Chapitre 5 | Première technologique (enseignement commun) | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 09:41
Dans un lycée, on interroge \(200\) élèves sur leur trajet. On classe selon deux critères : « vient à vélo » (\(V\)) et « habite à moins de 2 km » (\(C\)). On obtient le tableau croisé d'effectifs suivant.
| Vélo (\(V\)) | Pas vélo (\(\bar V\)) | Total | |
|---|---|---|---|
| Moins de 2 km (\(C\)) | 48 | 32 | 80 |
| 2 km ou plus (\(\bar C\)) | 12 | 108 | 120 |
| Total | 60 | 140 | 200 |
On choisit un élève au hasard. La probabilité qu'il vienne à vélo est \(P(V)=\dfrac{60}{200}=0{,}30\).
Notation. Le nombre d'éléments d'un ensemble fini \(A\) (son cardinal) se note \(\mathrm{Card}(A)\). Ici \(\mathrm{Card}(V)=60\) et \(\mathrm{Card}(E)=200\) pour l'ensemble \(E\) des élèves interrogés : en situation d'équiprobabilité, \(P(V)=\dfrac{\mathrm{Card}(V)}{\mathrm{Card}(E)}\).
Mais si l'on sait déjà que l'élève habite à moins de 2 km, on ne regarde plus que la première ligne (\(80\) élèves) : parmi eux, \(48\) viennent à vélo. La probabilité de « vélo sachant moins de 2 km » vaut \(\dfrac{48}{80}=0{,}60\). L'information a modifié la probabilité. On note cette probabilité \(P_C(V)\).
Soit \(A\) un évènement de probabilité non nulle (\(P(A)\neq 0\)). La probabilité conditionnelle de \(B\) sachant \(A\) est le nombre :
\[P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}.\]On lit « probabilité de \(B\) sachant \(A\) ».
Avec \(A=C\) (moins de 2 km) et \(B=V\) (vélo) :
\[P(C)=\dfrac{80}{200}=0{,}40,\qquad P(C\cap V)=\dfrac{48}{200}=0{,}24,\] \[P_C(V)=\dfrac{P(C\cap V)}{P(C)}=\dfrac{0{,}24}{0{,}40}=0{,}60.\]On retrouve bien le résultat obtenu par lecture directe de la ligne.
Calculons \(P_V(C)\) (habiter à moins de 2 km sachant vélo). On se place dans la colonne « Vélo » (\(60\) élèves), dont \(48\) habitent près :
\[P_V(C)=\dfrac{P(V\cap C)}{P(V)}=\dfrac{0{,}24}{0{,}30}=0{,}80.\]On a \(P_C(V)=0{,}60\) mais \(P_V(C)=0{,}80\) : ce ne sont pas les mêmes questions. Ne jamais confondre \(P_A(B)\), \(P_B(A)\) et \(P(A\cap B)\).
On se place dans la ligne « 2 km ou plus » (\(120\) élèves), dont \(12\) à vélo : \(P_{\bar C}(V)=\dfrac{12}{120}=0{,}10\).
En multipliant les deux membres de la définition par \(P(A)\), on obtient une formule très utile pour calculer une intersection.
Si \(P(A)\neq 0\), alors :
\[P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B).\]Une usine possède deux machines. La machine \(M_1\) fabrique \(70\,\%\) des pièces, la machine \(M_2\) les \(30\,\%\) restants. La machine \(M_1\) produit \(2\,\%\) de pièces défectueuses (\(D\)), la machine \(M_2\) en produit \(5\,\%\). On tire une pièce au hasard. On construit un arbre pondéré : d'abord la machine, puis l'état de la pièce.
Arbre pondéré de l'usine. Sur chaque branche du 2ᵉ niveau figure une probabilité conditionnelle. La probabilité d'un chemin est le produit des branches : \(P(M_1\cap D)=0{,}70\times 0{,}02=0{,}014\).
Sur une branche, on multiplie les probabilités, on ne les additionne pas. Le premier niveau porte des probabilités « simples » (\(P(M_1)\)), le second niveau des probabilités conditionnelles (\(P_{M_1}(D)\)).
On multiplie le long du chemin \(M_2\) puis \(D\) : \(P(M_2\cap D)=P(M_2)\times P_{M_2}(D)=0{,}30\times 0{,}05=0{,}015\).
Dans l'exemple de l'usine, quelle est la probabilité qu'une pièce prise au hasard soit défectueuse, toutes machines confondues ? Une pièce défectueuse provient soit de \(M_1\), soit de \(M_2\) : ces deux cas sont incompatibles et couvrent toutes les possibilités. Il suffit d'additionner les probabilités des deux chemins menant à \(D\).
Pour tout évènement \(B\), avec \(A\) tel que \(P(A)\neq 0\) et \(P(\bar A)\neq 0\) :
\[P(B)=P(A\cap B)+P(\bar A\cap B)=P(A)\,P_A(B)+P(\bar A)\,P_{\bar A}(B).\]Les évènements \(A\cap B\) et \(\bar A\cap B\) sont incompatibles (l'un est inclus dans \(A\), l'autre dans \(\bar A\), et \(A\cap\bar A=\varnothing\)). Leur réunion est exactement \(B\). La probabilité d'une réunion d'évènements incompatibles est la somme des probabilités, d'où \(P(B)=P(A\cap B)+P(\bar A\cap B)\). On applique enfin la règle du produit à chaque terme. \(\quad\blacksquare\)
On repère tous les chemins qui aboutissent à \(D\) (il y en a deux) et on additionne :
\[P(D)=P(M_1)\,P_{M_1}(D)+P(M_2)\,P_{M_2}(D)=0{,}70\times 0{,}02+0{,}30\times 0{,}05.\] \[P(D)=0{,}014+0{,}015=0{,}029.\]La proportion de pièces défectueuses dans la production totale est de \(2{,}9\,\%\).
