Chapitre 10 – Probabilités conditionnelles et indépendance

Chapitre 10 | Première générale (spécialité) | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Objectifs du chapitre

Calculer une probabilité conditionnelle \(P_A(B)\) et l'utiliser pour trouver \(P(A\cap B)\)
Représenter une situation par un arbre pondéré ou un tableau croisé, et lire les probabilités des chemins
Reconnaître une partition de l'univers et appliquer la formule des probabilités totales
Savoir justifier ou utiliser l'indépendance de deux événements
Représenter la répétition de \(n\) épreuves de Bernoulli (pour \(n \le 4\)) par un arbre afin de calculer des probabilités

On développe le modèle probabiliste vu en seconde (univers fini) en formalisant l'indépendance de deux événements, la partition de l'univers, la formule des probabilités totales et la répétition d'épreuves de Bernoulli. Les symboles \(\forall\) et \(\exists\) ne sont pas exigibles.

I. Probabilité conditionnelle

Définition — Probabilité conditionnelle

Soit \(A\) et \(B\) deux événements avec \(P(A) \ne 0\). La probabilité conditionnelle de \(B\) sachant \(A\) est :

\[P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}.\]

C'est la probabilité que \(B\) se réalise lorsqu'on sait que \(A\) est réalisé.

Propriété — Probabilité d'une intersection

En multipliant par \(P(A)\), on obtient la formule fondamentale :

\[P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B) = P(B) \times P_B(A).\]

Cette formule structure la lecture des arbres pondérés : la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités rencontrées.

Attention — Trois écritures à distinguer

Ne pas confondre :

\(P(A \cap B)\) : les deux événements se réalisent ;
\(P_A(B)\) : probabilité de \(B\) sachant \(A\) ;
\(P_B(A)\) : probabilité de \(A\) sachant \(B\).

En général \(P_A(B) \ne P_B(A)\).

Exemple — Lecture d'un tableau croisé

Dans une classe de \(30\) élèves, \(18\) font de l'anglais (\(A\)) et parmi eux \(12\) font aussi de l'espagnol (\(B\)). On tire un élève au hasard.

	\(B\) (espagnol)	\(\overline{B}\)	Total
\(A\) (anglais)	12	6	18
\(\overline{A}\)	4	8	12
Total	16	14	30

\(P(A) = \tfrac{18}{30}\), \(P(A\cap B) = \tfrac{12}{30}\), donc \(P_A(B) = \dfrac{12/30}{18/30} = \dfrac{12}{18} = \dfrac{2}{3}\).

Exercice d'application 1. Avec le tableau ci-dessus, calculer \(P_B(A)\) (probabilité de faire de l'anglais sachant qu'on fait de l'espagnol). Comparer avec \(P_A(B)\).

\(P(B) = \tfrac{16}{30}\) et \(P(A\cap B) = \tfrac{12}{30}\), donc \(P_B(A) = \dfrac{12/30}{16/30} = \dfrac{12}{16} = \dfrac{3}{4}\).

On a \(P_A(B) = \tfrac23 \ne \tfrac34 = P_B(A)\) : les deux conditionnelles sont bien différentes.

II. Indépendance de deux événements

Définition — Indépendance

Deux événements \(A\) et \(B\) sont indépendants lorsque :

\[P(A \cap B) = P(A) \times P(B).\]

Propriété — Interprétation

Si \(P(B) \ne 0\), l'indépendance équivaut à \(P_B(A) = P(A)\) : savoir que \(B\) est réalisé ne change pas la probabilité de \(A\). L'indépendance traduit l'absence d'influence d'un événement sur l'autre.

Propriété — Passage au contraire

Si \(A\) et \(B\) sont indépendants, alors \(A\) et \(\overline{B}\) le sont aussi (de même \(\overline{A}\) et \(B\), ainsi que \(\overline{A}\) et \(\overline{B}\)).

Attention — Modèle et réalité

Une hypothèse d'indépendance fait partie d'un modèle. Pour une situation réelle (deux dés lancés, tirages avec remise…), l'indépendance résulte de l'analyse de la situation, et non d'un simple calcul.

