Chapitre 3 | Première technologique (enseignement commun) | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 09:40
On ne donne pas la définition formelle de la limite : l'approche est intuitive (« ce vers quoi tend » le taux de variation). La dérivation est limitée aux fonctions polynômes de degré \(\leqslant 3\). Dérivées exigibles : \(x\mapsto x^2\), \(x\mapsto x^3\), somme, \(k\!\cdot\! f\), polynôme de degré \(\leqslant 3\).
Un mobile se déplace ; sa position (en m) au temps \(t\) (en s) est \(f(t)\). Entre deux instants \(t_A\) et \(t_B\), la vitesse moyenne est le taux de variation \(\dfrac{f(t_B)-f(t_A)}{t_B-t_A}\).
Comment définir la vitesse instantanée à un instant précis ? Idée : faire tendre \(B\) vers \(A\). On considère les sécantes passant par un point fixe \(A\) et un point mobile \(B\). Quand \(B\) se rapproche de \(A\), ces sécantes se rapprochent d'une droite limite : la tangente en \(A\).
Quand le point \(B\) se rapproche de \(A\), les sécantes \((AB)\) (gris) tendent vers une position limite : la tangente en \(A\) (rouge).
La tangente à une courbe en un point \(A\) est la position limite des sécantes \((AB)\) lorsque le point \(B\) se rapproche indéfiniment de \(A\).
Le nombre dérivé de \(f\) en \(a\), noté \(f'(a)\), est la limite du taux de variation entre \(a\) et \(a+h\) lorsque \(h\) tend vers \(0\) :
\[f'(a) = \lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}.\](La notion de limite est ici intuitive : « ce vers quoi tend » le taux de variation.)
Le nombre dérivé \(f'(a)\) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(a\).
Taux de variation entre \(1\) et \(1+h\) :
\[\frac{(1+h)^2-1^2}{h}=\frac{1+2h+h^2-1}{h}=\frac{2h+h^2}{h}=2+h.\]Quand \(h\to0\), cela tend vers \(2\). Donc \(f'(1)=2\) : la tangente à la parabole en \((1\,;1)\) a pour coefficient directeur \(2\).
La tangente (rouge) à la parabole \(y=x^2\) au point \(A(1\,;1)\) a pour coefficient directeur \(f'(1)=2\). Le nombre dérivé se « lit » comme la pente de cette droite.
\(\dfrac{(3+h)^2-9}{h}=\dfrac{9+6h+h^2-9}{h}=\dfrac{6h+h^2}{h}=6+h\). Quand \(h\to0\), on obtient \(f'(3)=6\).
Le nombre dérivé s'interprète dans des contextes variés. En cinématique, c'est la vitesse instantanée (limite de la vitesse moyenne). En économie, si \(C(q)\) désigne le coût de production (en €) de \(q\) objets, le nombre dérivé \(C'(q)\) est le coût marginal : il représente approximativement le coût de production d'une unité supplémentaire à partir de \(q\) unités.
Exemple. Pour \(C(q)=0{,}01q^2+2q+500\), on a \(C'(q)=0{,}02q+2\). Ainsi \(C'(100)=0{,}02\times 100+2=4\) : lorsque l'atelier produit \(100\) objets, fabriquer le \(101^{\text{e}}\) coûte environ \(4\) €. Vérification : \(C(101)-C(100)=4{,}01\) €, valeur très proche du coût marginal.
L'équation réduite de la tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(a\) est :
\[y = f'(a)\,(x - a) + f(a).\]Cette droite passe par le point \(\big(a\,;f(a)\big)\) et a pour coefficient directeur \(f'(a)\).
Pour \(f(x)=x^2\), tangente en \(a=1\) : \(f(1)=1\), \(f'(1)=2\), d'où
\[y=2(x-1)+1=2x-1.\]Placer le point \(A\big(a\,;f(a)\big)\), puis utiliser le coefficient directeur \(f'(a)\) (« \(+1\) en \(x\), \(+f'(a)\) en \(y\) ») pour tracer la droite.
\(y=f'(2)(x-2)+f(2)=-3(x-2)+5=-3x+6+5=-3x+11\).
Lorsque le nombre dérivé existe en tout point d'un intervalle, on définit une nouvelle fonction.
