Exercices – Chapitre 2

Nombres réels et intervalles | Seconde générale et technologique | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 11:07

Rappels utiles :

\([a,b]\) inclut ses bornes ; \(\left]a,b\right[\) les exclut ; côté \(\infty\), crochet toujours ouvert.
\(|a|\) = distance de \(a\) à \(0\) ; distance entre \(a\) et \(b\) : \(d(a,b)=|b-a|\).
\(|x-a|\leqslant r \iff x\in[a-r,\,a+r]\) (centre \(a\), rayon \(r\)).
\(\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\) ; \(\tfrac13\) est rationnel non décimal ; \(\sqrt2\), \(\pi\) irrationnels.
Encadrer à \(10^{-n}\) près = deux décimaux consécutifs à \(n\) décimales entourant le nombre.

Exercice 1 — Placer et comparer sur la droite

On considère les réels \(-\tfrac{5}{2}\), \(0{,}5\), \(\tfrac{7}{4}\) et \(\sqrt{2}\).

1. Donner leur écriture décimale (exacte ou approchée à \(10^{-2}\) près).

2. Les ranger dans l'ordre croissant.

3. Les placer sur une droite graduée (unité : 2 cm).

1. \(-\tfrac{5}{2}=-2{,}5\) ; \(0{,}5\) ; \(\tfrac{7}{4}=1{,}75\) ; \(\sqrt{2}\approx 1{,}41\).

2. \(-2{,}5 \lt 0{,}5 \lt \sqrt{2} \lt 1{,}75\), soit \(-\tfrac{5}{2} \lt 0{,}5 \lt \sqrt{2} \lt \tfrac{7}{4}\).

3. Voir la droite ci-dessous : l'ordre des points est celui de la question 2.

Exercice 2 — Traduire un intervalle et tester l'appartenance

Pour chaque intervalle, écrire la (les) inégalité(s), puis dire si \(2\), \(-1\) et \(5\) lui appartiennent.

(a) \([-1,\,5[\) ; (b) \(\left]-\infty,\,2\right]\) ; (c) \(\left]2,\,+\infty\right[\).

(a) \(-1\leqslant x\lt 5\) : \(2\in\), \(-1\in\), \(5\notin\) (borne exclue).

(b) \(x\leqslant 2\) : \(2\in\), \(-1\in\), \(5\notin\).

Exercice 3 — Réunion et intersection d'intervalles

Déterminer les ensembles suivants et dire s'il s'agit ou non d'un intervalle.

1. \([-1,\,3]\cap\left]0,\,5\right]\).

2. \(\left]-\infty,\,2\right[\cup[1,\,+\infty[\).

3. \([0,\,1]\cup[3,\,4]\).

1. \([-1,\,3]\cap\left]0,\,5\right]=\left]0,\,3\right]\) : c'est un intervalle.

2. \(\left]-\infty,\,2\right[\cup[1,\,+\infty[=\mathbb{R}\) (les deux se recouvrent entre \(1\) et \(2\)) : c'est un intervalle.

3. \([0,\,1]\cup[3,\,4]\) : les deux morceaux sont disjoints, ce n'est pas un intervalle ; on le laisse écrit avec \(\cup\).

Exercice 4 — Valeur absolue et distance

1. Calculer \(|-8|\), \(\;|3-11|\), \(\;|11-3|\), \(\;\left|-\tfrac{3}{4}\right|\).

2. Déterminer la distance entre \(-4\) et \(6\), puis entre \(7\) et \(2\).

3. Vrai ou faux : « pour tous réels \(a\) et \(b\), \(|a-b|=|b-a|\) » ? Justifier sur un exemple, puis en général.

1. \(|-8|=8\) ; \(|3-11|=|-8|=8\) ; \(|11-3|=8\) ; \(\left|-\tfrac{3}{4}\right|=\tfrac{3}{4}\).

2. \(d(-4,6)=|6-(-4)|=|10|=10\) ; \(d(7,2)=|2-7|=|-5|=5\).

3. Vrai : la distance ne dépend pas de l'ordre. Par exemple \(|3-11|=|-8|=8\) et \(|11-3|=8\). En général, \(b-a=-(a-b)\) et deux nombres opposés ont la même valeur absolue, donc \(|b-a|=|a-b|\).