Exemple — Dé équilibré

On lance un dé équilibré. \(A\) = « obtenir un nombre pair » (\(P(A) = \tfrac12\)), \(B\) = « obtenir un multiple de \(3\) » (\(P(B) = \tfrac13\)). Alors \(A\cap B\) = « obtenir \(6\) », de probabilité \(\tfrac16\). Comme \(\tfrac12 \times \tfrac13 = \tfrac16 = P(A\cap B)\), les événements \(A\) et \(B\) sont indépendants.

Attention — Indépendance ≠ incompatibilité

Incompatibles signifie \(A\cap B = \varnothing\) (ils ne peuvent coexister). Indépendants signifie \(P(A\cap B) = P(A)P(B)\). Deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants.

Exercice d'application 2. \(A\) et \(B\) vérifient \(P(A) = 0{,}6\), \(P(B) = 0{,}5\) et \(P(A\cap B) = 0{,}3\). Les événements \(A\) et \(B\) sont-ils indépendants ?

\(P(A)\times P(B) = 0{,}6 \times 0{,}5 = 0{,}3 = P(A\cap B)\). Oui, \(A\) et \(B\) sont indépendants.

III. Partition de l'univers et probabilités totales

Définition — Partition (système complet d'événements)

Les événements \(A_1, A_2, \dots, A_n\) forment une partition de l'univers \(\Omega\) lorsque :

ils sont deux à deux incompatibles (\(A_i \cap A_j = \varnothing\) pour \(i \ne j\)) ;
leur réunion est \(\Omega\) (\(A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n = \Omega\)) ;
chacun est de probabilité non nulle.

Le cas le plus simple : \(\{A,\ \overline{A}\}\) forme une partition de \(\Omega\).

L'univers \(\Omega\) est découpé en parties disjointes \(A_1, A_2, A_3\) qui le recouvrent entièrement. L'événement \(B\) (rouge) se répartit sur ces parties : \(B = (A_1\cap B)\cup(A_2\cap B)\cup(A_3\cap B)\).

Théorème — Formule des probabilités totales

Si \(A_1, \dots, A_n\) forment une partition de \(\Omega\), alors pour tout événement \(B\) :

\[P(B) = P(A_1 \cap B) + P(A_2 \cap B) + \dots + P(A_n \cap B).\]

En utilisant les probabilités conditionnelles :

\[P(B) = P(A_1)\,P_{A_1}(B) + \dots + P(A_n)\,P_{A_n}(B).\]

Sur un arbre pondéré, \(P(B)\) s'obtient en additionnant les probabilités de tous les chemins menant à \(B\).

Cas de la partition \(\{A,\ \overline{A}\}\) (le plus fréquent) : \[P(B) = P(A)\,P_A(B) + P(\overline{A})\,P_{\overline{A}}(B).\]

Exemple — Pièces défectueuses

Une usine a deux machines : \(M_1\) produit \(60\%\) des pièces, \(M_2\) produit \(40\%\). \(M_1\) a un taux de défaut de \(2\%\), \(M_2\) de \(5\%\). Probabilité qu'une pièce prise au hasard soit défectueuse (\(D\)) ?

\[P(D) = P(M_1)P_{M_1}(D) + P(M_2)P_{M_2}(D) = 0{,}6 \times 0{,}02 + 0{,}4 \times 0{,}05 = 0{,}012 + 0{,}020 = 0{,}032.\]

Soit \(3{,}2\%\) de pièces défectueuses.

Cet exemple se lit sur l'arbre pondéré suivant : la probabilité d'un chemin est le produit des branches, et \(P(D)\) est la somme des chemins menant à \(D\).

Arbre pondéré : \(P(M_1 \cap D) = 0{,}6 \times 0{,}02\) et \(P(M_2 \cap D) = 0{,}4 \times 0{,}05\) ; leur somme donne \(P(D) = 0{,}032\).

