Chapitre 2 | Seconde générale et technologique | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 14:25
L'ensemble des nombres réels, noté \(\mathbb{R}\), est l'ensemble de tous les nombres qui servent à mesurer des grandeurs (longueurs, aires, durées, températures…). À chaque réel correspond un point d'une droite graduée, et réciproquement.
On fixe sur une droite une origine \(O\) (point d'abscisse \(0\)) et une unité de longueur. Le réel associé à un point \(M\) est son abscisse. La droite ainsi munie est la droite numérique (ou droite réelle).
Sur la droite numérique, un nombre est plus petit qu'un autre lorsqu'il est situé plus à gauche. Pour deux réels \(a\) et \(b\) :
\[a \lt b \quad\text{signifie}\quad \text{le point d'abscisse } a \text{ est à gauche de celui d'abscisse } b.\]Droite numérique : chaque réel repère un point ; « plus petit » = « plus à gauche ». Ici \(-1\lt 2\) et \(\tfrac32=1{,}5\) est au milieu de \(1\) et \(2\).
Tout entier est un réel, tout décimal est un réel, etc. :
\[\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}.\]Ces inclusions sont strictes : il existe des réels qui n'appartiennent à aucun de ces sous-ensembles (les irrationnels, § IV).
\(-2\) est le plus à gauche, \(\tfrac12=0{,}5\) juste après l'origine, \(\tfrac52=2{,}5\) entre \(2\) et \(3\). Donc \(-2 \lt \tfrac12\) et \(\tfrac52 \gt \tfrac12\).
Un intervalle est un ensemble de réels décrit par des inégalités : c'est, sur la droite, une portion « d'un seul tenant » (sans trou).
Pour deux réels \(a \leqslant b\) :
| Notation | Inégalités | Bornes incluses ? |
|---|---|---|
| \([a,b]\) | \(a \leqslant x \leqslant b\) | les deux (fermé) |
| \(\left]a,b\right[\) | \(a \lt x \lt b\) | aucune (ouvert) |
| \(\left[a,b\right[\) | \(a \leqslant x \lt b\) | \(a\) oui, \(b\) non |
| \(\left]a,b\right]\) | \(a \lt x \leqslant b\) | \(a\) non, \(b\) oui |
Pour un réel \(a\) :
| Notation | Inégalités |
|---|---|
| \([a,+\infty[\) | \(x \geqslant a\) |
| \(\left]a,+\infty\right[\) | \(x \gt a\) |
| \(\left]-\infty,a\right]\) | \(x \leqslant a\) |
| \(\left]-\infty,a\right[\) | \(x \lt a\) |
On note aussi \(\mathbb{R} = \left]-\infty,+\infty\right[\).
Les symboles \(+\infty\) (« plus l'infini ») et \(-\infty\) (« moins l'infini ») ne sont pas des nombres réels : ils indiquent que l'intervalle « se prolonge sans fin ». Du côté d'un \(\infty\), le crochet est toujours ouvert : on écrit \([a,+\infty[\) et jamais \([a,+\infty]\).
On surligne la portion de droite concernée. Une borne incluse se marque par un crochet fermé (ou un point plein), une borne exclue par un crochet ouvert (ou un point creux).
Intervalle \([2\,;5[\) : borne \(2\) incluse (crochet fermé), borne \(5\) exclue (crochet ouvert).
Soit \(I = [-1,\,4[\).
Comme tout ensemble, deux intervalles se combinent par \(\cap\) (les réels communs) et par \(\cup\) (les réels de l'un ou de l'autre).
Une réunion de deux intervalles disjoints (par exemple \([0,1] \cup [3,4]\)) n'est pas un intervalle : on la laisse écrite avec le symbole \(\cup\).
Exemple résolu. \(\sqrt{2}\) appartient-il à \(I = \left]1,\,2\right]\) ? On a \(\sqrt{2} \approx 1{,}414\). Alors \(1 \lt 1{,}414\) (vrai) et \(1{,}414 \leqslant 2\) (vrai). Donc \(\sqrt{2} \in I\).
(a) \(-1\leqslant x\lt 3\) : \(-1\in\), \(3\notin\) (borne exclue). (b) \(x\lt 3\) : \(-1\in\), \(3\notin\). (c) \(x\gt 3\) : \(-1\notin\), \(3\notin\).
La valeur absolue d'un réel \(a\), notée \(|a|\), est la distance du point d'abscisse \(a\) au point d'abscisse \(0\) sur la droite numérique. C'est un nombre positif ou nul :
\[|a| = \begin{cases} a & \text{si } a \geqslant 0,\\[2pt] -a & \text{si } a \lt 0. \end{cases}\]\(|5| = 5\), \(\;|-5| = 5\), \(\;|0| = 0\), \(\;\left|-\tfrac{3}{4}\right| = \tfrac{3}{4}\).
