Fiche – Probabilités conditionnelles et indépendance

Chapitre 5 | Première technologique (enseignement commun) | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

L'essentiel :

Probabilité conditionnelle \(P_A(B)\) : probabilité de \(B\) sachant que \(A\) est réalisé.
Règle du produit : sur une branche d'arbre, on multiplie les probabilités.
Probabilités totales : pour \(P(B)\), on additionne tous les chemins menant à \(B\).
\(A\) et \(B\) indépendants : connaître l'un ne change rien à l'autre, \(P(A\cap B)=P(A)\times P(B)\).
Bien distinguer \(P(A\cap B)\), \(P_A(B)\) et \(P_B(A)\).

Définitions clés

Définition

Probabilité conditionnelle : si \(P(A)\neq 0\), \(P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}\) est la probabilité de \(B\) sachant \(A\).

Définition

Arbre pondéré : le 1ᵉ niveau porte les probabilités \(P(A)\), \(P(\bar A)\) ; le 2ᵉ niveau porte des probabilités conditionnelles \(P_A(B)\). Somme des branches d'un nœud \(=1\).

Définition

Indépendance : \(A\) et \(B\) sont indépendants lorsque \(P_A(B)=P(B)\), ce qui équivaut à \(P(A\cap B)=P(A)\times P(B)\). Relation symétrique.

À connaître par cœur

Probabilité conditionnelle et règle du produit \[P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}\qquad(P(A)\neq 0)\] \[P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)\]

Formule des probabilités totales \[P(B)=P(A)\,P_A(B)+P(\bar A)\,P_{\bar A}(B)\]

Indépendance \[A,B\text{ indépendants}\iff P(A\cap B)=P(A)\times P(B)\]

Règles de l'arbre pondéré

Somme des branches issues d'un même nœud \(=1\).
Probabilité d'un chemin \(=\) produit des probabilités des branches.
Probabilité d'un évènement \(B\) \(=\) somme des probabilités des chemins menant à \(B\).

Méthode — Probabilités totales sur un arbre

Méthode

Choisir la partition \(A\) / \(\bar A\) (première ramification).
Repérer tous les chemins menant à \(B\).
Calculer la probabilité de chaque chemin (produit des branches).
Additionner : \(P(B)=P(A)\,P_A(B)+P(\bar A)\,P_{\bar A}(B)\).

Méthode — Tester l'indépendance

Calculer \(P(A)\), \(P(B)\) et \(P(A\cap B)\).
Comparer \(P(A\cap B)\) et \(P(A)\times P(B)\).
Égaux ⇒ indépendants ; différents ⇒ non indépendants.

Erreurs fréquentes

Attention

❌ Confondre \(P_A(B)\), \(P_B(A)\) et \(P(A\cap B)\).

✅ Le « sachant » sert de dénominateur : c'est lui qui fixe la ligne/colonne.

❌ Additionner les probabilités sur une même branche.

✅ Sur un chemin, on multiplie.

❌ Oublier un chemin dans les probabilités totales.

✅ Additionner tous les chemins menant à \(B\).

❌ Confondre incompatibles et indépendants.

✅ Incompatibles : \(P(A\cap B)=0\). Indépendants : \(P(A\cap B)=P(A)\times P(B)\).

Exemple rapide

Exemple — une usine à deux machines

\(M_1\) fait \(70\,\%\) des pièces (\(2\,\%\) défectueuses), \(M_2\) fait \(30\,\%\) (\(5\,\%\) défectueuses).

Chemin \(M_1\to D\) : \(0{,}70\times 0{,}02=0{,}014\).
Chemin \(M_2\to D\) : \(0{,}30\times 0{,}05=0{,}015\).
Probabilités totales : \(P(D)=0{,}014+0{,}015=0{,}029\), soit \(2{,}9\,\%\).