Méthode — Calculer une probabilité avec un arbre pondéré

Construire l'arbre : le premier niveau est une partition de l'univers.
Pondérer chaque branche par la probabilité (conditionnelle au-delà du 1^er niveau).
Probabilité d'un chemin : multiplier les probabilités le long du chemin.
Probabilité d'un événement : additionner les probabilités des chemins qui le réalisent (probabilités totales).

Règle de contrôle : à chaque nœud, la somme des probabilités des branches issues vaut \(1\).

Exercice d'application 3. Dans une population, \(30\%\) sont vaccinés. Parmi les vaccinés, \(5\%\) tombent malades ; parmi les non-vaccinés, \(20\%\). Quelle est la probabilité qu'une personne au hasard soit malade ?

Partition \(\{V,\ \overline{V}\}\). Formule des probabilités totales :

\(P(M) = P(V)P_V(M) + P(\overline{V})P_{\overline{V}}(M) = 0{,}30 \times 0{,}05 + 0{,}70 \times 0{,}20 = 0{,}015 + 0{,}140 = 0{,}155\), soit \(15{,}5\%\).

IV. Succession de deux épreuves indépendantes

Propriété — Épreuves indépendantes

Lorsqu'on effectue deux épreuves indépendantes l'une après l'autre, la probabilité d'un couple de résultats est le produit des probabilités :

\[P(\text{résultat}_1 \text{ puis } \text{résultat}_2) = P(\text{résultat}_1) \times P(\text{résultat}_2).\]

On représente cette succession par un arbre ou par un tableau à double entrée.

Méthode — Justifier ou utiliser l'indépendance

Justifier : vérifier l'égalité \(P(A \cap B) = P(A)\times P(B)\).
Utiliser (hypothèse donnée) : calculer \(P(A\cap B)\) comme le produit \(P(A)\times P(B)\).

Exemple résolu. Deux tirages successifs avec remise dans une urne : les tirages sont indépendants, donc \(P(\text{deux boules rouges}) = P(\text{rouge}) \times P(\text{rouge})\).

Attention — Avec ou sans remise

« Avec remise » \(\Rightarrow\) tirages indépendants. « Sans remise » \(\Rightarrow\) tirages dépendants (la composition de l'urne change entre les deux tirages).

Exercice d'application 4. On tire successivement sans remise deux boules d'une urne contenant \(3\) rouges et \(2\) noires. Probabilité de tirer deux rouges ?

Tirages dépendants : \(P = P(1^{\text{re}}\text{ rouge}) \times P_{1^{\text{re}} \text{ rouge}}(2^{\text{e}}\text{ rouge}) = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{4} = \dfrac{6}{20} = \dfrac{3}{10}\).

V. Épreuve de Bernoulli et répétition (\(n \le 4\))

Définition — Épreuve de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues : le succès \(S\) (de probabilité \(p\)) et l'échec \(\overline{S}\) (de probabilité \(1 - p\)).

Propriété — Répétition d'épreuves de Bernoulli

On répète \(n\) fois (\(n \le 4\)) une même épreuve de Bernoulli de façon indépendante et identique. On représente l'ensemble par un arbre à \(n\) niveaux : chaque chemin correspond à une suite de succès/échecs, et sa probabilité est le produit des probabilités des branches.

Exemple — Trois lancers d'une pièce truquée

On lance \(3\) fois une pièce truquée où \(P(\text{pile}) = 0{,}6\). Probabilité d'obtenir exactement deux piles ? Les chemins favorables sont PPF, PFP, FPP, chacun de probabilité \(0{,}6 \times 0{,}6 \times 0{,}4 = 0{,}144\). Il y en a \(3\), donc :

\[P(\text{exactement 2 piles}) = 3 \times 0{,}144 = 0{,}432.\]

L'arbre à \(3\) niveaux ci-dessous représente les \(2^3 = 8\) issues. Les trois chemins menant à exactement deux piles (PPF, PFP, FPP) sont mis en évidence en rouge.