Pour tout réel \(a\) : \(\;|a| \geqslant 0\) ; \(\;|a| = 0 \iff a = 0\) ; \(\;|-a| = |a|\).
La distance entre deux réels \(a\) et \(b\) est la longueur du segment joignant leurs points sur la droite ; elle vaut
\[d(a,b) = |b - a| = |a - b|.\]La distance entre \(-2\) et \(3\) est \(|3-(-2)| = |5| = 5\). La distance entre \(7\) et \(2\) est \(|2-7| = |-5| = 5\) également : l'ordre des deux nombres n'a pas d'importance.
En Seconde, la valeur absolue sert uniquement à exprimer une distance (à \(0\), ou entre deux réels) et à décrire des intervalles de centre donné. Toute autre utilisation est hors programme.
\(|-8|=8\) ; \(|3-11|=|-8|=8\) ; \(|11-3|=8\) ; \(d(-4,6)=|6-(-4)|=|10|=10\).
L'écriture \(|x - a|\) est la distance entre \(x\) et \(a\). L'inéquation \(|x-a| \leqslant r\) (avec \(r \geqslant 0\)) se lit donc : « \(x\) est à une distance au plus \(r\) du centre \(a\) ».
Pour un réel \(a\) et un réel \(r \geqslant 0\) :
\[|x - a| \leqslant r \quad\Longleftrightarrow\quad a - r \leqslant x \leqslant a + r \quad\Longleftrightarrow\quad x \in [\,a - r,\; a + r\,].\]L'intervalle solution est centré en \(a\) et de rayon \(r\) (donc d'amplitude \(2r\)). Avec une inégalité stricte, \(|x-a| \lt r\) équivaut à \(x \in \left]a-r,\,a+r\right[\) (bornes exclues).
Solutions de \(|x-3|\leqslant 2\) : l'intervalle \([1\,;5]\), centré en \(a=3\), de rayon \(r=2\).
Exemple résolu. Résoudre \(|x + 4| \leqslant 3\). On réécrit \(|x - (-4)| \leqslant 3\) : centre \(a = -4\), rayon \(r = 3\). Solutions : \([-4-3,\,-4+3] = [-7,\,-1]\).
Exemple résolu. Écrire \([2,\,8]\) avec une valeur absolue. Centre \(a = \tfrac{2+8}{2} = 5\), rayon \(r = \tfrac{8-2}{2} = 3\). Donc \([2,\,8]\) est l'ensemble des \(x\) tels que \(|x - 5| \leqslant 3\).
Centre \(2\), rayon \(3\) : solutions \([2-3,\,2+3]=[-1,\,5]\).
Pour \([1,\,9]\) : centre \(a=\tfrac{1+9}{2}=5\), rayon \(r=\tfrac{9-1}{2}=4\). Donc \([1,\,9]\) correspond à \(|x-5|\leqslant 4\).
Un nombre décimal est un réel qui s'écrit avec un nombre fini de chiffres après la virgule, c'est-à-dire un quotient d'un entier par une puissance de \(10\) :
\[x \in \mathbb{D} \quad\Longleftrightarrow\quad x = \frac{k}{10^{\,n}} \ \text{ avec } k \in \mathbb{Z} \text{ et } n \in \mathbb{N}.\]\(3{,}25 = \dfrac{325}{100} \in \mathbb{D}\) ; \(\;-7 = \dfrac{-7}{1} \in \mathbb{D}\) (tout entier est décimal) ; \(\;0{,}001 = \dfrac{1}{1000} \in \mathbb{D}\).
Contre-exemple : \(\dfrac{1}{3} = 0{,}3333\ldots\) n'a pas d'écriture décimale finie : \(\dfrac{1}{3} \notin \mathbb{D}\).
Un nombre rationnel est un réel qui s'écrit comme quotient de deux entiers :
\[x \in \mathbb{Q} \quad\Longleftrightarrow\quad x = \frac{p}{q} \ \text{ avec } p \in \mathbb{Z},\ q \in \mathbb{Z} \text{ et } q \neq 0.\]Tout décimal est rationnel (par exemple \(2{,}7 = \tfrac{27}{10}\)), donc \(\mathbb{D} \subset \mathbb{Q}\). Mais tout rationnel n'est pas décimal : \(\tfrac{1}{3} \in \mathbb{Q}\) et \(\tfrac{1}{3} \notin \mathbb{D}\).
Un réel qui n'est pas rationnel est dit irrationnel : il ne peut s'écrire sous la forme \(\tfrac{p}{q}\).
On a donc la chaîne complète, chaque inclusion étant stricte : \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\).