Exercice 5 — Résoudre \(|x-a|\leqslant r\)

Résoudre chaque inéquation et donner l'intervalle des solutions.

1. \(|x-2|\leqslant 3\).

2. \(|x+4|\leqslant 3\).

3. \(|x-5|\lt 1\) (inégalité stricte).

1. Centre \(2\), rayon \(3\) : \([2-3,\,2+3]=[-1,\,5]\).

2. \(|x-(-4)|\leqslant 3\) : centre \(-4\), rayon \(3\) : \([-7,\,-1]\).

3. Centre \(5\), rayon \(1\), inégalité stricte : \(\left]4,\,6\right[\) (bornes exclues).

Exercice 6 — Écrire un intervalle avec une valeur absolue

Écrire chaque intervalle sous la forme \(|x-a|\leqslant r\).

1. \([1,\,9]\).

2. \([-3,\,7]\).

3. \([-6,\,-1]\) (attention au centre).

1. Centre \(a=\tfrac{1+9}{2}=5\), rayon \(r=\tfrac{9-1}{2}=4\) : \(|x-5|\leqslant 4\).

2. Centre \(a=\tfrac{-3+7}{2}=2\), rayon \(r=\tfrac{7-(-3)}{2}=5\) : \(|x-2|\leqslant 5\).

3. Centre \(a=\tfrac{-6+(-1)}{2}=-3{,}5\), rayon \(r=\tfrac{-1-(-6)}{2}=2{,}5\) : \(|x-(-3{,}5)|\leqslant 2{,}5\), soit \(|x+3{,}5|\leqslant 2{,}5\).

Exercice 7 — Ensembles de nombres et encadrement

1. Pour chacun de \(\dfrac{7}{4}\), \(\;\dfrac{2}{3}\), \(\;\pi\), \(\;-3\), \(\;0{,}125\), donner le plus petit ensemble (\(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{D}\), \(\mathbb{Q}\) ou « irrationnel ») auquel il appartient.

2. Donner un encadrement de \(\sqrt{5}\) à \(10^{-2}\) près (tester des carrés).

3. L'aire d'un disque de rayon \(2{,}5\) m vaut \(6{,}25\pi\) m². En donner une valeur arrondie à 3 chiffres significatifs.

1. \(\dfrac{7}{4}=1{,}75\in\mathbb{D}\) ; \(\dfrac{2}{3}\in\mathbb{Q}\) (non décimal) ; \(\pi\) irrationnel ; \(-3\in\mathbb{Z}\) ; \(0{,}125=\tfrac18\in\mathbb{D}\).

2. \(2{,}23^2=4{,}9729\lt 5\) et \(2{,}24^2=5{,}0176\gt 5\), donc \(2{,}23\leqslant\sqrt{5}\lt 2{,}24\).

3. \(6{,}25\pi\approx 19{,}634954\ldots\), soit \(\approx 19{,}6\) m² (3 chiffres significatifs).

Exercice 8 — Problème type : tolérance de fabrication

Une pièce doit avoir une longueur \(\ell\) (en mm) comprise dans un intervalle de centre \(120\) et de rayon (tolérance) \(0{,}5\).

1. Écrire la condition « pièce acceptable » à l'aide d'une valeur absolue.

2. Donner l'intervalle des longueurs acceptables et son amplitude.

3. Une pièce mesure \(120{,}6\) mm : est-elle acceptable ? Et une pièce de \(119{,}7\) mm ?

1. La distance de \(\ell\) au centre \(120\) doit être au plus \(0{,}5\) : \(|\ell-120|\leqslant 0{,}5\).

2. Solutions : \([120-0{,}5,\,120+0{,}5]=[119{,}5,\,120{,}5]\). Amplitude : \(2\times 0{,}5=1\) mm.

3. \(120{,}6\) : \(|120{,}6-120|=0{,}6\gt 0{,}5\) → refusée. \(119{,}7\) : \(|119{,}7-120|=0{,}3\leqslant 0{,}5\) → acceptable.