Arbre des \(8\) issues de trois lancers. Chaque chemin PPF, PFP, FPP (rouge) a pour probabilité \(0{,}6 \times 0{,}6 \times 0{,}4 = 0{,}144\).

Méthode — Répétition d'épreuves de Bernoulli

Identifier le succès \(S\) et sa probabilité \(p\).
Dessiner l'arbre à \(n\) niveaux (\(n \le 4\)).
Repérer les chemins réalisant l'événement, calculer et additionner leurs probabilités.

Astuce : pour « au moins un succès », passer souvent par l'événement contraire « aucun succès ».

Exercice d'application 5. Une pièce équilibrée est lancée \(3\) fois. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins un pile ?

Événement contraire : « aucun pile » = FFF, de probabilité \(\left(\tfrac12\right)^3 = \tfrac18\).

Donc \(P(\text{au moins un pile}) = 1 - \tfrac18 = \tfrac78\).

Exercice d'application 6. Un archer atteint sa cible avec probabilité \(0{,}8\). Il tire \(2\) fois (tirs indépendants). Probabilité de toucher exactement une fois ?

Chemins favorables : « touché puis échec » (TÉ) et « échec puis touché » (ÉT), chacun de probabilité \(0{,}8 \times 0{,}2 = 0{,}16\).

Total : \(2 \times 0{,}16 = 0{,}32\).

Algorithmique et Python

La méthode de Monte-Carlo estime une probabilité (ou une aire) par simulation aléatoire. Exemple : estimation de \(\pi\) en tirant des points au hasard dans le carré \([0\,;1]^2\) et en comptant ceux qui tombent sous le quart de cercle de rayon \(1\) (aire \(\tfrac{\pi}{4}\)).

from random import random

def estim_pi(N):
    """Estimation de pi par Monte-Carlo avec N tirages."""
    dans_disque = 0
    for _ in range(N):
        x = random()
        y = random()
        if x*x + y*y <= 1:      # point sous le quart de cercle
            dans_disque += 1
    return 4 * dans_disque / N

print(estim_pi(1_000_000))      # ~ 3.14...

De même, on peut estimer l'aire sous la parabole \(y = x^2\) sur \([0\,;1]\) en comptant la proportion de points \((x\,;y)\) vérifiant \(y \le x^2\) (aire théorique \(\tfrac13\)).

Erreurs fréquentes / points de vigilance

Les pièges du chapitre

❌ Confondre indépendance et incompatibilité.

✅ Incompatibles : \(A\cap B=\varnothing\) ; indépendants : \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\). Deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants.

❌ Écrire \(P_A(B) = P_B(A)\).

✅ En général \(P_A(B) \ne P_B(A)\) : ce sont deux conditionnelles différentes.

❌ Une somme de branches qui ne vaut pas \(1\) à un nœud.

✅ À chaque nœud, les probabilités des branches issues totalisent \(1\).

❌ Appliquer les probabilités totales sur des événements qui ne forment pas une partition.

✅ N'additionner que sur une partition (incompatibles et couvrant \(\Omega\)).

❌ Traiter un tirage « sans remise » comme des épreuves indépendantes.

✅ « Avec remise » → indépendants ; « sans remise » → dépendants.

L'essentiel à retenir

À retenir :

Conditionnelle : \(P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}\) ; \(P(A\cap B) = P(A)P_A(B)\).
Indépendance : \(P(A\cap B) = P(A)\times P(B)\) (équivaut à \(P_B(A) = P(A)\)).
Partition de \(\Omega\) : événements incompatibles de réunion \(\Omega\).
Probabilités totales : \(P(B) = \sum_i P(A_i)P_{A_i}(B)\) (somme des chemins vers \(B\)).
Arbre pondéré : chemin = produit des branches ; événement = somme des chemins.
Bernoulli : deux issues \(S\) (\(p\)) et \(\overline{S}\) (\(1-p\)) ; répétition indépendante représentée par un arbre.

Simulation interactive

Probabilités conditionnelles — Arbre pondéré