Chapitre 2 | Première technologique (enseignement commun) | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 09:39
Le calcul des racines à l'aide du discriminant \(\Delta\) ne figure pas au programme. La recherche systématique des racines n'est pas exigée : on privilégie les cas où les racines sont évidentes, la forme factorisée et les interprétations graphiques.
On étudie la hauteur \(y\) (en m) d'un ballon lancé, en fonction du temps \(x\) (en s). Entre deux instants, on veut connaître la « vitesse moyenne » : c'est le rôle du taux de variation.
Soit une fonction \(f\) et deux valeurs distinctes \(x_A\) et \(x_B\). Le taux de variation de \(f\) entre \(x_A\) et \(x_B\) est :
\[\tau = \frac{f(x_B) - f(x_A)}{x_B - x_A}.\]Le taux de variation est le coefficient directeur (pente) de la sécante à la courbe passant par les points \(A\big(x_A\,;f(x_A)\big)\) et \(B\big(x_B\,;f(x_B)\big)\).
Sur un intervalle : si tous les taux de variation sont positifs, \(f\) est croissante ; s'ils sont négatifs, \(f\) est décroissante.
Pour \(f(x)=x^2\) entre \(x_A=1\) et \(x_B=3\) : \(\tau=\dfrac{9-1}{3-1}=\dfrac{8}{2}=4\).
La courbe représentative d'une fonction \(x \mapsto a x^2\) (avec \(a\neq 0\)) est une parabole de sommet l'origine \(O\), d'axe de symétrie l'axe des ordonnées.
Allure de \(x\mapsto ax^2\) selon le signe de \(a\) : sommet à l'origine, minimum si \(a\gt 0\) (indigo), maximum si \(a\lt 0\) (rouge).
La courbe de \(x\mapsto ax^2+c\) se déduit de celle de \(x\mapsto ax^2\) par une translation verticale de \(c\) : le sommet est le point \((0\,;c)\), l'axe de symétrie reste l'axe des ordonnées.
\(x\mapsto x^2 - 4\) : parabole tournée vers le haut, sommet \((0\,;-4)\).
a) Haut (car \(a=3\gt 0\)), sommet \((0\,;0)\), parabole resserrée. b) Bas (car \(a=-1\lt 0\)), sommet \((0\,;2)\). c) Haut, sommet \((0\,;-3)\), parabole évasée (\(|a|=0{,}5\) petit).
La courbe de toute fonction \(x\mapsto ax^2+bx+c\) (avec \(a\neq0\)) est une parabole :
Le terme constant \(c\) correspond à l'image \(f(0)=c\). Par symétrie de la parabole, il existe une autre valeur de \(x\) qui a la même image \(c\). On la trouve en résolvant \(f(x)=c\) :
\[ax^2+bx+c = c \iff ax^2+bx = 0 \iff x(ax+b)=0 \iff x=0 \ \text{ ou } \ x = -\frac{b}{a}.\]L'axe de symétrie passe au milieu de ces deux valeurs. On obtient ainsi l'abscisse du sommet ; on calcule son ordonnée en remplaçant.
On résout \(f(x)=5\) : \(x^2-6x=0\), soit \(x=0\) ou \(x=6\). L'axe de symétrie est \(x=\dfrac{0+6}{2}=3\). Sommet : \(f(3)=9-18+5=-4\), donc \(S(3\,;-4)\). Comme \(a=1\gt 0\), \(S\) est un minimum.
Parabole de \(f(x)=x^2-6x+5\). En rouge l'axe de symétrie \(x=3\) et le sommet \(S(3\,;-4)\). Les deux points verts \((0\,;5)\) et \((6\,;5)\) ont la même image \(c=5\) : leur milieu donne l'axe. Les points noirs \(x=1\) et \(x=5\) sont les racines.
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\alpha\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f\) | \(\searrow\) | \(f(\alpha)\) | \(\nearrow\) |
a) \(f(x)=3 \iff x^2-4x=0 \iff x=0\) ou \(x=4\) ; axe \(x=\dfrac{0+4}{2}=2\). b) \(f(2)=4-8+3=-1\), \(S(2\,;-1)\) ; comme \(a=1\gt 0\), c'est un minimum.
