(\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP} + \overrightarrow{PQ}\).

3. \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA}\).

1. \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\).

2. \(\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP} + \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{MQ}\).

3. \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AA} = \vec{0}\).

Exercice 3 — Opérations sur les coordonnées

Soient \(\vec{u}(4\,;-2)\) et \(\vec{v}(-3\,;5)\).

1. Calculer les coordonnées de \(\vec{u} + \vec{v}\).

2. Calculer les coordonnées de \(3\vec{u}\).

3. Calculer les coordonnées de \(\vec{w} = 2\vec{u} - \vec{v}\).

1. \(\vec{u} + \vec{v}\big(4+(-3)\,;\,-2+5\big) = (1\,;3)\).

2. \(3\vec{u}(12\,;-6)\).

3. \(2\vec{u}(8\,;-4)\) et \(\vec{v}(-3\,;5)\), donc \(\vec{w}\big(8-(-3)\,;\,-4-5\big) = \vec{w}(11\,;-9)\).

Exercice 4 — Norme et distance

On considère \(A(-1\,;2)\), \(B(3\,;5)\) et \(\vec{u}(6\,;-8)\).

1. Calculer la distance \(AB\).

2. Calculer la norme \(\|\vec{u}\|\).

3. Le point \(C(2\,;-2)\) est-il tel que \(AC = 5\) ?

1. \(\overrightarrow{AB}(4\,;3)\), donc \(AB = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5\).

2. \(\|\vec{u}\| = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\).

3. \(\overrightarrow{AC}\big(2-(-1)\,;\,-2-2\big) = \overrightarrow{AC}(3\,;-4)\), donc \(AC = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{25} = 5\). Oui, \(AC = 5\).

Exercice 5 — Colinéarité et déterminant

1. Les vecteurs \(\vec{u}(2\,;-3)\) et \(\vec{v}(-6\,;9)\) sont-ils colinéaires ?

2. Les vecteurs \(\vec{a}(1\,;2)\) et \(\vec{b}(3\,;5)\) sont-ils colinéaires ?

3. Déterminer le réel \(m\) pour que \(\vec{u}(m\,;3)\) et \(\vec{v}(4\,;6)\) soient colinéaires.

1. \(\det = 2\times 9 - (-6)\times(-3) = 18 - 18 = 0\). Les vecteurs sont colinéaires.

2. \(\det = 1\times 5 - 3\times 2 = 5 - 6 = -1 \neq 0\). Les vecteurs ne sont pas colinéaires.

3. \(\det = 0 \iff m\times 6 - 4\times 3 = 0 \iff 6m = 12 \iff m = 2\).

Exercice 6 — Alignement de trois points

1. Les points \(A(-2\,;1)\), \(B(1\,;3)\), \(C(7\,;7)\) sont-ils alignés ?

2. Les points \(D(0\,;0)\), \(E(2\,;3)\), \(F(4\,;5)\) sont-ils alignés ?

1. \(\overrightarrow{AB}(3\,;2)\), \(\overrightarrow{AC}(9\,;6)\). \(\det = 3\times 6 - 9\times 2 = 18 - 18 = 0\) : les points sont alignés.

2. \(\overrightarrow{DE}(2\,;3)\), \(\overrightarrow{DF}(4\,;5)\). \(\det = 2\times 5 - 4\times 3 = 10 - 12 = -2 \neq 0\) : les points ne sont pas alignés.

Exercice 7 — Parallélisme et milieu

On donne \(A(1\,;2)\), \(B(3\,;-1)\), \(C(0\,;0)\), \(D(-4\,;6)\).

1. Les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont-elles parallèles ?

2. Déterminer les coordonnées du milieu \(I\) de \([AB]\).

1. \(\overrightarrow{AB}(2\,;-3)\), \(\overrightarrow{CD}(-4\,;6)\). \(\det = 2\times 6 - (-4)\times(-3) = 12 - 12 = 0\) : les droites sont parallèles.

2. \(I\left(\dfrac{1+3}{2}\,;\,\dfrac{2+(-1)}{2}\right) = I(2\,;0{,}5)\).

Exercice 8 — Problème type : le parallélogramme

Dans un repère orthonormé, on considère \(A(0\,;1)\), \(B(4\,;2)\), \(C(6\,;5)\).

1. Montrer que les points \(A\), \(B\), \(C\) ne sont pas alignés.

2. Déterminer les coordonnées du point \(D\) tel que \(ABCD\) soit un parallélogramme.

3. Vérifier que les diagonales \([AC]\) et \([BD]\) ont le même milieu.

4. Calculer la longueur \(AB\) du côté \([AB]\).

1. \(\overrightarrow{AB}(4\,;1)\), \(\overrightarrow{AC}(6\,;4)\). \(\det = 4\times 4 - 6\times 1 = 16 - 6 = 10 \neq 0\) : les points ne sont pas alignés (ils forment bien un triangle).

2. \(ABCD\) parallélogramme \(\iff \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\). Avec \(\overrightarrow{AB}(4\,;1)\) : \(6 - x_D = 4\) et \(5 - y_D = 1\), donc \(x_D = 2\) et \(y_D = 4\), soit \(D(2\,;4)\).

3. Milieu de \([AC]\) : \(\left(\dfrac{0+6}{2}\,;\,\dfrac{1+5}{2}\right) = (3\,;3)\). Milieu de \([BD]\) : \(\left(\dfrac{4+2}{2}\,;\,\dfrac{2+4}{2}\right) = (3\,;3)\). Les diagonales ont bien le même milieu : c'est cohérent avec un parallélogramme.

4. \(AB = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{17} \approx 4{,}12\).