Dérivation | Première technologique (enseignement commun) | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Dériver les fonctions suivantes.
a) \(f(x)=x^2+5x-3\) b) \(g(x)=x^3-4x\) c) \(h(x)=2x^3-3x^2+7\) d) \(k(x)=-x^2+6x\)
a) \(f'(x)=2x+5\).
b) \(g'(x)=3x^2-4\).
c) \(h'(x)=6x^2-6x\).
d) \(k'(x)=-2x+6\).
Soit \(f(x)=x^2\).
1. Développer le taux de variation \(\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}\).
2. En déduire \(f'(2)\) en faisant tendre \(h\) vers \(0\).
1. \(\dfrac{(2+h)^2-4}{h}=\dfrac{4+4h+h^2-4}{h}=\dfrac{4h+h^2}{h}=4+h\).
2. Quand \(h\to0\), le taux tend vers \(4\), donc \(f'(2)=4\).
Soit \(f(x)=x^2-4x+1\).
1. Calculer \(f(3)\) et \(f'(3)\).
2. Donner l'équation réduite de la tangente à la courbe au point d'abscisse \(3\).
1. \(f(3)=9-12+1=-2\) ; \(f'(x)=2x-4\), donc \(f'(3)=2\).
2. \(y=f'(3)(x-3)+f(3)=2(x-3)+(-2)=2x-8\).
La courbe de \(f\) passe par \(A(1\,;4)\) et la tangente en \(A\) a pour coefficient directeur \(-2\).
1. Que valent \(f(1)\) et \(f'(1)\) ?
2. Donner l'équation de cette tangente.
1. \(f(1)=4\) (ordonnée du point) et \(f'(1)=-2\) (coefficient directeur de la tangente).
2. \(y=-2(x-1)+4=-2x+6\).
Soit \(f(x)=x^3-3x+1\).
1. Calculer \(f'(x)\).
2. Étudier le signe de \(f'(x)\) (on remarquera que \(f'(x)=3(x-1)(x+1)\)).
3. Dresser le tableau de variation et donner les extrémums.
1. \(f'(x)=3x^2-3\).
2. \(f'(x)=3(x-1)(x+1)\) : positif sur \(]-\infty\,;-1[\) et \(]1\,;+\infty[\), négatif sur \(]-1\,;1[\).
3. \(f\) est croissante, puis décroissante, puis croissante. Maximum \(f(-1)=-1+3+1=3\) ; minimum \(f(1)=1-3+1=-1\).
La position d'un mobile est \(x(t)=t^3-6t^2+9t\) (m) pour \(t\geqslant0\) (s). La vitesse est \(v(t)=x'(t)\).
1. Calculer \(v(t)\).
2. À quels instants la vitesse est-elle nulle ?
3. Interpréter le résultat.
1. \(v(t)=3t^2-12t+9=3(t-1)(t-3)\).
2. \(v(t)=0\) pour \(t=1\) s et \(t=3\) s.
3. Aux instants \(t=1\) et \(t=3\), le mobile s'arrête et change de sens de déplacement (la position présente un extrémum).
On donne le programme suivant, qui approche le nombre dérivé de \(f(x)=x^3-3x\) par le taux de variation avec un petit \(h\) :
def f(x):
return x**3 - 3*x
def nombre_derive(a, h=1e-6):
return (f(a + h) - f(a)) / h
print(round(nombre_derive(2), 4))1. Calculer à la main \(f'(x)\), puis \(f'(2)\).
2. Quelle valeur approchée le programme affiche-t-il ?
1. \(f'(x)=3x^2-3\), donc \(f'(2)=12-3=9\).
2. Le taux de variation avec \(h\) très petit est proche de \(f'(2)\) : le programme affiche environ \(9{,}0\).
Le bénéfice (en milliers d'€) d'une entreprise pour \(x\) centaines d'articles vendus est \(B(x)=-x^3+12x^2-36x\) pour \(x\in[0\,;8]\) (modèle simplifié admis).
1. Calculer \(B'(x)\) et le factoriser sachant que \(B'(x)=-3(x-2)(x-6)\).
2. Étudier le signe de \(B'(x)\) sur \([0\,;8]\).
3. En déduire la production qui maximise le bénéfice sur cet intervalle.
1. \(B'(x)=-3x^2+24x-36=-3(x-2)(x-6)\).
2. Le coefficient dominant est \(-3\lt 0\) : \(B'(x)\lt 0\) sur \([0\,;2[\), \(B'(x)\gt 0\) sur \(]2\,;6[\), \(B'(x)\lt 0\) sur \(]6\,;8]\).
3. \(B\) décroît, puis croît jusqu'à \(x=6\), puis décroît : le maximum local pertinent est atteint en \(x=6\) (production de \(600\) articles). L'essentiel de la méthode est l'étude du signe de \(B'\).