Une racine d'un polynôme \(f\) est une valeur \(x_0\) telle que \(f(x_0)=0\). Graphiquement, ce sont les abscisses des points d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses.
Si un polynôme de degré 2 s'écrit sous forme factorisée
\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2),\]alors ses racines sont \(x_1\) et \(x_2\) (car un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul).
On dresse un tableau de signes en étudiant chaque facteur du premier degré, puis on applique la règle des signes du produit.
| \(x\) | \(-\infty\) | \(1\) | \(4\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(x-1\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(+\) | |||
| \(x-4\) | \(-\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | |||
| \(f(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
Ainsi \(f(x)\gt 0\) sur \(]-\infty\,;1[\cup]4\,;+\infty[\) et \(f(x)\lt 0\) sur \(]1\,;4[\).
Un polynôme de degré 2 est du signe de \(a\) à l'extérieur de ses racines, et du signe opposé entre les racines (« signe de \(a\) sauf entre les racines »).
Signe de \(f(x)=2(x-1)(x-4)\) (avec \(a=2\gt 0\)) : \(f(x)\gt 0\) à l'extérieur des racines \(1\) et \(4\), \(f(x)\lt 0\) entre les racines. C'est la traduction graphique de « signe de \(a\) sauf entre les racines ».
a) Racines \(1\) et \(5\). b) \(a=1\gt 0\) : \(f\) est négative entre les racines, donc \(f(x)\lt 0\) sur \(]1\,;5[\).
Ici \(a=-1\lt 0\), racines \(-2\) et \(3\). Le trinôme est du signe de \(a\) (négatif) à l'extérieur, positif entre les racines. Solution : \([-2\,;3]\).
Pour vérifier qu'une valeur \(x_0\) est racine de \(f\), il suffit de calculer \(f(x_0)\) et de vérifier que le résultat est \(0\).
Si \(x_1\) est une racine « évidente » (souvent \(0\), \(1\), \(-1\), \(2\)…), on factorise par mise en évidence, par identité remarquable, ou par identification.
a) \(f(2)=4-16+12=0\) ✓. b) \(f(x)=(x-2)(x-x_2)\) ; par identification \(2x_2=12\) donc \(x_2=6\) : \(f(x)=(x-2)(x-6)\). Les racines sont \(2\) et \(6\).
Pour résoudre \(f(x)=k\) graphiquement, on trace la droite horizontale \(y=k\) et on lit les abscisses des points d'intersection avec la parabole. Pour \(f(x)\lt k\), on repère les \(x\) pour lesquels la courbe est en dessous de cette droite (au-dessus pour \(f(x)\gt k\)).
En cas de besoin, la résolution d'une équation du second degré peut se faire à l'aide d'un solveur (calculatrice, logiciel). On peut aussi obtenir une valeur approchée d'une solution par balayage en Python : on avance pas à pas jusqu'à traverser la valeur cherchée — voir la méthode 3 « Valeur approchée par balayage » du chapitre 7.
Un enclos rectangulaire de périmètre \(40\) m : quelles dimensions donnent l'aire maximale ?
a) \(-5t^2+20t=0 \iff -5t(t-4)=0 \iff t=0\) ou \(t=4\) s. b) Axe de symétrie \(t=\dfrac{0+4}{2}=2\) s ; \(h(2)=-20+40=20\) m. Hauteur max \(20\) m atteinte à \(t=2\) s.
❌ Vouloir utiliser le discriminant \(\Delta\).
✅ Hors programme : on travaille avec la forme factorisée et les racines évidentes.
❌ Oublier le signe de \(a\) pour l'ouverture et la nature du sommet.
✅ \(a\gt 0\) ⇒ vers le haut, sommet minimum ; \(a\lt 0\) ⇒ vers le bas, sommet maximum.
❌ Confondre racines et sommet.
✅ Les racines sont sur l'axe des abscisses ; le sommet est sur l'axe de symétrie.
❌ Erreur de signe dans \(a(x-x_1)(x-x_2)\).
✅ \((x-3)\) a pour racine \(+3\), pas \(-3\).
❌ Croire qu'un trinôme a toujours deux racines.
✅ Certains n'en ont pas (parabole ne coupant pas l'axe des \(x\)) : on le voit graphiquement.