\(\dfrac{7}{4}=1{,}75\in\mathbb{D}\) ; \(\dfrac{2}{3}\in\mathbb{Q}\) (rationnel non décimal) ; \(\pi\) irrationnel ; \(-3\in\mathbb{Z}\) ; \(0{,}125=\dfrac{1}{8}\in\mathbb{D}\).
Démonstration. Supposons \(\dfrac{1}{3}\) décimal : \(\dfrac{1}{3} = \dfrac{k}{10^{\,n}}\) pour un \(k \in \mathbb{Z}\) et un \(n \in \mathbb{N}\). En multipliant en croix : \(10^{\,n} = 3k\), donc \(10^{\,n}\) serait un multiple de \(3\). Or \(10^{\,n} = 2^{\,n} \times 5^{\,n}\) n'a pour facteurs premiers que \(2\) et \(5\) : il n'est jamais divisible par \(3\). Contradiction : \(\tfrac{1}{3}\) n'est pas décimal. \(\blacksquare\)
Démonstration. Rappel : si \(n^2\) est pair, alors \(n\) est pair. Supposons \(\sqrt{2}\) rationnel, écrit sous forme d'une fraction irréductible \(\sqrt{2} = \dfrac{p}{q}\) (\(p\) et \(q\) sans diviseur commun autre que \(1\)). En élevant au carré : \(p^2 = 2q^2\). Donc \(p^2\) est pair, donc \(p\) est pair : \(p = 2k\). En reportant : \(4k^2 = 2q^2\), soit \(q^2 = 2k^2\), donc \(q^2\) est pair et \(q\) est pair. Alors \(p\) et \(q\) sont tous deux pairs : contradiction avec le caractère irréductible. Donc \(\sqrt{2}\) est irrationnel. \(\blacksquare\)
Encadrer un réel \(x\), c'est trouver deux nombres \(m\) et \(M\) tels que \(m \leqslant x \leqslant M\). L'amplitude de l'encadrement est la différence \(M - m\).
Encadrer \(x\) à \(10^{-n}\) près par des décimaux, c'est trouver deux décimaux consécutifs à \(n\) chiffres après la virgule qui l'entourent :
\[\frac{k}{10^{\,n}} \leqslant x \lt \frac{k+1}{10^{\,n}} \qquad (k \in \mathbb{Z}).\]L'amplitude vaut \(10^{-n}\). Le décimal de gauche est la valeur approchée par défaut, celui de droite la valeur approchée par excès.
Exemple résolu. Encadrer \(\sqrt{2}\) à \(10^{-1}\) près. On calcule \(1{,}4^2 = 1{,}96 \lt 2\) et \(1{,}5^2 = 2{,}25 \gt 2\). Donc \(1{,}4 \leqslant \sqrt{2} \lt 1{,}5\).
Une calculatrice affiche \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142136\) : c'est une valeur approchée, jamais la valeur exacte (qui a une infinité de décimales). Le symbole \(\approx\) signifie « environ égal à ». Dans un problème concret, on choisit un nombre de chiffres significatifs adapté à la précision des données.
Une aire vaut \(S = \pi \times 2{,}5^2 = 6{,}25\pi \approx 19{,}634954\ldots\) m². Si les données sont au dixième, on répond \(S \approx 19{,}6\) m² (3 chiffres significatifs).
\(2{,}23^2=4{,}9729\lt 5\) et \(2{,}24^2=5{,}0176\gt 5\), donc \(2{,}23\leqslant\sqrt{5}\lt 2{,}24\).
❌ Fermer le crochet du côté de l'infini.
✅ Toujours ouvert : \([a,+\infty[\), jamais \([a,+\infty]\). \(+\infty\) et \(-\infty\) ne sont pas des nombres.
❌ Se tromper de sens des crochets.
✅ \([a,b]\) inclut \(a\) et \(b\) ; \(\left]a,b\right[\) les exclut. Vérifier chaque borne séparément.
❌ Écrire \(|-5| = -5\).
✅ Une valeur absolue est positive : \(|a| \geqslant 0\), donc \(|-5| = 5\). De plus \(|a-b| = |b-a|\).
❌ Confondre valeur exacte et valeur approchée.
✅ \(\sqrt{2} \neq 1{,}414\) ; on écrit \(\sqrt{2} \approx 1{,}414\). La calculatrice n'affiche qu'un arrondi.
❌ Croire que tout rationnel est décimal.
✅ Tout décimal est rationnel, mais \(\tfrac{1}{3}\) est rationnel sans être décimal.
❌ Confondre rayon et amplitude d'un intervalle centré.
✅ \([a-r,\,a+r]\) a pour amplitude \(2r\) ; \(r\) est le rayon.