Fiche – Dérivation

Chapitre 3 | Première technologique (enseignement commun) | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

L'essentiel :

Le nombre dérivé \(f'(a)\) est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse \(a\).
Tangente en \(a\) : \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\).
Dérivées de référence : \((x^2)'=2x\), \((x^3)'=3x^2\), constante \(\to 0\).
Règles : \((u+v)'=u'+v'\) ; \((k\,u)'=k\,u'\).
Signe de \(f'\) ⇒ variations ; extrémum là où \(f'\) change de signe (tangente horizontale).

Définitions clés

Définition

Nombre dérivé : \(f'(a)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\), limite (intuitive) du taux de variation entre \(a\) et \(a+h\).

Définition

Tangente : position limite des sécantes \((AB)\) quand \(B\) se rapproche de \(A\). Son coefficient directeur est \(f'(a)\).

Définition

Fonction dérivée : fonction \(f'\) qui, à chaque \(x\), associe le nombre dérivé \(f'(x)\).

Dérivées de référence \[(k)'=0 \qquad (x)'=1 \qquad (x^2)'=2x \qquad (x^3)'=3x^2\]

Dérivée d'un polynôme de degré \(\leqslant 3\) \[f(x)=ax^3+bx^2+cx+d \;\Rightarrow\; f'(x)=3ax^2+2bx+c\]

Équation de la tangente en \(a\) \[y = f'(a)\,(x-a) + f(a)\]

Signe de \(f'\) et variations

\(f'(x)\gt 0\) sur \(I\) ⇒ \(f\) croissante sur \(I\).
\(f'(x)\lt 0\) sur \(I\) ⇒ \(f\) décroissante sur \(I\).
\(f'(x)=0\) sur \(I\) ⇒ \(f\) constante sur \(I\).
Extrémum : là où \(f'\) s'annule en changeant de signe (tangente horizontale).

Méthode

Méthode — Étudier les variations

Attention

❌ Confondre \(f(a)\) et \(f'(a)\).

✅ \(f(a)\) est l'ordonnée ; \(f'(a)\) est la pente de la tangente.

❌ Dériver \(cx\) en \(0\).

✅ La dérivée de \(cx\) est \(c\), pas \(0\).

❌ Oublier de multiplier par l'exposant.

✅ La dérivée de \(x^3\) est \(3x^2\), pas \(x^2\).

❌ Croire que \(f'(x_0)=0\) suffit pour un extrémum.

✅ Il faut un changement de signe de \(f'\).

Exemple — variations de \(f(x)=x^3-3x^2+2\)