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Fiche – Fonctions du second degré
Chapitre 2 | Première technologique (enseignement commun) | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
L'essentiel :
- La courbe de \(x\mapsto ax^2+bx+c\) (\(a\neq 0\)) est une parabole : vers le haut si \(a\gt 0\), vers le bas si \(a\lt 0\).
- Axe de symétrie et sommet : on les trouve en résolvant \(f(x)=c\) (aucune formule à connaître).
- Forme factorisée \(a(x-x_1)(x-x_2)\) : les racines sont \(x_1\) et \(x_2\).
- Signe du trinôme : du signe de \(a\) sauf entre les racines.
- Le discriminant \(\Delta\) n'est pas au programme : on utilise racines évidentes et forme factorisée.
Définitions clés
Définition
Parabole : courbe de \(x\mapsto ax^2\) (\(a\neq 0\)), de sommet l'origine et d'axe de symétrie l'axe des ordonnées. Ajouter \(c\) la translate verticalement (sommet \((0\,;c)\)).
Définition
Racine : valeur \(x_0\) telle que \(f(x_0)=0\). Ce sont les abscisses des points où la parabole coupe l'axe des abscisses.
Définition
Sommet : point de la parabole situé sur l'axe de symétrie ; c'est un minimum si \(a\gt 0\), un maximum si \(a\lt 0\).
Définition
Taux de variation : entre \(x_A\) et \(x_B\), \(\tau=\dfrac{f(x_B)-f(x_A)}{x_B-x_A}\) ; c'est la pente de la sécante.
À connaître par cœur
Forme factorisée et racines
\[f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\quad\Rightarrow\quad \text{racines } x_1 \text{ et } x_2\]
Axe de symétrie (sans formule imposée)
\[f(x)=c \iff x(ax+b)=0 \iff x=0 \text{ ou } x=-\tfrac{b}{a}\]
\[\text{axe : milieu des deux solutions}\]
Signe du trinôme
- Un trinôme \(a(x-x_1)(x-x_2)\) est du signe de \(a\) à l'extérieur des racines.
- Il est du signe opposé (à \(a\)) entre les racines.
- En résumé : « signe de \(a\) sauf entre les racines ».
Méthode — Étudier une fonction \(x\mapsto ax^2+bx+c\)
Méthode
- Déterminer le signe de \(a\) → sens de l'ouverture (haut si \(a\gt 0\)).
- Trouver l'axe de symétrie : résoudre \(f(x)=c\), prendre le milieu des deux solutions.
- Calculer l'ordonnée du sommet en remplaçant.
- Dresser le tableau de variation.
Méthode — Étudier le signe d'un trinôme factorisé
- Identifier \(a\), \(x_1\), \(x_2\) dans \(a(x-x_1)(x-x_2)\) (ordonner \(x_1\lt x_2\)).
- Dresser le tableau de signes des deux facteurs.
- Multiplier les signes, puis conclure.
Erreurs fréquentes
Attention
❌ Vouloir utiliser le discriminant \(\Delta\).
✅ Hors programme : forme factorisée et racines évidentes.
❌ Oublier le signe de \(a\) pour l'ouverture et le sommet.
✅ \(a\gt 0\) ⇒ vers le haut (minimum) ; \(a\lt 0\) ⇒ vers le bas (maximum).
❌ Confondre racines et sommet.
✅ Racines sur l'axe des abscisses ; sommet sur l'axe de symétrie.
❌ Erreur de signe dans \(a(x-x_1)(x-x_2)\).
✅ \((x-3)\) a pour racine \(+3\), pas \(-3\).
Exemple rapide
Exemple — \(f(x)=x^2-6x+5\)
- \(a=1\gt 0\) : parabole vers le haut, sommet = minimum.
- Axe : \(f(x)=5 \iff x^2-6x=0 \iff x=0\) ou \(x=6\), milieu \(x=3\).
- Sommet : \(f(3)=9-18+5=-4\), donc \(S(3\,;-4)\).
- Racines : \(f(x)=(x-1)(x-5)\), racines \(1\) et \(5\) ; \(f(x)\lt 0\) sur \(]1\,;5[\).