La fonction dérivée de \(f\), notée \(f'\), est la fonction qui à chaque \(x\) associe le nombre dérivé \(f'(x)\).
| Fonction \(f(x)\) | Dérivée \(f'(x)\) |
|---|---|
| \(k\) (constante) | \(0\) |
| \(x\) | \(1\) |
| \(x^2\) | \(2x\) |
| \(x^3\) | \(3x^2\) |
\(f'(x)=3x^2\) ; \(g'(x)=2x\) ; \(h'(x)=1\).
Pour des fonctions \(u\) et \(v\) dérivables et un réel \(k\) :
Ces deux règles suffisent pour dériver tout polynôme de degré \(\leqslant 3\).
Si \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\), alors :
\[f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c.\]Démonstration. On dérive terme à terme : la dérivée de \(ax^3\) est \(a\times 3x^2\), celle de \(bx^2\) est \(b\times2x\), celle de \(cx\) est \(c\times1=c\), celle de la constante \(d\) est \(0\). En sommant : \(f'(x)=3ax^2+2bx+c\). \(\quad\blacksquare\)
\(f'(x)=2\times 3x^2-3\times 2x+7=6x^2-6x+7\).
C'est le résultat central pour étudier les variations.
Soit \(f\) dérivable sur un intervalle \(I\).
Interprétation. Là où la tangente monte (coefficient directeur \(f'(x)\gt 0\)), la fonction croît ; là où elle descend (\(f'(x)\lt 0\)), la fonction décroît.
En un point où \(f\) passe de croissante à décroissante, elle présente un maximum local ; de décroissante à croissante, un minimum local. En un tel point, la dérivée s'annule en changeant de signe, et la tangente est horizontale.
\(f'(x_0)=0\) ne suffit pas pour un extrémum : il faut que \(f'\) change de signe en \(x_0\).
En termes logiques : si \(f\) admet un extrémum en \(x_0\) (à l'intérieur de l'intervalle), alors \(f'(x_0)=0\). L'annulation de la dérivée est donc une condition nécessaire — mais non suffisante : la réciproque « si \(f'(x_0)=0\), alors \(f\) admet un extrémum en \(x_0\) » est fausse. Contre-exemple : \(f(x)=x^3\) vérifie \(f'(0)=3\times 0^2=0\), mais \(f\) est croissante sur \(\mathbb{R}\) et n'a aucun extrémum en \(0\) (la dérivée s'annule sans changer de signe).
Exemple résolu. \(f(x)=x^3-3x^2+2\) sur \(\mathbb{R}\).
Courbe de \(f(x)=x^3-3x^2+2\). La dérivée s'annule en changeant de signe en \(x=0\) (maximum) et \(x=2\) (minimum) : en ces points la tangente est horizontale (vert). Entre les deux, \(f'\lt 0\) et la courbe descend.
\(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\). \(f'\) s'annule en \(x=-1\) et \(x=1\) en changeant de signe : extrémums en \(x=-1\) (maximum) et \(x=1\) (minimum).
Une boîte sans couvercle est fabriquée dans un carré de côté \(12\) cm en découpant des carrés de côté \(x\) aux coins. Le volume est \(V(x)=x(12-2x)^2\) pour \(x\in\;]0\,;6[\). Après développement, \(V(x)=4x^3-48x^2+144x\).
\(v(t)=3t^2-12t+9=3(t-1)(t-3)\). \(v(t)=0\) pour \(t=1\) s et \(t=3\) s : à ces instants le mobile s'arrête et change de sens.
❌ Confondre \(f(a)\) et \(f'(a)\).
✅ \(f(a)\) est l'ordonnée du point ; \(f'(a)\) est la pente de la tangente.
❌ Dériver \(cx\) en donnant \(0\).
✅ La dérivée de \(cx\) est \(c\) (constante), pas \(0\).
❌ Oublier de multiplier par l'exposant.
✅ La dérivée de \(x^3\) est \(3x^2\), pas \(x^2\).
❌ Croire que \(f'(x_0)=0\) suffit pour un extrémum.
✅ Il faut un changement de signe de \(f'\) en \(x_0\).
❌ Se tromper de signe dans le tableau de signes de \(f'\).
✅ Attention au signe du coefficient dominant du trinôme.