Fonctions du second degré | Première technologique (enseignement commun) | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Pour chacune des fonctions, préciser sans calcul : l'ouverture (haut/bas) et le sommet.
1. \(x\mapsto 2x^2\).
2. \(x\mapsto -3x^2+1\).
3. \(x\mapsto x^2-5\).
1. \(a=2\gt 0\) : ouverture vers le haut, sommet \((0\,;0)\).
2. \(a=-3\lt 0\) : ouverture vers le bas, sommet \((0\,;1)\).
3. \(a=1\gt 0\) : ouverture vers le haut, sommet \((0\,;-5)\).
Soit \(f(x)=(x-1)(x-5)\).
1. Donner les racines de \(f\).
2. Dresser le tableau de signes de \(f(x)\).
3. Résoudre \(f(x)\lt 0\).
1. Racines \(1\) et \(5\).
2. \(a=1\gt 0\) : \(f(x)\gt 0\) à l'extérieur des racines, \(f(x)\lt 0\) entre les racines.
3. \(f(x)\lt 0\) sur \(]1\,;5[\).
Soit \(f(x)=x^2-8x+12\).
1. Vérifier que \(2\) est une racine.
2. En déduire la factorisation de \(f\).
3. Donner l'autre racine et le tableau de signes.
1. \(f(2)=4-16+12=0\) ✓.
2. \(f(x)=(x-2)(x-x_2)\) ; par identification \(2x_2=12\) donc \(x_2=6\) : \(f(x)=(x-2)(x-6)\).
3. Racines \(2\) et \(6\) ; \(a=1\gt 0\) : \(f(x)\gt 0\) sur \(]-\infty\,;2[\cup]6\,;+\infty[\), \(f(x)\lt 0\) sur \(]2\,;6[\).
Soit \(f(x)=x^2-4x+3\).
1. Déterminer l'axe de symétrie (résoudre \(f(x)=3\)).
2. Donner les coordonnées du sommet et préciser s'il s'agit d'un minimum ou d'un maximum.
3. Dresser le tableau de variation.
1. \(f(x)=3 \iff x^2-4x=0 \iff x=0\) ou \(x=4\) ; axe \(x=\dfrac{0+4}{2}=2\).
2. \(f(2)=4-8+3=-1\), \(S(2\,;-1)\) ; \(a\gt 0\) ⇒ minimum.
3. \(f\) est décroissante sur \(]-\infty\,;2]\), croissante sur \([2\,;+\infty[\), minimum \(-1\) atteint en \(x=2\).
On considère l'expression \(g(x)=-(x+2)(x-3)\).
1. Donner les racines et le signe de \(a\).
2. Résoudre \(g(x)\geqslant 0\).
1. Racines \(-2\) et \(3\) ; \(a=-1\lt 0\).
2. Le trinôme est du signe de \(a\) (négatif) à l'extérieur des racines et positif entre elles : \(g(x)\geqslant 0\) sur \([-2\,;3]\).
Un objet est lancé ; sa hauteur (en m) est \(h(t)=-5t^2+20t\) où \(t\) est le temps (en s).
1. À quels instants l'objet est-il au sol (\(h(t)=0\)) ?
2. Déterminer l'instant où la hauteur est maximale et cette hauteur.
1. \(-5t^2+20t=0 \iff -5t(t-4)=0 \iff t=0\) ou \(t=4\) s.
2. Axe de symétrie \(t=\dfrac{0+4}{2}=2\) s ; \(h(2)=-20+40=20\) m. Hauteur max \(20\) m atteinte à \(t=2\) s.
La parabole \(\mathcal{C}\) représente \(f(x)=x^2-6x+5\). On donne son sommet \(S(3\,;-4)\) et ses racines \(1\) et \(5\).
1. Résoudre graphiquement \(f(x)=0\).
2. Résoudre \(f(x)\lt 0\) (courbe en dessous de l'axe des abscisses).
3. Quel est le minimum de \(f\) ? En quelle valeur est-il atteint ?
1. Les points d'intersection avec l'axe des abscisses ont pour abscisses \(1\) et \(5\) : solutions \(x=1\) et \(x=5\).
2. La courbe est en dessous de l'axe entre les racines : \(f(x)\lt 0\) sur \(]1\,;5[\).
3. Le sommet est un minimum : \(f\) atteint \(-4\) en \(x=3\).
On dispose de \(60\) m de grillage pour clôturer un jardin rectangulaire adossé à un mur (trois côtés grillagés). On note \(x\) la largeur.
1. Exprimer la longueur en fonction de \(x\), puis l'aire \(A(x)\).
2. Justifier que l'aire admet un maximum.
3. Déterminer les dimensions donnant l'aire maximale et cette aire.
1. Longueur \(=60-2x\) ; \(A(x)=x(60-2x)=-2x^2+60x\).
2. \(a=-2\lt 0\) : la parabole est tournée vers le bas, le sommet est un maximum.
3. \(A(x)=0 \iff x=0\) ou \(x=30\) ; axe \(x=15\). \(A(15)=15\times30=450\) m². Largeur \(15\) m, longueur \(30\) m, aire max \(450\) m².