Pour trouver \(P(B)\) :
\(P(M)=0{,}05\), \(P(\bar M)=0{,}95\), \(P_M(T)=0{,}90\), \(P_{\bar M}(T)=0{,}08\). Par la formule des probabilités totales : \(P(T)=0{,}05\times 0{,}90+0{,}95\times 0{,}08=0{,}045+0{,}076=0{,}121\). Le test est positif dans \(12{,}1\,\%\) des cas.
Dans le tableau vélo/distance, \(P(V)=0{,}30\) mais \(P_C(V)=0{,}60\) : savoir que l'élève habite près a changé la probabilité. À l'inverse, deux évènements sont indépendants quand connaître la réalisation de l'un ne change rien à la probabilité de l'autre.
Soit \(A\) un évènement de probabilité non nulle. On dit que \(B\) est indépendant de \(A\) lorsque :
\[P_A(B)=P(B).\]Savoir que \(A\) est réalisé ne modifie pas la probabilité de \(B\).
Si \(P(A)\neq 0\), alors :
\[B\text{ indépendant de }A\iff P(A\cap B)=P(A)\times P(B).\]Démonstration. \(B\) indépendant de \(A\) signifie \(P_A(B)=P(B)\), soit \(\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}=P(B)\). En multipliant par \(P(A)\neq 0\), on obtient \(P(A\cap B)=P(A)\times P(B)\). \(\quad\blacksquare\)
Testons \(V\) et \(C\) dans le tableau initial :
\[P(V)\times P(C)=0{,}30\times 0{,}40=0{,}12,\qquad P(V\cap C)=0{,}24.\]Comme \(0{,}24\neq 0{,}12\), les évènements \(V\) et \(C\) ne sont pas indépendants : venir à vélo et habiter près sont liés.
On lance deux fois une pièce équilibrée. Soit \(A\) : « pile au 1ᵉ lancer » et \(B\) : « pile au 2ᵉ lancer ». Les quatre issues sont équiprobables :
\[P(A)=\tfrac12,\quad P(B)=\tfrac12,\quad P(A\cap B)=\tfrac14.\]Or \(P(A)\times P(B)=\tfrac12\times\tfrac12=\tfrac14=P(A\cap B)\) : \(A\) et \(B\) sont indépendants. C'est cohérent : le premier lancer n'influence pas le second.
Deux évènements incompatibles vérifient \(P(A\cap B)=0\) ; deux évènements indépendants vérifient \(P(A\cap B)=P(A)\times P(B)\). Ce sont des notions distinctes (et même contraires si \(P(A)\neq 0\) et \(P(B)\neq 0\)).
Il y a 4 rois, 8 cœurs, 1 roi de cœur : \(P(R)=\dfrac{4}{32}=\dfrac18\), \(P(H)=\dfrac{8}{32}=\dfrac14\), \(P(R\cap H)=\dfrac{1}{32}\). Or \(P(R)\times P(H)=\dfrac18\times\dfrac14=\dfrac{1}{32}=P(R\cap H)\) : les évènements sont indépendants.
Dans la définition, \(B\) est indépendant de \(A\). On démontre que « \(A\) indépendant de \(B\) » n'est pas une propriété différente.
Soit \(A\) et \(B\) deux évènements de probabilités non nulles (\(P(A)\neq 0\) et \(P(B)\neq 0\)). Alors :
\[B\text{ indépendant de }A\iff A\text{ indépendant de }B.\]Supposons \(B\) indépendant de \(A\), soit \(P_A(B)=P(B)\). Par la règle du produit :
\[P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)=P(A)\times P(B).\]Calculons \(P_B(A)\), possible car \(P(B)\neq 0\) :
\[P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{P(A)\times P(B)}{P(B)}=P(A).\]L'égalité \(P_B(A)=P(A)\) signifie que \(A\) est indépendant de \(B\). Le raisonnement étant réversible, l'équivalence est établie. \(\quad\blacksquare\)
\(A\cap N=36\), \(\bar A=60\), \(\bar A\cap N=24\) : \(P_A(N)=\dfrac{36}{90}=0{,}40\) et \(P_{\bar A}(N)=\dfrac{24}{60}=0{,}40\). Avec \(P(A)=\dfrac{90}{150}=0{,}60\) et \(P(\bar A)=0{,}40\) : \(P(N)=0{,}60\times 0{,}40+0{,}40\times 0{,}40=0{,}24+0{,}16=0{,}40\).
On a \(P(N)=0{,}40\) et \(P_A(N)=0{,}40\). Comme \(P_A(N)=P(N)\), les évènements sont indépendants. Vérification : \(P(A\cap N)=\dfrac{36}{150}=0{,}24\) et \(P(A)\times P(N)=0{,}60\times 0{,}40=0{,}24\). Égalité confirmée.
❌ Confondre \(P_A(B)\), \(P_B(A)\) et \(P(A\cap B)\).
✅ Repérer d'abord quel évènement est le « sachant » : c'est lui qui sert de dénominateur.
❌ Additionner au lieu de multiplier sur une branche d'arbre.
✅ La probabilité d'un chemin est un produit.
❌ Oublier des chemins dans la formule des probabilités totales.
✅ Additionner tous les chemins menant à \(B\) (par \(A\) et par \(\bar A\)).
❌ Confondre « incompatibles » et « indépendants ».
✅ Incompatibles : \(P(A\cap B)=0\). Indépendants : \(P(A\cap B)=P(A)\times P(B)\).
❌ Diviser par une probabilité nulle.
✅ \(P_A(B)\) n'a de sens que si \(P(A)\neq 0\).