Probabilités conditionnelles et indépendance | Première technologique (enseignement commun) | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Dans un club sportif de \(150\) membres, on distingue les adultes (\(A\)) et l'inscription à la natation (\(N\)). On compte \(90\) adultes, dont \(36\) inscrits en natation ; parmi les non-adultes, \(24\) sont inscrits en natation.
1. Compléter mentalement le tableau croisé (effectifs des 4 cases).
2. Calculer \(P_A(N)\), puis \(P_{\bar A}(N)\).
1. \(A\cap N=36\), \(A\cap\bar N=54\), \(\bar A=60\), \(\bar A\cap N=24\), \(\bar A\cap\bar N=36\).
2. \(P_A(N)=\dfrac{36}{90}=0{,}40\) et \(P_{\bar A}(N)=\dfrac{24}{60}=0{,}40\).
Avec les données de l'exercice 1, on choisit un membre au hasard.
1. Calculer \(P(A)\) et \(P(\bar A)\).
2. En utilisant la formule des probabilités totales, calculer \(P(N)\).
1. \(P(A)=\dfrac{90}{150}=0{,}60\) ; \(P(\bar A)=0{,}40\).
2. \(P(N)=P(A)P_A(N)+P(\bar A)P_{\bar A}(N)=0{,}60\times 0{,}40+0{,}40\times 0{,}40=0{,}24+0{,}16=0{,}40\).
Toujours avec l'exercice 1, on a trouvé \(P(N)=0{,}40\) et \(P_A(N)=0{,}40\).
1. À l'aide de la définition \(P_A(N)=P(N)\), dire si \(A\) et \(N\) sont indépendants.
2. Vérifier avec le critère \(P(A\cap N)=P(A)\times P(N)\).
1. \(P_A(N)=0{,}40=P(N)\) : les évènements \(A\) et \(N\) sont indépendants.
2. \(P(A\cap N)=\dfrac{36}{150}=0{,}24\) et \(P(A)\times P(N)=0{,}60\times 0{,}40=0{,}24\). Égalité confirmée.
Une urne contient des jetons. On tire deux jetons successivement. La probabilité que le premier soit rouge est \(P(R_1)=0{,}30\). Sachant que le premier est rouge, la probabilité que le second soit rouge est \(P_{R_1}(R_2)=0{,}25\).
1. Calculer \(P(R_1\cap R_2)\), probabilité que les deux jetons soient rouges.
2. Interpréter le résultat en pourcentage.
1. Règle du produit : \(P(R_1\cap R_2)=P(R_1)\times P_{R_1}(R_2)=0{,}30\times 0{,}25=0{,}075\).
2. Il y a \(7{,}5\,\%\) de chances de tirer deux jetons rouges de suite.
Dans une population, \(5\,\%\) des personnes sont malades (\(M\)). Le test est positif (\(T\)) chez \(90\,\%\) des malades et chez \(8\,\%\) des personnes saines. On teste une personne au hasard.
1. Construire l'arbre pondéré (donner les 4 probabilités du 2ᵉ niveau).
2. Calculer \(P(T)\), probabilité que le test soit positif.
1. \(P(M)=0{,}05\), \(P(\bar M)=0{,}95\) ; \(P_M(T)=0{,}90\), \(P_M(\bar T)=0{,}10\), \(P_{\bar M}(T)=0{,}08\), \(P_{\bar M}(\bar T)=0{,}92\).
2. \(P(T)=0{,}05\times 0{,}90+0{,}95\times 0{,}08=0{,}045+0{,}076=0{,}121\). Le test est positif dans \(12{,}1\,\%\) des cas.
On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes. Soit \(R\) : « la carte est un roi » et \(H\) : « la carte est un cœur ».
1. Donner \(P(R)\), \(P(H)\) et \(P(R\cap H)\).
2. Les évènements \(R\) et \(H\) sont-ils indépendants ?
1. 4 rois, 8 cœurs, 1 roi de cœur : \(P(R)=\dfrac{4}{32}=\dfrac18\), \(P(H)=\dfrac{8}{32}=\dfrac14\), \(P(R\cap H)=\dfrac{1}{32}\).
2. \(P(R)\times P(H)=\dfrac18\times\dfrac14=\dfrac{1}{32}=P(R\cap H)\) : les évènements sont indépendants.
On lance deux fois une pièce équilibrée. Soit \(A\) : « pile au 1ᵉ lancer » et \(B\) : « pile au 2ᵉ lancer ».
1. Lister les quatre issues équiprobables et donner \(P(A)\), \(P(B)\), \(P(A\cap B)\).
2. Montrer que \(A\) et \(B\) sont indépendants.
1. Issues : \((P,P),(P,F),(F,P),(F,F)\). \(P(A)=\tfrac12\), \(P(B)=\tfrac12\), \(P(A\cap B)=P\big((P,P)\big)=\tfrac14\).
2. \(P(A)\times P(B)=\tfrac12\times\tfrac12=\tfrac14=P(A\cap B)\) : \(A\) et \(B\) sont indépendants.
Une entreprise reçoit ses composants de deux fournisseurs. \(F_1\) livre \(60\,\%\) des composants, \(F_2\) le reste. Le taux de composants conformes (\(C\)) est de \(97\,\%\) chez \(F_1\) et de \(92\,\%\) chez \(F_2\). On prélève un composant au hasard.
1. Construire l'arbre pondéré avec les évènements \(F_1,F_2\) puis \(C,\bar C\).
2. Calculer \(P(\bar C)\), probabilité que le composant soit défectueux.
3. Le composant prélevé est défectueux. Calculer \(P_{\bar C}(F_1)\), probabilité qu'il provienne de \(F_1\).
1. \(P(F_1)=0{,}60\), \(P(F_2)=0{,}40\) ; \(P_{F_1}(\bar C)=0{,}03\), \(P_{F_2}(\bar C)=0{,}08\).
2. Probabilités totales : \(P(\bar C)=0{,}60\times 0{,}03+0{,}40\times 0{,}08=0{,}018+0{,}032=0{,}050\).
3. \(P_{\bar C}(F_1)=\dfrac{P(F_1\cap\bar C)}{P(\bar C)}=\dfrac{0{,}018}{0{,}050}=0{,}36\). Un composant défectueux provient de \(F_1\) dans \(36\,\%\) des cas.