Fiche – Vecteurs et problèmes de géométrie

Chapitre 6 | Seconde générale et technologique | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

L'essentiel :

Coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) = « extrémité moins origine » : \((x_B - x_A\,;\,y_B - y_A)\).
Relation de Chasles : \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\) ; la somme se construit aussi par la règle du parallélogramme.
La norme se calcule par Pythagore : \(\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}\).
Le déterminant \(\det(\vec{u},\vec{v}) = xy' - x'y\) est l'outil clé : \(=0\) exactement quand les vecteurs sont colinéaires.
Colinéarité \(\Rightarrow\) alignement (\(A,B,C\)) et parallélisme (\((AB),(CD)\)).

Définitions clés

Définition

Vecteur \(\overrightarrow{AB}\) : une direction (celle de \((AB)\)), un sens (de \(A\) vers \(B\)) et une norme (la longueur \(AB\)). Le vecteur nul \(\vec{0} = \overrightarrow{AA}\) a une norme nulle.

Définition

Égalité : \(\vec{u} = \vec{v}\) si même direction, même sens et même norme. \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \iff ABDC\) est un parallélogramme (attention à l'ordre des sommets).

Définition

Colinéarité : \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires s'il existe un réel \(k\) tel que \(\vec{v} = k\vec{u}\) : ils ont la même direction.

Définition

Coordonnées : dans une base orthonormée \((\vec{i},\vec{j})\), \(\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j}\) donne \(\vec{u}(x\,;y)\). \(x\) : abscisse, \(y\) : ordonnée.

À connaître par cœur

Coordonnées et opérations \[\overrightarrow{AB}\,(x_B - x_A\,;\,y_B - y_A)\] \[\vec{u}+\vec{v}\,(x+x'\,;\,y+y') \qquad k\vec{u}\,(kx\,;\,ky)\]

Norme et distance \[\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}\] \[AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\]

Déterminant et milieu \[\det(\vec{u},\vec{v}) = xy' - x'y\] \[I_{[AB]}\left(\frac{x_A+x_B}{2}\,;\,\frac{y_A+y_B}{2}\right)\]

Critères à connaître

\(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) colinéaires \(\iff \det(\vec{u},\vec{v}) = 0\).
\(A\), \(B\), \(C\) alignés \(\iff \det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) = 0\).
\((AB) \parallel (CD) \iff \det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}) = 0\).
\(ABCD\) parallélogramme \(\iff \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\).

Méthode — Étudier des points

Méthode — Alignement / parallélisme

Calculer les coordonnées des deux vecteurs (« extrémité moins origine »).
Calculer le déterminant \(xy' - x'y\).
Déterminant nul \(\Rightarrow\) colinéaires (alignés / parallèles) ; sinon, non.

Méthode — Nature d'un quadrilatère

Parallélogramme : vérifier \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\).
Losange : parallélogramme + deux côtés consécutifs de même longueur.
Trouver le 4ᵉ sommet \(D\) : résoudre \(\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}\).

Erreurs fréquentes

Attention

❌ Inverser les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\).

✅ Extrémité moins origine ; \(\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}\).

❌ Oublier la racine carrée dans la norme.

✅ \(\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2+y^2}\), toujours \(\geqslant 0\).

❌ Se tromper de signe dans le déterminant.

✅ Produit en croix \(xy' - x'y\).

❌ Confondre colinéarité et égalité.

✅ Colinéaires = même direction, pas forcément même norme ni même sens.

Exemple rapide

Exemple — un énoncé, plusieurs réponses

\(A(-1\,;2)\), \(B(3\,;5)\), \(C(7\,;8)\).

\(\overrightarrow{AB}(4\,;3)\) ; \(AB = \sqrt{16+9} = 5\).
Milieu de \([AB]\) : \((1\,;3{,}5)\).
\(\overrightarrow{AC}(8\,;6)\) ; \(\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) = 4\times 6 - 8\times 3 = 0\) : \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés.