Fiche – Nombres réels et intervalles

Chapitre 2 | Seconde générale et technologique | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

L'essentiel :

\(\mathbb{R}\) = abscisses des points de la droite numérique ; « plus petit » = « plus à gauche ».
Intervalles : \([a,b]\) fermé, \(\left]a,b\right[\) ouvert ; côté \(\infty\), crochet toujours ouvert.
Valeur absolue \(|a|\) = distance de \(a\) à \(0\) ; \(d(a,b)=|b-a|\) (symétrique).
\(|x-a|\leqslant r \iff x\in[a-r,\,a+r]\) : centre \(a\), rayon \(r\), amplitude \(2r\).
\(\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\) (inclusions strictes) ; \(\sqrt2\), \(\pi\) irrationnels.

Définitions clés

Définition

Droite numérique : droite munie d'une origine \(O\) (abscisse \(0\)) et d'une unité. Chaque réel repère un point, et réciproquement.

Définition

Intervalle : ensemble de réels décrit par des inégalités, « d'un seul tenant » sur la droite. Borne incluse = crochet fermé ; borne exclue = crochet ouvert.

Définition

Valeur absolue : \(|a|\) = distance de \(a\) à \(0\), toujours \(\geqslant 0\). \(|a|=a\) si \(a\geqslant 0\), \(|a|=-a\) si \(a\lt 0\).

Définition

Décimal / rationnel : \(x\in\mathbb{D}\) si \(x=\tfrac{k}{10^n}\) (décimales finies) ; \(x\in\mathbb{Q}\) si \(x=\tfrac{p}{q}\) (\(q\neq 0\)). Un réel non rationnel est irrationnel.

À connaître par cœur

Intervalles bornés \[[a,b]:\ a\leqslant x\leqslant b \qquad \left]a,b\right[:\ a\lt x\lt b\] \[\left[a,b\right[:\ a\leqslant x\lt b \qquad \left]a,b\right]:\ a\lt x\leqslant b\]

Intervalles non bornés \[[a,+\infty[:\ x\geqslant a \qquad \left]-\infty,a\right]:\ x\leqslant a\] \[\mathbb{R}=\left]-\infty,+\infty\right[\]

Distance et valeur absolue \[d(a,b)=|b-a|=|a-b| \qquad |a|\geqslant 0,\ |-a|=|a|\]

Inéquation centrée \[|x-a|\leqslant r \iff x\in[a-r,\,a+r]\] \[|x-a|\lt r \iff x\in\left]a-r,\,a+r\right[\]

Ensembles de nombres emboîtés \[\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\]

Encadrement à \(10^{-n}\) près

\(\dfrac{k}{10^n}\leqslant x\lt\dfrac{k+1}{10^n}\) : deux décimaux consécutifs à \(n\) décimales, amplitude \(10^{-n}\).
Gauche = valeur approchée par défaut ; droite = par excès.
\(\sqrt2\approx 1{,}414\) est une valeur approchée : \(\sqrt2\neq 1{,}414\).

Méthodes

Méthode — Résoudre \(|x-a|\leqslant r\)

Repérer le centre \(a\) et le rayon \(r\ (\geqslant 0)\).
Écrire \([a-r,\,a+r]\) (bornes incluses si \(\leqslant\), exclues si \(\lt\)).
Représenter le segment centré en \(a\).

Méthode — Intervalle → valeur absolue

Centre \(a=\dfrac{\text{gauche}+\text{droite}}{2}\).
Rayon \(r=\dfrac{\text{droite}-\text{gauche}}{2}\).
Écrire \(|x-a|\leqslant r\).

Erreurs fréquentes

Attention

❌ Fermer le crochet côté infini.

✅ Toujours ouvert : \([a,+\infty[\), jamais \([a,+\infty]\).

❌ Écrire \(|-5|=-5\).

✅ \(|a|\geqslant 0\), donc \(|-5|=5\) ; et \(|a-b|=|b-a|\).

❌ Croire que tout rationnel est décimal.

✅ Tout décimal est rationnel, mais \(\tfrac13\) est rationnel sans être décimal.

❌ Confondre rayon \(r\) et amplitude d'un intervalle centré.

✅ \([a-r,\,a+r]\) a pour amplitude \(2r\).

Exemple rapide

Exemple — un énoncé, plusieurs réponses

Résoudre \(|x-3|\leqslant 2\) et écrire \([2,\,8]\) avec une valeur absolue.

\(|x-3|\leqslant 2\) : centre \(3\), rayon \(2\) → \([1,\,5]\).
\([2,\,8]\) : centre \(5\), rayon \(3\) → \(|x-5|\leqslant 3\).
Amplitude de \([1,\,5]\) : \(5-1=4=2\times 2\) (deux fois le rayon).